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10. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(2x+3)^2 -5=0$；
(2)$x^2 +2x -99=0$；
(3)$4x(2x-1)=3(2x-1)$；
(4)$(x-2)^2=(2x+3)^2$；
(5)$2x^2 -9x +8=0$；
(6)$(2x+1)(x-3)=-4$。
(1)$(2x+3)^2 -5=0$；
(2)$x^2 +2x -99=0$；
(3)$4x(2x-1)=3(2x-1)$；
(4)$(x-2)^2=(2x+3)^2$；
(5)$2x^2 -9x +8=0$；
(6)$(2x+1)(x-3)=-4$。
答案
10.解:(1)方程移项,得$(2x+3)^2=5$,
开平方,得$2x+3=\pm\sqrt{5}$,
解得$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.
(2)方程移项,得$x^2+2x=99$,
配方,得$x^2+2x+1=100$,即$(x+1)^2=100$,
开平方,得$x+1=10$或$x+1=-10$,
解得$x_1=9,x_2=-11$.
(3)方程移项,得$4x(2x-1)-3(2x-1)=0$,
分解因式,得$(4x-3)(2x-1)=0$,
解得$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$.
(4)方程移项,得$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$,
分解因式,得$[x-2+(2x+3)][x-2-(2x+3)]=0$,
即$(3x+1)(-x-5)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$.
(5)方程$2x^2-9x+8=0$中,$a=2,b=-9,c=8$.
$\because b^2-4ac=81-4×2×8=17＞0$,
$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4},\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
(6)方程整理,得$2x^2-5x+1=0$,
其中$a=2,b=-5,c=1$.
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17$,
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2},\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
开平方,得$2x+3=\pm\sqrt{5}$,
解得$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.
(2)方程移项,得$x^2+2x=99$,
配方,得$x^2+2x+1=100$,即$(x+1)^2=100$,
开平方,得$x+1=10$或$x+1=-10$,
解得$x_1=9,x_2=-11$.
(3)方程移项,得$4x(2x-1)-3(2x-1)=0$,
分解因式,得$(4x-3)(2x-1)=0$,
解得$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$.
(4)方程移项,得$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$,
分解因式,得$[x-2+(2x+3)][x-2-(2x+3)]=0$,
即$(3x+1)(-x-5)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$.
(5)方程$2x^2-9x+8=0$中,$a=2,b=-9,c=8$.
$\because b^2-4ac=81-4×2×8=17＞0$,
$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4},\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
(6)方程整理,得$2x^2-5x+1=0$,
其中$a=2,b=-5,c=1$.
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17$,
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2},\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+2)x+2k=0$.
(1)求证:无论$k$为何值,此方程总有一个根是定值;
(2)若直角三角形的一边为3,另两边的长恰好是这个方程的两根,求$k$的值.
(1)求证:无论$k$为何值,此方程总有一个根是定值;
(2)若直角三角形的一边为3,另两边的长恰好是这个方程的两根,求$k$的值.
答案
11.(1)证明:$\because x^2-(k+2)x+2k=0$,
$\therefore (x-2)(x-k)=0$,
$\therefore$无论$k$为何值,此方程总有一个根是$x=2$.
(2)解:解方程$x^2-(k+2)x+2k=0$,
得方程的两根分别为$2,k$.
若斜边长为3,可令另两直角边的长分别为2和$k$,
$\therefore 2^2+k^2=3^2,k^2=5$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{5}$.
若直角边长为3,则令斜边长为$k$,另一直角边长为2,
$\therefore 2^2+3^2=k^2$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{13}$.
综上所述,$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
$\therefore (x-2)(x-k)=0$,
$\therefore$无论$k$为何值,此方程总有一个根是$x=2$.
(2)解:解方程$x^2-(k+2)x+2k=0$,
得方程的两根分别为$2,k$.
若斜边长为3,可令另两直角边的长分别为2和$k$,
$\therefore 2^2+k^2=3^2,k^2=5$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{5}$.
若直角边长为3,则令斜边长为$k$,另一直角边长为2,
$\therefore 2^2+3^2=k^2$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{13}$.
综上所述,$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
12. 阅读理解 将多项式的乘法$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$反过来，就是多项式的因式分解$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$. 例如，$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$反过来是因式分解$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. 这一做法也可推广到一次因式中$x$的系数不为1的情形，例如，$(3x+1)(x+1)=3x^2+4x+1$反过来就是因式分解$3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1)$.
试利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2+6x+8=0$；
(2)$x^2-4x-5=0$；
(3)$2x^2-5x+3=0$；
(4)$6x^2-11x+3=0$.
试利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2+6x+8=0$；
(2)$x^2-4x-5=0$；
(3)$2x^2-5x+3=0$；
(4)$6x^2-11x+3=0$.
答案
12.解:(1)$\because x^2+6x+8=0,\therefore (x+2)(x+4)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x+4=0,\therefore x_1=-2,x_2=-4$.
(2)$\because x^2-4x-5=0,\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0,\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3)$\because 2x^2-5x+3=0,\therefore (2x-3)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=1$.
(4)$\because 6x^2-11x+3=0,\therefore (2x-3)(3x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$3x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
$\therefore x+2=0$或$x+4=0,\therefore x_1=-2,x_2=-4$.
(2)$\because x^2-4x-5=0,\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0,\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3)$\because 2x^2-5x+3=0,\therefore (2x-3)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=1$.
(4)$\because 6x^2-11x+3=0,\therefore (2x-3)(3x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$3x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
