1. [2025南京二模]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$和函数$y=x$的图象交于A,B两点.若$AB=4\sqrt{2}$,则k的值为.

记坐标原点为O,
∵反比例函数$y=\frac{k}{x}$和函数$y=x$的图象交于A,B两点,$\therefore OA=OB. \because AB=4\sqrt{2},\therefore OB=2\sqrt{2}$. 设$B(m,m)(m＞0),\therefore m^{2}+m^{2}=OB^{2}=8$, 解得$m=2,\therefore B(2,2),\therefore k=2 × 2=4$.

2. [2026 泰州高港区一模] 如图，在平面直角坐标系中，函数 $ y = ax + 3 $ 的图象与反比例函数 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图象交于点 $ A(2,4) $，过点 $ B(0,2) $ 作x轴的平行线分别交 $ y = ax + 3 $ 与 $ y = \frac{k}{x} (x ＞ 0) $ 的图象于C，D两点，连接AD，则 $ △ ACD $ 的面积为 。

把$A(2,4)$代入$y=ax+3$,得$2a+3=4$,解得$a=\frac{1}{2}$,
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$. 把$A(2,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$4=\frac{k}{2}$,解得$k=8$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{8}{x}(x＞0)$.
$\because BC// x$轴,$B(0,2)$,$\therefore$ 点C和点D的纵坐标都为2. 在$y=\frac{1}{2}x+3$中,当$y=2$时,$x=-2$,即$C(-2,2)$. 在$y=\frac{8}{x}(x＞0)$中,当$y=2$时,$x=4$,即$D(4,2)$,$\therefore CD=4 - (-2)=6$.
$\because A(2,4)$,$\therefore S_{△ ACD}=\frac{1}{2}CD · (y_A - y_C)=\frac{1}{2} × 6 × (4-2)=6$.

3. [2025 雅安中考] 如图,在平面直角坐标系中,一次函数$y_1 = x + b$与反比例函数$y_2 = \frac{k}{x}$的图象交于A,B两点,其中点A、点B的横坐标分别是-4和3.
(1)当$y_1 ＞ y_2$时,直接写出x的取值范围;
(2)求出一次函数和反比例函数的表达式;
(3)将直线AB向左平移2个单位长度,与反比例函数在第一象限的图象交于点C,求$△ PBC$的面积.

(1)当$y_1 ＞ y_2$时,$x$的取值范围是$-4 ＜ x ＜ 0$或$x ＞ 3$.
(2)将$x=3$代入反比例函数表达式,得$y_2=\frac{k}{3}$,
$\therefore$ 点B的坐标为$(3,\frac{k}{3})$.
同理可得,点A的坐标为$(-4,-\frac{k}{4})$.
将点A,B的坐标代入一次函数表达式,得
$\begin{cases}3 + b = \frac{k}{3}, \\-4 + b = -\frac{k}{4},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=12, \\b=1,\end{cases}$
$\therefore$ 一次函数的表达式为$y_1=x+1$,反比例函数的表达式为$y_2=\frac{12}{x}$.
(3)连接$BC$,$PC$.
$\because$ 一次函数的表达式为$y_1=x+1$,$\therefore P(0,1)$.
$\because B(3,4)$,$\therefore BP=\sqrt{(3-0)^2+(4-1)^2}=3\sqrt{2}$.
$\because$ 直线$y_1=x+1$与$x$轴的夹角为$45°$,
$\therefore$ 当直线AB向左平移2个单位长度时,两平行线间的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2} × 2=\sqrt{2}$,
$\therefore$ 点C到PB的距离为$\sqrt{2}$,
$\therefore △ PBC$的面积为$\frac{1}{2} × 3\sqrt{2} × \sqrt{2}=3$.

4.［2025镇江宜城中学集团月考］如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，其中点A，C的坐标分别为$(-3,2)$，$(-6,8)$，反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点A，将矩形ABCD向右平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为（）

A.$\frac{33}{10}$
B.$\frac{23}{20}$
C.$\frac{33}{20}$
D.$\frac{23}{10}$

$\because$ 点$A(-3,2)$在反比例函数图象上,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$. $\because$ 点A,C的坐标分别为$(-3,2)$,$(-6,8)$,$\therefore E(-\frac{9}{2},5)$. $\because$ 将矩形ABCD向右平移,点E落在这个反比例函数的图象上,$\therefore$ 平移后点E的纵坐标不变,当$y=5$时,$x=-\frac{6}{5}$,$\therefore$ 平移后点E的横坐标为$-\frac{6}{5}$,$\therefore$ 矩形平移的距离为$-\frac{6}{5}-(-\frac{9}{2})=\frac{33}{10}$.

5. [2026南通海门区二模]如图,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点C和菱形对角线的交点M.若菱形的边长为3,则k的值为（）

A.2
B.$4\sqrt{2}$
C.4
D.$2\sqrt{2}$

$\because$ 菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,$OA=3$,
$\therefore AM=CM$,$OC=OA=BC=AB=3$,$A(3,0)$. 设$C(x,y)$,
$\therefore M(\frac{x+3}{2},\frac{y}{2})$. $\because$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象过点C和菱形对角线的交点M,$\therefore k=xy=\frac{x+3}{2} · \frac{y}{2}$,解得$x=1$. 如图,过点C作$CH ⊥ AO$于点H,$\therefore OH=1$,$\therefore CH=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$,$\therefore C(1,2\sqrt{2})$,$\therefore k=1 × 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}$.

6. [2026济南十二中月考] 如图,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过平行四边形ABCO的顶点A,OC在x轴上.若点B(-1,3),$S_{□ ABCO}=3$,则实数k的值为.

由$B(-1,3)$,设$A(m,3)$,则$AB=-1 - m$. 由$S_{□ ABCO}=3$,得$3(-1 - m)=3$,$\therefore m=-2$,$\therefore A(-2,3)$. $\because$ 点A在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=-6$.

7. [2026 泰州靖江一模] 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,四边形$ABCO$和四边形$DFEC$均为正方形,点$A$在$y$轴正半轴上,点$C,E$在$x$轴正半轴上(点$C$在点$E$的左侧),点$D$在$BC$边上,点$B,F$落在反比例函数$y=\frac{k}{x}$第一象限的图象上.若$OA=5$,则$OF$的长为.

$\because$ 四边形ABCO是正方形,且$OA=5$,$\therefore A(0,5)$,$B(5,5)$,$C(5,0)$. $\because$ 点B在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore k=5 × 5=25$,$\therefore$ 反比例函数的表达式为$y=\frac{25}{x}$. 设正方形DFEC的边长为$m$,则$OE=m+5$,$EF=m$,$\therefore$ 点F的坐标为$(m+5,m)$. $\because$ 点F在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,$\therefore m(m+5)=25$,即$m^2+5m=25$,$\therefore OF=\sqrt{(m+5)^2+m^2}=\sqrt{2m^2+10m+25}=\sqrt{2(m^2+5m)+25}=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$.