登录
10. 用适当的方法解下列方程：
(1)$(2x+3)^2 -5=0$；
(2)$x^2 +2x -99=0$；
(3)$4x(2x-1)=3(2x-1)$；
(4)$(x-2)^2=(2x+3)^2$；
(5)$2x^2 -9x +8=0$；
(6)$(2x+1)(x-3)=-4$。
(1)$(2x+3)^2 -5=0$；
(2)$x^2 +2x -99=0$；
(3)$4x(2x-1)=3(2x-1)$；
(4)$(x-2)^2=(2x+3)^2$；
(5)$2x^2 -9x +8=0$；
(6)$(2x+1)(x-3)=-4$。
答案
10.解:(1)方程移项,得$(2x+3)^2=5$,
开平方,得$2x+3=\pm\sqrt{5}$,
解得$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.
(2)方程移项,得$x^2+2x=99$,
配方,得$x^2+2x+1=100$,即$(x+1)^2=100$,
开平方,得$x+1=10$或$x+1=-10$,
解得$x_1=9,x_2=-11$.
(3)方程移项,得$4x(2x-1)-3(2x-1)=0$,
分解因式,得$(4x-3)(2x-1)=0$,
解得$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$.
(4)方程移项,得$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$,
分解因式,得$[x-2+(2x+3)][x-2-(2x+3)]=0$,
即$(3x+1)(-x-5)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$.
(5)方程$2x^2-9x+8=0$中,$a=2,b=-9,c=8$.
$\because b^2-4ac=81-4×2×8=17＞0$,
$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4},\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
(6)方程整理,得$2x^2-5x+1=0$,
其中$a=2,b=-5,c=1$.
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17$,
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2},\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
开平方,得$2x+3=\pm\sqrt{5}$,
解得$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$.
(2)方程移项,得$x^2+2x=99$,
配方,得$x^2+2x+1=100$,即$(x+1)^2=100$,
开平方,得$x+1=10$或$x+1=-10$,
解得$x_1=9,x_2=-11$.
(3)方程移项,得$4x(2x-1)-3(2x-1)=0$,
分解因式,得$(4x-3)(2x-1)=0$,
解得$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$.
(4)方程移项,得$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$,
分解因式,得$[x-2+(2x+3)][x-2-(2x+3)]=0$,
即$(3x+1)(-x-5)=0$,解得$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$.
(5)方程$2x^2-9x+8=0$中,$a=2,b=-9,c=8$.
$\because b^2-4ac=81-4×2×8=17＞0$,
$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4},\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$.
(6)方程整理,得$2x^2-5x+1=0$,
其中$a=2,b=-5,c=1$.
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17$,
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2},\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$.
解析
【分析】
解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的方法：
(1)方程左边是完全平方式、右边为常数，优先选用直接开平方法；
(2)二次项系数为1、一次项系数为偶数，适合用配方法求解；
(3)方程两边含相同公因式，优先移项提公因式因式分解求解，注意不要直接约去公因式避免漏解；
(4)方程左右两边均为完全平方式，移项后可利用平方差公式因式分解求解；
(5)方程无明显因式分解特征，选用通用的公式法求解；
(6)先整理为一元二次方程的一般形式，再选用公式法求解。
【解析】
(1)方程移项，得$(2x+3)^2=5$，
开平方，得$2x+3=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(2)方程移项，得$x^2+2x=99$，
配方，得$x^2+2x+1=100$，即$(x+1)^2=100$，
开平方，得$x+1=10$或$x+1=-10$，
解得$x_1=9,x_2=-11$。
(3)方程移项，得$4x(2x-1)-3(2x-1)=0$，
分解因式，得$(4x-3)(2x-1)=0$，
解得$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$。
(4)方程移项，得$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$，
分解因式，得$[x-2+(2x+3)][x-2-(2x+3)]=0$，
即$(3x+1)(-x-5)=0$，解得$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$。
(5)方程$2x^2-9x+8=0$中，$a=2,b=-9,c=8$。
$\because b^2-4ac=81-4×2×8=17＞0$，
$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$，$\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
(6)方程整理，得$2x^2-5x+1=0$，
其中$a=2,b=-5,c=1$。
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17$，
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=9,x_2=-11$
(3)$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$
(4)$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$
(5)$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
(6)$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法应用，解题时需根据方程的特征灵活选择简便方法，提升解题效率，求解时注意避免漏解、计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法，解题时需根据方程的结构特征选择最简便的方法：
(1)方程左边是完全平方式、右边为常数，优先选用直接开平方法；
(2)二次项系数为1、一次项系数为偶数，适合用配方法求解；
(3)方程两边含相同公因式，优先移项提公因式因式分解求解，注意不要直接约去公因式避免漏解；
(4)方程左右两边均为完全平方式，移项后可利用平方差公式因式分解求解；
(5)方程无明显因式分解特征，选用通用的公式法求解；
(6)先整理为一元二次方程的一般形式，再选用公式法求解。
【解析】
(1)方程移项，得$(2x+3)^2=5$，
开平方，得$2x+3=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$。
(2)方程移项，得$x^2+2x=99$，
配方，得$x^2+2x+1=100$，即$(x+1)^2=100$，
开平方，得$x+1=10$或$x+1=-10$，
解得$x_1=9,x_2=-11$。
(3)方程移项，得$4x(2x-1)-3(2x-1)=0$，
分解因式，得$(4x-3)(2x-1)=0$，
解得$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$。
(4)方程移项，得$(x-2)^2-(2x+3)^2=0$，
分解因式，得$[x-2+(2x+3)][x-2-(2x+3)]=0$，
即$(3x+1)(-x-5)=0$，解得$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$。
(5)方程$2x^2-9x+8=0$中，$a=2,b=-9,c=8$。
$\because b^2-4ac=81-4×2×8=17＞0$，
$\therefore x=\frac{9\pm\sqrt{17}}{4}$，$\therefore x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$。
(6)方程整理，得$2x^2-5x+1=0$，
其中$a=2,b=-5,c=1$。
$\because b^2-4ac=(-5)^2-4×2×1=17$，
$\therefore x=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2×2}$，$\therefore x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=-\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-3+\sqrt{5}}{2}$
(2)$x_1=9,x_2=-11$
(3)$x_1=\frac{3}{4},x_2=\frac{1}{2}$
(4)$x_1=-\frac{1}{3},x_2=-5$
(5)$x_1=\frac{9+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{9-\sqrt{17}}{4}$
(6)$x_1=\frac{5+\sqrt{17}}{4},x_2=\frac{5-\sqrt{17}}{4}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程的解法应用，解题时需根据方程的特征灵活选择简便方法，提升解题效率，求解时注意避免漏解、计算错误等问题。
【难度系数】
0.8
11.已知关于$x$的一元二次方程$x^2-(k+2)x+2k=0$.
(1)求证:无论$k$为何值,此方程总有一个根是定值;
(2)若直角三角形的一边为3,另两边的长恰好是这个方程的两根,求$k$的值.
(1)求证:无论$k$为何值,此方程总有一个根是定值;
(2)若直角三角形的一边为3,另两边的长恰好是这个方程的两根,求$k$的值.
答案
11.(1)证明:$\because x^2-(k+2)x+2k=0$,
$\therefore (x-2)(x-k)=0$,
$\therefore$无论$k$为何值,此方程总有一个根是$x=2$.
(2)解:解方程$x^2-(k+2)x+2k=0$,
得方程的两根分别为$2,k$.
若斜边长为3,可令另两直角边的长分别为2和$k$,
$\therefore 2^2+k^2=3^2,k^2=5$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{5}$.
若直角边长为3,则令斜边长为$k$,另一直角边长为2,
$\therefore 2^2+3^2=k^2$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{13}$.
综上所述,$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
$\therefore (x-2)(x-k)=0$,
$\therefore$无论$k$为何值,此方程总有一个根是$x=2$.
(2)解:解方程$x^2-(k+2)x+2k=0$,
得方程的两根分别为$2,k$.
若斜边长为3,可令另两直角边的长分别为2和$k$,
$\therefore 2^2+k^2=3^2,k^2=5$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{5}$.
若直角边长为3,则令斜边长为$k$,另一直角边长为2,
$\therefore 2^2+3^2=k^2$.
$\because k＞0,\therefore k=\sqrt{13}$.
综上所述,$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$.
解析
【分析】
(1) 要证明一元二次方程总有一个定值根，可通过因式分解法求解方程，得到两个根后观察是否存在不受k值影响的固定根即可。本题的二次三项式适合用十字相乘法因式分解，分解后可直接看出根的情况。
(2) 先求出方程的两个根为2和k，结合直角三角形的边长条件，已知一边长为3，需分类讨论3是直角边还是斜边两种情况，再利用勾股定理列方程求解，同时注意边长为正数，舍去不符合题意的负根。
【解析】
(1) 证明：对一元二次方程$x^2-(k+2)x+2k=0$因式分解，可得：
$(x-2)(x-k)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=k$，
$\therefore$无论$k$为何值，此方程总有一个根是$x=2$，为定值。
(2) 解：由(1)可知，方程$x^2-(k+2)x+2k=0$的两根分别为$2$和$k$。
已知直角三角形的一边为3，另两边为2和k，分两种情况讨论：
① 若斜边长为3，则2和k为两条直角边的长，由勾股定理得：
$2^2+k^2=3^2$，即$k^2=5$，
$\because$三角形边长为正数，即$k＞0$，$\therefore k=\sqrt{5}$；
② 若长为3的边是直角边，则斜边长为$k$，另一条直角边长为2，由勾股定理得：
$2^2+3^2=k^2$，即$k^2=13$，
$\because k＞0$，$\therefore k=\sqrt{13}$。
综上所述，$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 无论$k$为何值，方程总有一个定值根$x=2$；
(2) $k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【知识点】
一元二次方程因式分解解法，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题将一元二次方程的求解与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程，同时在涉及直角三角形边长未明确是直角边还是斜边时，要注意分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明一元二次方程总有一个定值根，可通过因式分解法求解方程，得到两个根后观察是否存在不受k值影响的固定根即可。本题的二次三项式适合用十字相乘法因式分解，分解后可直接看出根的情况。
(2) 先求出方程的两个根为2和k，结合直角三角形的边长条件，已知一边长为3，需分类讨论3是直角边还是斜边两种情况，再利用勾股定理列方程求解，同时注意边长为正数，舍去不符合题意的负根。
【解析】
(1) 证明：对一元二次方程$x^2-(k+2)x+2k=0$因式分解，可得：
$(x-2)(x-k)=0$，
解得$x_1=2$，$x_2=k$，
$\therefore$无论$k$为何值，此方程总有一个根是$x=2$，为定值。
(2) 解：由(1)可知，方程$x^2-(k+2)x+2k=0$的两根分别为$2$和$k$。
已知直角三角形的一边为3，另两边为2和k，分两种情况讨论：
① 若斜边长为3，则2和k为两条直角边的长，由勾股定理得：
$2^2+k^2=3^2$，即$k^2=5$，
$\because$三角形边长为正数，即$k＞0$，$\therefore k=\sqrt{5}$；
② 若长为3的边是直角边，则斜边长为$k$，另一条直角边长为2，由勾股定理得：
$2^2+3^2=k^2$，即$k^2=13$，
$\because k＞0$，$\therefore k=\sqrt{13}$。
综上所述，$k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【答案】
(1) 无论$k$为何值，方程总有一个定值根$x=2$；
(2) $k$的值为$\sqrt{5}$或$\sqrt{13}$。
【知识点】
一元二次方程因式分解解法，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题将一元二次方程的求解与直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程，同时在涉及直角三角形边长未明确是直角边还是斜边时，要注意分类讨论，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.7
12. 阅读理解 将多项式的乘法$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$反过来，就是多项式的因式分解$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$. 例如，$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$反过来是因式分解$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$. 这一做法也可推广到一次因式中$x$的系数不为1的情形，例如，$(3x+1)(x+1)=3x^2+4x+1$反过来就是因式分解$3x^2+4x+1=(3x+1)(x+1)$.
试利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2+6x+8=0$；
(2)$x^2-4x-5=0$；
(3)$2x^2-5x+3=0$；
(4)$6x^2-11x+3=0$.
试利用这种因式分解的方法解下列一元二次方程：
(1)$x^2+6x+8=0$；
(2)$x^2-4x-5=0$；
(3)$2x^2-5x+3=0$；
(4)$6x^2-11x+3=0$.
答案
12.解:(1)$\because x^2+6x+8=0,\therefore (x+2)(x+4)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x+4=0,\therefore x_1=-2,x_2=-4$.
(2)$\because x^2-4x-5=0,\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0,\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3)$\because 2x^2-5x+3=0,\therefore (2x-3)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=1$.
(4)$\because 6x^2-11x+3=0,\therefore (2x-3)(3x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$3x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
$\therefore x+2=0$或$x+4=0,\therefore x_1=-2,x_2=-4$.
(2)$\because x^2-4x-5=0,\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0,\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3)$\because 2x^2-5x+3=0,\therefore (2x-3)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=1$.
(4)$\because 6x^2-11x+3=0,\therefore (2x-3)(3x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$3x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题需使用十字相乘法因式分解求解一元二次方程，解题思路如下：第一步，将方程左边的二次三项式按十字相乘规则分解为两个一次因式的乘积：若二次项系数为1，找到两个数满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可写成$(x+a)(x+b)$的形式；若二次项系数不为1，分别拆分二次项系数和常数项为两个因数的乘积，验证交叉相乘的和等于一次项系数后，即可写成$(mx+a)(nx+b)$的形式。第二步，根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。第三步，分别求解两个一次方程，得到原方程的解。
【解析】
(1) $\because x^2+6x+8=0,\therefore (x+2)(x+4)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x+4=0,\therefore x_1=-2,x_2=-4$.
(2) $\because x^2-4x-5=0,\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0,\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3) $\because 2x^2-5x+3=0,\therefore (2x-3)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=1$.
(4) $\because 6x^2-11x+3=0,\therefore (2x-3)(3x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$3x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=-4$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$；(4)$x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握十字相乘法因式分解的技巧，通过因式分解将二次方程降次为一次方程求解，能大幅简化计算过程，解题时需注意拆分后验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，避免拆分错误。
【难度系数】
0.75
本题需使用十字相乘法因式分解求解一元二次方程，解题思路如下：第一步，将方程左边的二次三项式按十字相乘规则分解为两个一次因式的乘积：若二次项系数为1，找到两个数满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，即可写成$(x+a)(x+b)$的形式；若二次项系数不为1，分别拆分二次项系数和常数项为两个因数的乘积，验证交叉相乘的和等于一次项系数后，即可写成$(mx+a)(nx+b)$的形式。第二步，根据“乘积为0的两个因式至少有一个为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。第三步，分别求解两个一次方程，得到原方程的解。
【解析】
(1) $\because x^2+6x+8=0,\therefore (x+2)(x+4)=0$,
$\therefore x+2=0$或$x+4=0,\therefore x_1=-2,x_2=-4$.
(2) $\because x^2-4x-5=0,\therefore (x-5)(x+1)=0$,
$\therefore x-5=0$或$x+1=0,\therefore x_1=5,x_2=-1$.
(3) $\because 2x^2-5x+3=0,\therefore (2x-3)(x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=1$.
(4) $\because 6x^2-11x+3=0,\therefore (2x-3)(3x-1)=0$,
$\therefore 2x-3=0$或$3x-1=0,\therefore x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$.
【答案】
(1)$x_1=-2,x_2=-4$；(2)$x_1=5,x_2=-1$；(3)$x_1=\frac{3}{2},x_2=1$；(4)$x_1=\frac{3}{2},x_2=\frac{1}{3}$
【知识点】
十字相乘法因式分解、因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心是掌握十字相乘法因式分解的技巧，通过因式分解将二次方程降次为一次方程求解，能大幅简化计算过程，解题时需注意拆分后验证交叉相乘的和是否等于一次项系数，避免拆分错误。
【难度系数】
0.75
