1. [2025盐城东台第一教育联盟月考]若点P到⊙A上的所有点的距离中，最大距离为8，最小距离为2，那么⊙A的半径为。

1 5或3 当点P在圆内时,
∵最大距离为8,最小距离为2,
∴直径为8+2=10,
∴半径是5;当点P在圆外时,
∵最大距离为8,最小距离为2,
∴直径为8-2=6,
∴半径是3.

2. [2025自贡中考]PA,PB分别与$\odot O$相切于点A,B.
点C在$\odot O$上,不与点A,B重合.若$∠ P=80°$,
则$∠ ACB$的度数为 ()

A.$50°$
B.$100°$
C.$130°$
D.$50°$或$130°$

2 D 如图,连接 OA,OB,
∵ PA,PB 分别与 $\odot O$ 相切于点 A,B, $\therefore ∠ PAO = ∠ PBO = 90°. \because ∠ P = 80°, \therefore ∠ AOB = 360° - 2 × 90° - 80° = 100°.$ 当点 C 在优弧 AB 上时,记为 $C_1, ∠ AC_1B = \frac{1}{2} ∠ AOB = 50°$; 当点 C 在劣弧 AB 上时,记为 $C_2, ∠ AC_2B = 180° - 50° = 130°.$ 故 $∠ ACB$ 的度数是 $50°$ 或 $130°$.

3. [2026无锡港下中学月考]已知半径为2的$\odot O$中，弦$AB=2$，则弦$AB$所对的圆周角$∠ P$的度数为________。

3 30°或 150° 如图,连接 OA,OB. $\because OA = OB = AB, \therefore △ OAB$ 是等边三角形, $\therefore ∠ AOB = 60°.$ 当点 P 在弦 AB 所对的优弧上时, $∠ P = \frac{1}{2} ∠ AOB = \frac{1}{2} × 60° = 30°$; 当点 P 在弦 AB 所对的劣弧上, $∠ P' = 180° - ∠ P = 180° - 30° = 150°.$ 综上可知,弦 AB 所对的圆周角 $∠ P$ 的度数为 $30°$ 或 $150°$.

4. [2025淮安涟水一模]已知$\odot O$的直径$CD=10$，弦$AB=8$，$AB ⊥ CD$，垂足为$M$，则$MD$的长为。

4 2 或 8 当垂足 M 在半径 OD 上时,如图 1,连接 OA. $\because$ 直径 $CD = 10, \therefore OA = 5. \because AB ⊥ CD, CD$ 为直径, $\therefore ∠ AMO = 90°, AM = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} × 8 = 4. \because ∠ AMO = 90°, \therefore OM = \sqrt{OA^2 - AM^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3, \therefore MD = OD - OM = 5 - 3 = 2.$ 当垂足 M 在半径 OC 上时,同理可得 $OM = 3$, 此时 $MD = OM + OD = 3 + 5 = 8.$ 综上可知,MD 的长为 2 或 8.

5. 在$\odot O$中,弦$AB$和$AC$构成的$∠ BAC=50°$,$M$,$N$分别是$AB$,$AC$的中点,则$∠ MON$的度数为.

5 130°或 50° 连接 OM,ON,
∵ M,N 分别是 AB 和 AC 的中点,
∴ OM ⊥ AB,ON ⊥ AC. 如图 1,当 AB,AC 在圆心异侧时,
∵ ∠BAC = 50°,
∴ ∠MON = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°; 如图 2,当 AB,AC 在圆心同侧时,令 OM 与 AC 交于点 D,
∵ ∠ADM = ∠ODN, ∠AMD = ∠OND = 90°,
∴ ∠MON = ∠BAC = 50°. 综上所述,∠MON 的度数为 130° 或 50°.

6. [2026 南京育英外国语学校月考] 如图,已知$\odot O$的半径OA为2,弦AB的长为$2\sqrt{2}$.若在$\odot O$上找一点C,使$AC=2\sqrt{3}$,则$∠ BAC$的度数为.

6 75°或 15° 如图,延长 AO 交 $\odot O$ 于点 D,连接 DC,DB.
∵ AD 为直径,
∴ ∠C = ∠B = 90°. 在 Rt△ABD 中,
∵ AD = 4, AB=2√2,
∴ BD = √(4²-(2√2)²) = 2√2,
∴ AB = BD,
∴ ∠DAB = 45°. 在 Rt△ACD 中,
∵ AD = 4, AC = 2√3,
∴ CD = √(4²-(2√3)²) = 2,
∴ CD = 1/2 AD,
∴ ∠DAC = 30°. 当 C 点与 B 点在直径 AD 的两侧时,∠BAC = ∠DAB + ∠DAC = 45° + 30° = 75°; 当 C 点与 B 点在直径 AD 的同侧时(C 点在 C'点处),∠BAC' = ∠DAB - ∠DAC' = 45° - 30° = 15°. 综上所述,∠BAC 的度数为 75° 或 15°.

7. [2025 盐城建湖月考]若点 O 是等腰三角形 ABC 的外心,且∠BOC=60°,底边 BC=2,则△ABC 的面积为.

7 2-√3 或 2+√3 分两种情况:①当△ABC 为钝角三角形,即图中的△A₁BC 时,连接 OA₁,交 BC 于点 D,
∵ 点 O 是等腰三角形 ABC 的外心,且 ∠BOC = 60°,底边 BC = 2,OB = OC,
∴ △OBC 为等边三角形,OB = OC = BC = 2,OA₁ ⊥ BC,
∴ CD = 1,OD = √(2²-1²) = √3,
∴ A₁D = OA₁ - OD = 2 - √3,
∴ S△A₁BC = 1/2 BC · A₁D = 2 - √3;②当△ABC 为锐角三角形,即图中的△A₂BC 时,连接 OA₂,易知 A₁,D,O,A₂ 共线,则 A₂D = OA₂ + OD = 2 + √3,
∴ S△A₂BC = 1/2 BC · A₂D = 2 + √3. 综上可知,△ABC 的面积为 2 - √3 或 2 + √3.

8. [2026 苏州振华中学月考] 如图,半圆O的直径DE=12 cm,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12 cm.半圆O以2 cm/s的速度从左向右运动,当圆心O运动到点B时停止,点D,E始终在直线BC上.设运动时间为t s,运动开始时,半圆O在△ABC的左侧,OC=8 cm.当t=时,Rt△ABC的一边所在直线与半圆O所在的圆相切.

8 1 或 4 或 7 ①当圆心 O 向右运动 2 cm,即点 E 与点 C 重合时,
∵ AC ⊥ OE,
∴ AC 与半圆 O 所在的圆相切,
∴ t = 2 ÷ 2 = 1;②如图,过 C 点作 CF ⊥ AB,垂足为 F,
∵ ∠ABC = 30°,BC = 12 cm,
∴ FO = 6 cm,
∴ 当半圆 O 在 AB 左侧且与 AB 相切时,圆心 O 与点 C 重合,
∴ 圆心 O 运动了 8 cm,
∴ t = 8 ÷ 2 = 4;③当圆心 O 向右运动 14 cm,即点 D 与点 C 重合时,同理①可知 AC 与半圆 O 所在的圆相切,
∴ t = 14 ÷ 2 = 7. 综上可知,当 t 的值为 1 或 4 或 7 时,Rt△ABC 的一边所在直线与半圆 O 所在的圆相切.

9. 如图，$A(-5,0), B(-3,0)$,点$C$在$y$轴的正半轴上，$∠ CBO=45°$, $CD // AB$, $∠ CDA = 90°$.点$P$从点$Q(4,0)$出发，沿$x$轴向左以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为$t$秒.
(1)求点$C$的坐标；
(2)以点$P$为圆心，$PC$长为半径的$\odot P$随点$P$的运动而变化，当$\odot P$与四边形$ABCD$的边(或边所在的直线)相切时，求$t$的值.

9 解:(1)
∵ B(-3,0),
∴ OB = 3.
∵ ∠BOC = 90°,∠CBO = 45°,
∴ ∠BCO = ∠CBO = 45°,
∴ OC = OB = 3,
∴ 点 C 的坐标为(0,3).
(2)由题意知,⊙P 与四边形 ABCD 的边相切时,有以下三种情况:
①如图 1,当⊙P 与 BC 相切于点 C 时,∠BCP = 90°.
由(1)知 ∠BCO = 45°,
∴ ∠OCP = 90° - 45° = 45°.
在 Rt△OCP 中,易得 OP = OC = 3,
此时 t = (4 - 3) ÷ 1 = 1.

②如图 2,当⊙P 与 CD 相切于点 C 时,PC ⊥ CD,即点 P 与点 O 重合,此时 t = 4 ÷ 1 = 4.

③如图 3,当⊙P 与 AD 相切时,
∵ CD // AB,∠CDA = 90°,
∴ ∠DAO = 180° - 90° = 90°,
∴ 点 A 为切点.
∵ A(-5,0),Q(4,0),
∴ AQ = |-5 - 4| = 9,OQ = 4.
在 Rt△CPO 中,CP = AP = AQ - PQ = 9 - t,OC = 3,OP = PQ - OQ = t - 4,
由勾股定理,得 CP² = OP² + OC²,
∴ (9 - t)² = (t - 4)² + 3²,解得 t = 5.6.
综上可知,t 的值为 1 或 4 或 5.6.