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1.用公式法解一元二次方程$3x^2+3=2x$时，首先要确定$a,b,c$的值，下列选项正确的是 （
A.$a=3,b=2,c=3$
B.$a=-3,b=2,c=3$
C.$a=3,b=2,c=-3$
D.$a=3,b=-2,c=3$
D
）A.$a=3,b=2,c=3$
B.$a=-3,b=2,c=3$
C.$a=3,b=2,c=-3$
D.$a=3,b=-2,c=3$
答案
1.D
解析
【分析】
要用公式法解一元二次方程，首先必须把方程转化为标准的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，确定系数时要注意带上各项本身的符号。解这道题的思路是：先对原方程移项整理成一般形式，再对应匹配$a、b、c$的值，最后和选项对比得到正确结果。
【解析】
第一步：将原方程$3x^2+3=2x$移项，把右侧的$2x$移到左侧，整理为一元二次方程的一般形式：
$3x^2 - 2x + 3 = 0$
第二步：对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得出：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=3$。
因此符合的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的识别能力，易错点是移项时忽略符号变化，误将一次项系数写为2，解题时需先将方程整理为标准一般形式再确定各项系数。
【难度系数】
0.9
要用公式法解一元二次方程，首先必须把方程转化为标准的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数、$b$是一次项系数、$c$是常数项，确定系数时要注意带上各项本身的符号。解这道题的思路是：先对原方程移项整理成一般形式，再对应匹配$a、b、c$的值，最后和选项对比得到正确结果。
【解析】
第一步：将原方程$3x^2+3=2x$移项，把右侧的$2x$移到左侧，整理为一元二次方程的一般形式：
$3x^2 - 2x + 3 = 0$
第二步：对比一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），可得出：
二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=3$。
因此符合的选项为D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的一般形式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础题型，核心考查对一元二次方程一般形式的识别能力，易错点是移项时忽略符号变化，误将一次项系数写为2，解题时需先将方程整理为标准一般形式再确定各项系数。
【难度系数】
0.9
2. $x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2+4×2×1}}{2×2}$是下列哪个一元二次方程的根 （
A.$2x^2+3x+1=0$
B.$2x^2-3x+1=0$
C.$2x^2+3x-1=0$
D.$2x^2-3x-1=0$
C
）A.$2x^2+3x+1=0$
B.$2x^2-3x+1=0$
C.$2x^2+3x-1=0$
D.$2x^2-3x-1=0$
答案
2.C
解析
【分析】
本题可通过一元二次方程求根公式逆推对应方程。首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，接下来只需将题干给出的根的表达式与求根公式逐项对照，确定$a、b、c$的取值，即可得到对应的方程，再匹配选项得出答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的根的表达式$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2+4×2×1}}{2×2}$与求根公式对照：
1. 对照分母：$2a=2×2$，解得$a=2$；
2. 对照分子的常数项：$-b=-3$，解得$b=3$；
3. 对照根号内的表达式：$b^2-4ac=3^2+4×2×1$，将$a=2、b=3$代入得：
$9-4×2×c=9+8$，
$-8c=8$，
解得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$2x^2+3x-1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式系数对应
【点评】
本题是公式法相关的基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式结构的掌握程度，熟练记忆求根公式的组成部分即可快速解题，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
本题可通过一元二次方程求根公式逆推对应方程。首先回忆一元二次方程的求根公式：对于一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），其根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，接下来只需将题干给出的根的表达式与求根公式逐项对照，确定$a、b、c$的取值，即可得到对应的方程，再匹配选项得出答案。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$），求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
将题干给出的根的表达式$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2+4×2×1}}{2×2}$与求根公式对照：
1. 对照分母：$2a=2×2$，解得$a=2$；
2. 对照分子的常数项：$-b=-3$，解得$b=3$；
3. 对照根号内的表达式：$b^2-4ac=3^2+4×2×1$，将$a=2、b=3$代入得：
$9-4×2×c=9+8$，
$-8c=8$，
解得$c=-1$。
因此对应的一元二次方程为$2x^2+3x-1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式；代数式系数对应
【点评】
本题是公式法相关的基础题型，核心考查对一元二次方程求根公式结构的掌握程度，熟练记忆求根公式的组成部分即可快速解题，是一元二次方程章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
3.(1)把方程$3x(x-1)=5$化为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$的形式：
(2)用公式法解方程$x(2x-5)=3$，其中$b^2-4ac=$
$3x^2-3x-5=0$
，其中$b^2-4ac=$$69$
；(2)用公式法解方程$x(2x-5)=3$，其中$b^2-4ac=$
$49$
，方程的根为$x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}$
。答案
3.(1)$3x^2-3x-5=0$，$69$ (2)$49$，$x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题前先明确一元二次方程一般式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式为$\Delta = b^2-4ac$，公式法求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
(1) 先将给定方程去括号、移项，整理为一般式后，对应找出$a、b、c$的值，代入判别式公式计算即可；
(2) 同样先整理方程为一般式，确定$a、b、c$后代入判别式计算，再将各值代入求根公式计算方程的根。
【解析】
(1) 对$3x(x-1)=5$去括号得：$3x^2-3x=5$，
移项整理为一般式：$\boldsymbol{3x^2-3x-5=0}$，
其中$a=3$，$b=-3$，$c=-5$，
则$b^2-4ac=(-3)^2 - 4×3×(-5)=9+60=\boldsymbol{69}$。
(2) 对$x(2x-5)=3$去括号得：$2x^2-5x=3$，
移项整理为一般式：$2x^2-5x-3=0$，
其中$a=2$，$b=-5$，$c=-3$，
则$b^2-4ac=(-5)^2 -4×2×(-3)=25+24=\boldsymbol{49}$，
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{5\pm7}{4}$，
即$x_1=\frac{5+7}{4}=3$，$x_2=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$，
故方程的根为$\boldsymbol{x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}}$。
【答案】
(1)$3x^2-3x-5=0$，$69$ (2)$49$，$x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查一元二次方程的变形整理、判别式计算及公式法求根的应用，熟练掌握基础公式和移项变形规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题前先明确一元二次方程一般式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，判别式为$\Delta = b^2-4ac$，公式法求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
(1) 先将给定方程去括号、移项，整理为一般式后，对应找出$a、b、c$的值，代入判别式公式计算即可；
(2) 同样先整理方程为一般式，确定$a、b、c$后代入判别式计算，再将各值代入求根公式计算方程的根。
【解析】
(1) 对$3x(x-1)=5$去括号得：$3x^2-3x=5$，
移项整理为一般式：$\boldsymbol{3x^2-3x-5=0}$，
其中$a=3$，$b=-3$，$c=-5$，
则$b^2-4ac=(-3)^2 - 4×3×(-5)=9+60=\boldsymbol{69}$。
(2) 对$x(2x-5)=3$去括号得：$2x^2-5x=3$，
移项整理为一般式：$2x^2-5x-3=0$，
其中$a=2$，$b=-5$，$c=-3$，
则$b^2-4ac=(-5)^2 -4×2×(-3)=25+24=\boldsymbol{49}$，
代入求根公式得：$x=\frac{5\pm\sqrt{49}}{2×2}=\frac{5\pm7}{4}$，
即$x_1=\frac{5+7}{4}=3$，$x_2=\frac{5-7}{4}=-\frac{1}{2}$，
故方程的根为$\boldsymbol{x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}}$。
【答案】
(1)$3x^2-3x-5=0$，$69$ (2)$49$，$x_1=3,x_2=-\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程的一般形式；根的判别式；公式法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查一元二次方程的变形整理、判别式计算及公式法求根的应用，熟练掌握基础公式和移项变形规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 一元二次方程 $2x^2 - 2x - c = 0$ 能用公式法求解的前提是
$c≥-\frac{1}{2}$
。答案
4.$c≥-\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要确定一元二次方程能用公式法求解的前提，首先需明确：实数范围内公式法解一元二次方程的核心要求是方程有实数根，而一元二次方程有实根的充要条件是判别式$\Delta≥0$。解题步骤为：第一步先确定给定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，第二步代入判别式表达式，令判别式大于等于0，第三步解不等式即可得到$c$的取值范围，注意计算判别式时要准确识别常数项的符号，避免出错。
【解析】
解：一元二次方程能用公式法求解的前提是判别式$\Delta≥0$（实数范围内有实根）。
对于方程$2x^2 - 2x - c = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4a×\mathrm{常数项}$可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 2 × (-c) ≥ 0$
化简计算：
$4 + 8c ≥ 0$
移项得：$8c ≥ -4$
两边同时除以8得：$c ≥ -\frac{1}{2}$
【答案】
$c≥ -\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程判别式；公式法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查公式法解一元二次方程的前提条件，解题的关键是准确记忆判别式与方程实根的对应关系，计算时注意辨别常数项的符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
要确定一元二次方程能用公式法求解的前提，首先需明确：实数范围内公式法解一元二次方程的核心要求是方程有实数根，而一元二次方程有实根的充要条件是判别式$\Delta≥0$。解题步骤为：第一步先确定给定方程的二次项系数、一次项系数、常数项，第二步代入判别式表达式，令判别式大于等于0，第三步解不等式即可得到$c$的取值范围，注意计算判别式时要准确识别常数项的符号，避免出错。
【解析】
解：一元二次方程能用公式法求解的前提是判别式$\Delta≥0$（实数范围内有实根）。
对于方程$2x^2 - 2x - c = 0$，其中二次项系数$a=2$，一次项系数$b=-2$，常数项为$-c$，代入判别式公式$\Delta = b^2 - 4a×\mathrm{常数项}$可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × 2 × (-c) ≥ 0$
化简计算：
$4 + 8c ≥ 0$
移项得：$8c ≥ -4$
两边同时除以8得：$c ≥ -\frac{1}{2}$
【答案】
$c≥ -\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程判别式；公式法解一元二次方程；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查公式法解一元二次方程的前提条件，解题的关键是准确记忆判别式与方程实根的对应关系，计算时注意辨别常数项的符号，避免因符号错误导致结果偏差。
【难度系数】
0.7
5.用公式法解下列方程：
(1)$x^2 - x - 3 = 0$；
(2)$2x^2 - x = 6$；
(3)$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$；
(4)$3x^2 - 5x + 11 = 0$；
(5)$-3x^2 + 1 = -6x$；
(6)$x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 = 0$。
(1)$x^2 - x - 3 = 0$；
(2)$2x^2 - x = 6$；
(3)$x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$；
(4)$3x^2 - 5x + 11 = 0$；
(5)$-3x^2 + 1 = -6x$；
(6)$x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 = 0$。
答案
5.解:(1)$\because x^2 - x - 3 = 0$ 中 $a=1,b=-1,c=-3$,
$b^2-4ac=1+12=13,\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$.
(2)方程整理,得 $2x^2-x-6=0$,
$a=2,b=-1,c=-6$.
$\because b^2-4ac=1+48=49,\therefore x=\frac{1\pm7}{4}$,
$\therefore x_1=2,x_2=-\frac{3}{2}$.
(3)$\because x^2-2\sqrt{3}x+3=0$ 中 $a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$,
$b^2-4ac=12-12=0$,
$\therefore x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2},\therefore x_1=x_2=\sqrt{3}$.
(4)$\because 3x^2-5x+11=0$ 中 $a=3,b=-5,c=11$,
$b^2-4ac=25-132=-107＜0,\therefore$ 方程无解.
(5)方程整理,得 $3x^2-6x-1=0$,
$a=3,b=-6,c=-1$.
$\because b^2-4ac=(-6)^2-4×3×(-1)=48$,
$\therefore x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6},\therefore x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
(6)$\because x^2+2\sqrt{2}x-6=0$ 中 $a=1,b=2\sqrt{2},c=-6$,
$b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×1×(-6)=32$,
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2},\therefore x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$.
$b^2-4ac=1+12=13,\therefore x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$,
$\therefore x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$.
(2)方程整理,得 $2x^2-x-6=0$,
$a=2,b=-1,c=-6$.
$\because b^2-4ac=1+48=49,\therefore x=\frac{1\pm7}{4}$,
$\therefore x_1=2,x_2=-\frac{3}{2}$.
(3)$\because x^2-2\sqrt{3}x+3=0$ 中 $a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$,
$b^2-4ac=12-12=0$,
$\therefore x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2},\therefore x_1=x_2=\sqrt{3}$.
(4)$\because 3x^2-5x+11=0$ 中 $a=3,b=-5,c=11$,
$b^2-4ac=25-132=-107＜0,\therefore$ 方程无解.
(5)方程整理,得 $3x^2-6x-1=0$,
$a=3,b=-6,c=-1$.
$\because b^2-4ac=(-6)^2-4×3×(-1)=48$,
$\therefore x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6},\therefore x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
(6)$\because x^2+2\sqrt{2}x-6=0$ 中 $a=1,b=2\sqrt{2},c=-6$,
$b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2-4×1×(-6)=32$,
$\therefore x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2},\therefore x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要用公式法解一元二次方程，需遵循以下思路：①先将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若已经是一般形式则直接进入下一步；②准确确定系数$a、b、c$的值，尤其要注意系数的正负号；③计算根的判别式 $\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；④若$\Delta≥0$，将$a、b、\Delta$代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 计算方程的根，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
(1) 对于方程 $x^2 - x - 3 = 0$，得 $a=1,b=-1,c=-3$，
判别式：$b^2-4ac=(-1)^2 - 4×1×(-3)=1+12=13＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即 $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 整理方程为一般形式：$2x^2 - x - 6 = 0$，得 $a=2,b=-1,c=-6$，
判别式：$b^2-4ac=(-1)^2 - 4×2×(-6)=1+48=49＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{1\pm7}{4}$，
即 $x_1=\frac{1+7}{4}=2,x_2=\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}$。
(3) 对于方程 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，得 $a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$，
判别式：$b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3=12-12=0$，
代入求根公式得 $x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2}=\sqrt{3}$，
即 $x_1=x_2=\sqrt{3}$。
(4) 对于方程 $3x^2 - 5x + 11 = 0$，得 $a=3,b=-5,c=11$，
判别式：$b^2-4ac=(-5)^2 - 4×3×11=25-132=-107＜0$，
∴ 该方程没有实数根。
(5) 整理方程为一般形式：$3x^2 - 6x - 1 = 0$，得 $a=3,b=-6,c=-1$，
判别式：$b^2-4ac=(-6)^2 - 4×3×(-1)=36+12=48＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6}=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，
即 $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$。
(6) 对于方程 $x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 = 0$，得 $a=1,b=2\sqrt{2},c=-6$，
判别式：$b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-6)=8+24=32＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2}=-\sqrt{2}\pm2\sqrt{2}$，
即 $x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1=2,x_2=-\frac{3}{2}$；
(3) $x_1=x_2=\sqrt{3}$；
(4) 无实数根；
(5) $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$；
(6) $x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程、根的判别式、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练，解题核心是严格遵循公式法的操作步骤，需特别注意方程要先化为一般形式，确定$a、b、c$时不要漏掉符号，计算判别式和根式化简时要细心，通过练习可熟练掌握公式法的应用，为后续解更复杂的方程打下基础。
【难度系数】
0.75
要用公式法解一元二次方程，需遵循以下思路：①先将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，若已经是一般形式则直接进入下一步；②准确确定系数$a、b、c$的值，尤其要注意系数的正负号；③计算根的判别式 $\Delta = b^2-4ac$，根据$\Delta$的符号判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根；④若$\Delta≥0$，将$a、b、\Delta$代入求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ 计算方程的根，最后将结果化为最简形式即可。
【解析】
(1) 对于方程 $x^2 - x - 3 = 0$，得 $a=1,b=-1,c=-3$，
判别式：$b^2-4ac=(-1)^2 - 4×1×(-3)=1+12=13＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即 $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$。
(2) 整理方程为一般形式：$2x^2 - x - 6 = 0$，得 $a=2,b=-1,c=-6$，
判别式：$b^2-4ac=(-1)^2 - 4×2×(-6)=1+48=49＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{1\pm7}{4}$，
即 $x_1=\frac{1+7}{4}=2,x_2=\frac{1-7}{4}=-\frac{3}{2}$。
(3) 对于方程 $x^2 - 2\sqrt{3}x + 3 = 0$，得 $a=1,b=-2\sqrt{3},c=3$，
判别式：$b^2-4ac=(-2\sqrt{3})^2 - 4×1×3=12-12=0$，
代入求根公式得 $x=\frac{2\sqrt{3}\pm0}{2}=\sqrt{3}$，
即 $x_1=x_2=\sqrt{3}$。
(4) 对于方程 $3x^2 - 5x + 11 = 0$，得 $a=3,b=-5,c=11$，
判别式：$b^2-4ac=(-5)^2 - 4×3×11=25-132=-107＜0$，
∴ 该方程没有实数根。
(5) 整理方程为一般形式：$3x^2 - 6x - 1 = 0$，得 $a=3,b=-6,c=-1$，
判别式：$b^2-4ac=(-6)^2 - 4×3×(-1)=36+12=48＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6}=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，
即 $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$。
(6) 对于方程 $x^2 + 2\sqrt{2}x - 6 = 0$，得 $a=1,b=2\sqrt{2},c=-6$，
判别式：$b^2-4ac=(2\sqrt{2})^2 - 4×1×(-6)=8+24=32＞0$，
代入求根公式得 $x=\frac{-2\sqrt{2}\pm\sqrt{32}}{2}=-\sqrt{2}\pm2\sqrt{2}$，
即 $x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $x_1=\frac{1+\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$；
(2) $x_1=2,x_2=-\frac{3}{2}$；
(3) $x_1=x_2=\sqrt{3}$；
(4) 无实数根；
(5) $x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$；
(6) $x_1=\sqrt{2},x_2=-3\sqrt{2}$。
【知识点】
公式法解一元二次方程、根的判别式、一元二次方程求根公式
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练，解题核心是严格遵循公式法的操作步骤，需特别注意方程要先化为一般形式，确定$a、b、c$时不要漏掉符号，计算判别式和根式化简时要细心，通过练习可熟练掌握公式法的应用，为后续解更复杂的方程打下基础。
【难度系数】
0.75
6.若方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是一元二次方程，则方程的根是（
A.$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B.$x_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{4}$
C.$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
D.以上都不对
B
）A.$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B.$x_1=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\dfrac{-\sqrt{5}-1}{4}$
C.$x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x_2=\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2}$
D.以上都不对
答案
6.B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程要求未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此先求出m的值，再将m代入原方程得到标准的一元二次方程，最后用公式法求解方程的根，匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是一元二次方程
∴ 需满足两个条件：$\begin{cases} |m|=2 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解得：$m=\pm2$，且$m≠2$，故$m=-2$
将$m=-2$代入原方程得：
$(-2-2)x^2 -2x +1=0$，整理得$4x^2 +2x -1=0$
这里$a=4$，$b=2$，$c=-1$
先计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2 - 4×4×(-1)=4+16=20＞0$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；公式法解一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题核心考点为一元二次方程的定义，解题时需特别注意二次项系数不为0的隐含限制条件，避免错取m的值，再熟练运用公式法求解方程根即可，是一元二次方程章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程要求未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此先求出m的值，再将m代入原方程得到标准的一元二次方程，最后用公式法求解方程的根，匹配对应选项即可。
【解析】
∵ 方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是一元二次方程
∴ 需满足两个条件：$\begin{cases} |m|=2 \\ m-2≠0 \end{cases}$
解得：$m=\pm2$，且$m≠2$，故$m=-2$
将$m=-2$代入原方程得：
$(-2-2)x^2 -2x +1=0$，整理得$4x^2 +2x -1=0$
这里$a=4$，$b=2$，$c=-1$
先计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2 - 4×4×(-1)=4+16=20＞0$
根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，代入得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义；公式法解一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题核心考点为一元二次方程的定义，解题时需特别注意二次项系数不为0的隐含限制条件，避免错取m的值，再熟练运用公式法求解方程根即可，是一元二次方程章节的典型基础题。
【难度系数】
0.7
7.若方程$2x^2 -6x +3=0$的较小根为$p$，方程$2x^2 -2x -1=0$的较大根为$q$，则$p+q=$
$2$
.答案
7.2
解析
【分析】
本题要求两个一元二次方程指定大小的根的和，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程的求根公式，对于形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的方程，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$b^2-4ac≥0$）；第二步，分别计算两个方程的两个根，根据实数大小比较规则，找到第一个方程的较小根$p$和第二个方程的较大根$q$；第三步，将$p$和$q$相加化简得到结果。
【解析】
1. 求方程$2x^2 -6x +3=0$的较小根$p$：
对于该方程，$a=2$，$b=-6$，$c=3$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-6)^2-4×2×3=36-24=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$，
因为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}＜\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，所以较小根$p=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。
2. 求方程$2x^2 -2x -1=0$的较大根$q$：
对于该方程，$a=2$，$b=-2$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-2)^2-4×2×(-1)=4+8=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$，
因为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}＞\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，所以较大根$q=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。
3. 计算$p+q$：
$p+q=\frac{3-\sqrt{3}}{2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 实数大小比较
3. 二次根式运算
【点评】
本题核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题时需准确确定方程各项系数，正确计算判别式，再根据要求筛选对应根，求和时无理项相互抵消，简化了计算过程，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
本题要求两个一元二次方程指定大小的根的和，解题思路如下：第一步，回忆一元二次方程的求根公式，对于形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的方程，根为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$b^2-4ac≥0$）；第二步，分别计算两个方程的两个根，根据实数大小比较规则，找到第一个方程的较小根$p$和第二个方程的较大根$q$；第三步，将$p$和$q$相加化简得到结果。
【解析】
1. 求方程$2x^2 -6x +3=0$的较小根$p$：
对于该方程，$a=2$，$b=-6$，$c=3$，
先计算判别式：$\Delta = b^2-4ac=(-6)^2-4×2×3=36-24=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{6\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}$，
因为$\frac{3-\sqrt{3}}{2}＜\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，所以较小根$p=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。
2. 求方程$2x^2 -2x -1=0$的较大根$q$：
对于该方程，$a=2$，$b=-2$，$c=-1$，
计算判别式：$\Delta = (-2)^2-4×2×(-1)=4+8=12＞0$，
代入求根公式得：$x=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2×2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{4}=\frac{1\pm\sqrt{3}}{2}$，
因为$\frac{1+\sqrt{3}}{2}＞\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，所以较大根$q=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$。
3. 计算$p+q$：
$p+q=\frac{3-\sqrt{3}}{2}+\frac{1+\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}+1+\sqrt{3}}{2}=\frac{4}{2}=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 公式法解一元二次方程
2. 实数大小比较
3. 二次根式运算
【点评】
本题核心考查公式法解一元二次方程的应用，解题时需准确确定方程各项系数，正确计算判别式，再根据要求筛选对应根，求和时无理项相互抵消，简化了计算过程，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.7
8.如图，AB=1，点C在线段AB上，且$AC^2=BC· AB$，则线段AC的长为
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
。答案
8.$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析
【分析】
解题时先设AC的长度为x，根据线段AB的长度可表示出BC=1-x，再将AC、BC、AB的长度代入已知等量关系$AC^2=BC·AB$，即可得到关于x的一元二次方程，用公式法求解方程后，结合线段长度为正数的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到AC的长度。
【解析】
设$AC=x$，
$\because AB=1$，点C在线段AB上，
$\therefore BC=AB-AC=1-x$，
将AC、BC、AB代入$AC^2=BC·AB$，得：
$x^2=1×(1-x)$
整理得：$x^2+x-1=0$
这里$a=1$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\because$线段长度为正数，即$x＞0$，
$\therefore x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$为负数，舍去，
$\therefore x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
线段的和差计算、公式法解一元二次方程、一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过线段关系和已知等量关系建立一元二次方程模型，求解时要注意结合线段的实际意义对根进行取舍，该题的结论也是黄金分割的典型结论，掌握后可快速作答。
【难度系数】
0.7
解题时先设AC的长度为x，根据线段AB的长度可表示出BC=1-x，再将AC、BC、AB的长度代入已知等量关系$AC^2=BC·AB$，即可得到关于x的一元二次方程，用公式法求解方程后，结合线段长度为正数的实际意义舍去不符合要求的根，就能得到AC的长度。
【解析】
设$AC=x$，
$\because AB=1$，点C在线段AB上，
$\therefore BC=AB-AC=1-x$，
将AC、BC、AB代入$AC^2=BC·AB$，得：
$x^2=1×(1-x)$
整理得：$x^2+x-1=0$
这里$a=1$，$b=1$，$c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=1^2-4×1×(-1)=5＞0$，
由求根公式得$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$，
$\because$线段长度为正数，即$x＞0$，
$\therefore x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$为负数，舍去，
$\therefore x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
【知识点】
线段的和差计算、公式法解一元二次方程、一元二次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心是通过线段关系和已知等量关系建立一元二次方程模型，求解时要注意结合线段的实际意义对根进行取舍，该题的结论也是黄金分割的典型结论，掌握后可快速作答。
【难度系数】
0.7
