1. [2026 扬州宝应月考] 如图,在四边形ABCD中,AB = AC = AD. 若∠CAD = 2∠BAC, ∠BCD = 105°,则∠BDC = °.

1. 25 如图,以A为圆心,AB长为半径画圆,则点C,D在⊙A上.
∵$\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$,
∴∠CAD=2∠CBD.
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}$,
∴∠BAC=2∠BDC.
∵∠CAD=2∠BAC,
∴∠CBD=∠BAC=2∠BDC. 在△BCD中,
∵∠CBD + ∠BDC + ∠BCD = 180°,∠BCD = 105°,
∴3∠BDC + 105° = 180°,
∴∠BDC = 25°.

2.如图,在矩形纸片$ABCD$中,$AB=4$,$AD=6$,$E$是$AB$的中点,$F$是$AD$边上的一个动点,将$△ AEF$沿$EF$所在直线翻折,得到$△ A'EF$,则线段$A'C$长的最小值为.

2. $2\sqrt{10}-2$ 如图,以点E为圆心,AE长为半径作圆,则点A'在⊙E上,连接CE. 当点A'在线段CE上时,线段A'C的长度取最小值. 由折叠可知A'E = AE = $\frac{1}{2}AB$ = 2. 在Rt△BCE中,BE = $\frac{1}{2}AB$ = 2,BC = AD = 6,
∴CE = $\sqrt{BE^2 + BC^2}$ = $2\sqrt{10}$,
∴线段A'C长的最小值为CE - A'E = $2\sqrt{10}-2$.

3. [2025 盐城大丰区期中节选] 如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段PC长的最小值为。

3. 4
∵∠ABC = 90°,
∴∠ABP + ∠PBC = 90°.
∵∠PAB = ∠PBC,
∴∠BAP + ∠ABP = 90°,
∴∠APB = 90°,
∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上. 如图,连接OC交⊙O于点P,此时PC最小.
∵O是AB的中点,
∴OA = OB = 6. 在Rt△BCO中,∠OBC = 90°,BC = 8,OB = 6,
∴OC = $\sqrt{BC^2 + OB^2}$ = 10,
∴PC = OC - OP = 4,
∴PC长的最小值为4.

4. 在$△ ABC$中，$AB = 4$，$∠ C = 60°$，$∠ A ＞ ∠ B$，则$BC$长的取值范围是。

4. $4＜BC≤\frac{8\sqrt{3}}{3}$ 如图,作△ABC的外接圆. 当∠BAC = 90°时,BC是直径,此时BC最长.
∵∠C = 60°(定角),
∴∠ABC = 30°,
∴BC = 2AC,
∴AB = $\sqrt{BC^2 - AC^2}$ = $\sqrt{4AC^2 - AC^2}$ = $\sqrt{3}AC$ = 4,
∴AC = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴BC = $\frac{8\sqrt{3}}{3}$;当∠BAC₁ = ∠ABC₁时,△ABC₁是等边三角形,
∴BC₁ = AC₁ = AB = 4,
∵∠BAC₁ ＞ ∠ABC₁,
∴BC₁ ＞ 4. 综上可知,BC长的取值范围是$4＜BC≤\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

5. [2025 泰州兴化期中节选] 如图,在四边形ABCD中,∠BAC = ∠BDC,点B和点C在AD同侧,AC,BD交于点F,AD,BC的延长线交于点E.若AB = BE,∠ACB = 60°,请判断AF与BE的数量关系,并说明理由.

5. 解:AF = BE. 理由如下:
∵∠BAC = ∠BDC,点B和点C在AD同侧,
∴A,B,C,D四点共圆,记为⊙O(如图),则∠CAD = ∠CBD.
设∠BAC = ∠BDC = α,∠CAD = ∠CBD = β.
∵四边形ABCD内接于⊙O,
∴∠DCE = ∠BAD = α + β.
∵AB = BE,
∴∠E = ∠BAE = α + β,
∴∠ACB = ∠CAD + ∠E = α + 2β = 60°,∠ADB = ∠ACB = 60°,
∴∠CFD = ∠CAD + ∠ADB = β + 60°.
∴∠ACD = 180° - ∠ACB - ∠DCE = 120° - α - β = (β + 60°) - (α + 2β - 60°) = β + 60° = ∠CFD.
∵∠CFD = ∠AFB,∠ACD = ∠ABD,
∴∠AFB = ∠ABD,
∴AF = AB = BE.

6. [2026泰州靖江实验学校月考] 如图，$∠ MCN = 90°$，点A在射线CM上滑动，点B在射线CN上滑动，且线段AB的长始终保持10 cm不变。以AB为斜边在AB的右侧作$\mathrm{Rt}△ ABE$，则在滑动的过程中线段EC长的最大值是 cm.

6. 10
∵∠ACB + ∠E = 90° + 90° = 180°,
∴点A,C,B,E在同一个圆上.
∵∠MCN = 90°,
∴AB为直径,如图,取AB的中点O,则点O为圆心,作直径CE',则EC长的最大值为CE'的长.
∵直径AB = 10 cm,
∴EC长的最大值为10 cm.

7. 如图，已知∠BAC=120°，线段AB=$\frac{8}{3}$，点D,E分别在射线AC和线段AB上运动，以DE为边在∠BAC内部作等边三角形DEF，则BF的最小值为。

7. $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
∵△DEF是等边三角形,
∴∠EDF = ∠EFD = 60°.
∵∠BAC = 120°,
∴∠BAC + ∠EFD = 180°,
∴A,D,F,E四点共圆,
∴∠BAF = ∠EDF = 60°,
∴作∠BAM = 60°,点F始终在射线AM上运动(如图). 过点B作BF'⊥AM于点F',由“垂线段最短”知,当BF⊥AM,即当点F运动到点F'处时,BF'最小. 在Rt△ABF'中,∠ABF' = 90° - 60° = 30°,
∴AF' = $\frac{1}{2}AB$ = $\frac{4}{3}$,
∴BF' = $\sqrt{AB^2 - AF'^2}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$,
∴BF的最小值为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$.