11. 如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，点$I$为$△ ABC$的内心，$ID// AC$，$IE// BC$，则$△ IDE$的周长为 （）

A.$6$
B.$5$
C.$4.8$
D.$4$

11 B $\because ∠ C = 90°, AC = 4, BC = 3, \therefore AB = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. 如图,连接 $IA,IB. \because$ 点 $I$ 为 $△ ABC$ 的内心,$\therefore AI$ 平分 $∠ CAB$,即 $∠ 1 = ∠ 2. \because ID // AC, \therefore ∠ 1 = ∠ 3, \therefore ∠ 2 = ∠ 3, \therefore DA = DI$. 同理可得 $EI = EB, \therefore △ IDE$ 的周长为 $ID + DE + IE = DA + DE + EB = AB = 5$.

12. [2025滨州中考]如图，E,F,G,H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF=BG=CH=DE.若AB=17，EF=13，则$△ GCH$的内切圆半径为（）

A.1
B.2
C.3
D.4

12 B $\because$ 四边形 $ABCD$ 是正方形,$AB = 17, \therefore ∠ A = ∠ C = 90°, AB = BC = CD = AD = 17$. 又$\because AF = BG = CH = DE, \therefore BF = CG = DH = AE. \because BC = BG + CG = 17, \therefore GC + CH = 17$. 在$△ AEF$ 和 $△ CGH$ 中,$\begin{cases} AF = CH, \\ ∠ A = ∠ C, \\ AE = CG, \end{cases} \therefore △ AEF ≌ △ CGH, \therefore GH = EF = 13, \therefore △ GCH$ 的内切圆半径为 $\frac{GC + CH - GH}{2} = \frac{17 - 13}{2} = 2$.

13. [2025 扬州高邮期中] 如图,点 P 为△ABC 的内心,经过点 P 的线段分别与 AC,BC 相交于点 D,E. 若 CD = CE = 4,DE = 2,则点 P 到 AB 的距离为.

13 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ 如图,连接 $CP$,过点 $P$ 作 $PH ⊥ BC$ 于点 $H$,$PG ⊥ AB$ 于点 $G$. $\because$ 点 $P$ 为 $△ ABC$ 的内心,$\therefore CP$ 平分 $∠ DCE$. $\because CD = CE = 4, DE = 2, \therefore PD = PE = 1, CP ⊥ DE, \therefore CP = \sqrt{CE^2 - PE^2} = \sqrt{4^2 - 1^2} = \sqrt{15}. \because S_{△ PCE} = \frac{1}{2}PE · PC = \frac{1}{2}PH · CE, \therefore PH = \frac{PE · PC}{CE} = \frac{1 × \sqrt{15}}{4} = \frac{\sqrt{15}}{4}, \therefore PG = PH = \frac{\sqrt{15}}{4}, \therefore$ 点 $P$ 到 $AB$ 的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$.

14. [2026 盐城亭湖区月考] 如图，$△ ABC$中，$∠ C=90°$，点$O$为$△ ABC$的外心，$BC=6$，$AC=8$，$\odot P$是$△ ABC$的内切圆，则$OP$的长为.

14 $\sqrt{5}$ 在 $△ ABC$ 中,$\because ∠ C = 90°, BC = 6, AC = 8, \therefore AB = 10$. 如图,过点 $P$ 作 $PD ⊥ AC$ 于 $D$,$PE ⊥ BC$ 于 $E$,$PF ⊥ AB$ 于 $F$,则 $CD = CE, BE = BF, AF = AD, ∠ PDC = ∠ PEC = 90°$. 又$\because ∠ C = 90°, \therefore$ 四边形 $PDCE$ 是矩形. $\because PD = PE, \therefore$ 四边形 $PDCE$ 是正方形. 设 $CD = CE = x, BE = BF = y, AF = AD = z$. 根据题意,得$\begin{cases} x + y = 6, \\ x + z = 8, \\ y + z = 10, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x = 2, \\ y = 4, \\ z = 6, \end{cases} \therefore BE = BF = 4, PF = PE = CE = 2$.
$\because$ 点 $O$ 为 $△ ABC$ 的外心,$\therefore OB = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 10 = 5, \therefore OF = OB - BF = 5 - 4 = 1$. 在 $\mathrm{Rt}△ OPF$ 中,由勾股定理得 $OP = \sqrt{OF^2 + PF^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.

15. [2025连云港赣榆区期中] 如图，点D是△ABC的内心，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，∠BCA=50°，则∠BDE=°。

15 65 $\because$ 点 $D$ 是 $△ ABC$ 的内心,$\therefore AD$ 平分 $∠ BAC, BD$ 平分 $∠ ABC, \therefore ∠ BAD = ∠ CAD, ∠ ABD = ∠ CBD, \therefore ∠ BAD + ∠ ABD = ∠ CAD + ∠ CBD. \because ∠ CAD = ∠ CBE, \therefore ∠ BAD + ∠ ABD = ∠ CBE + ∠ CBD. \because ∠ BDE = ∠ BAD + ∠ ABD, ∠ DBE = ∠ CBE + ∠ CBD, \therefore ∠ BDE = ∠ DBE. \because ∠ BDE + ∠ DBE + ∠ E = 180°, ∠ E = ∠ BCA = 50°, \therefore 2∠ BDE + 50° = 180°, \therefore ∠ BDE = 65°$.

16. [2026南京秦淮区月考]如图，Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,⊙O是△ABC的内切圆，求⊙O的半径r(用含a,b,c的代数式表示).
(1)小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程，解得r=(结果用含a,b,c的代数式表示)；小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程，解得r=(结果用含a,b,c的代数式表示).
(2)两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明.

16 解:(1)$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr \quad \frac{ab}{a + b + c} \quad a + b - c = 2r \quad \frac{1}{2}(a + b - c)$
(2)相等. 证明如下:
$\because a^2 + b^2 = c^2, \therefore (a + b + c)(a + b - c) = (a + b)^2 - c^2 = a^2 + 2ab + b^2 - c^2 = 2ab$.
$\because a + b + c ≠ 0, \therefore \frac{ab}{a + b + c} = \frac{1}{2}(a + b - c)$.

17. 》应用意识 [2024 陕西中考副卷]【问题提出】
(1)如图 1,在$△ ABC$中,$∠ BAC = 90°$,$AD ⊥ BC$,垂足为 D.若$AB = 15$,$AC = 8$,则$AD$的长为.
【问题解决】(2)如图 2,某工厂剩余一块$△ ABC$型板材,其中$AB = 100\ \mathrm{cm}$,$BC = 160\ \mathrm{cm}$,$AC = 140\ \mathrm{cm}$.为了充分利用材料,工人师傅想用这块板材裁出一个尽可能大的圆形部件.你认为可以吗?若可以,请在图中确定可裁出的最大圆形部件的圆心$O$的位置,并求出$\odot O$的半径;若不可以,请说明理由.

17 解:(1)$\frac{120}{17}$
在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°, AB = 15, AC = 8, \therefore BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = 17$. 由 $S_{△ ABC} = \frac{1}{2}AB · AC = \frac{1}{2}BC · AD$,得 $AB · AC = BC · AD, \therefore AD = \frac{AB · AC}{BC} = \frac{15 × 8}{17} = \frac{120}{17}$.
(2)可以.
$\because$ 三角形内最大的圆是三角形的内切圆,
$\therefore$ 所求圆的圆心是 $△ ABC$ 的内心.
如图,作 $∠ ABC$ 和 $∠ ACB$ 的平分线 $BE, CF$,交于点 $O$,则点 $O$ 就是裁出的最大圆形部件的圆心.
过点 $O$ 作 $OH ⊥ BC$ 于点 $H, OP ⊥ AC$ 于点 $P, OQ ⊥ AB$ 于点 $Q$,连接 $OA$,过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于点 $M$.
设 $BM = x \ \mathrm{cm}, \odot O$ 的半径为 $r \ \mathrm{cm}$.
$\because AB = 100 \ \mathrm{cm}, BC = 160 \ \mathrm{cm}, AC = 140 \ \mathrm{cm}$,
$\therefore CM = (160 - x) \ \mathrm{cm}$.
在 $\mathrm{Rt}△ ABM$ 中,由勾股定理,得 $AM^2 = AB^2 - BM^2 = 100^2 - x^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ ACM$ 中,由勾股定理,得 $AM^2 = AC^2 - CM^2 = 140^2 - (160 - x)^2$,
$\therefore 100^2 - x^2 = 140^2 - (160 - x)^2$,解得 $x = 50$,
$\therefore AM = \sqrt{100^2 - 50^2} = 50\sqrt{3} \ (\mathrm{cm})$,
$\therefore S_{△ ABC} = \frac{1}{2}BC · AM = 4000\sqrt{3} \ \mathrm{cm}^2$.
$\because$ 点 $O$ 为 $△ ABC$ 的内心,
$\therefore OH = OP = OQ = r \ \mathrm{cm}$.
$\because S_{△ OBC} + S_{△ OCA} + S_{△ OAB} = S_{△ ABC}$,
$\therefore \frac{1}{2}BC · OH + \frac{1}{2}AC · OP + \frac{1}{2}AB · OQ = 4000\sqrt{3}$,
$\therefore (100 + 160 + 140)r = 8000\sqrt{3}, \therefore r = 20\sqrt{3}$,
$\therefore \odot O$ 的半径为 $20\sqrt{3} \ \mathrm{cm}$.