8.若直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{2}{x}$的交点坐标为$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$，则$2x_1y_2 -5x_2y_1$的值为。

解：
因为直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{2}{x}$的图象均关于原点对称，所以它们的交点也关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。
又因为点$(x_1,y_1)$在双曲线$y=\frac{2}{x}$上，所以满足$x_1y_1=2$。
将$y_2=-y_1$、$x_2=-x_1$代入$2x_1y_2 -5x_2y_1$：
$\begin{aligned}2x_1y_2 -5x_2y_1&=2x_1·(-y_1) -5·(-x_1)· y_1\\&=-2x_1y_1 +5x_1y_1\\&=3x_1y_1\\&=3×2\\&=6\end{aligned}$
答案：$\boldsymbol{6}$

【分析】
解题时首先回忆正比例函数与反比例函数的图象特征：二者都是以原点为对称中心的中心对称图形，因此它们的交点也关于原点对称，即两个交点的横、纵坐标分别互为相反数；其次，双曲线上的点满足横、纵坐标的乘积等于反比例函数的比例系数，即$x_1y_1=2$；最后将坐标的对称关系代入所求代数式，化简后代入$x_1y_1$的值即可求出结果。
【解析】
解：
∵直线$y=kx(k＞0)$与双曲线$y=\frac{2}{x}$的图象均关于原点对称，
∴两个交点$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$关于原点对称，即$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$。
又
∵点$(x_1,y_1)$在双曲线$y=\frac{2}{x}$上，
∴代入得$x_1y_1=2$。
将$x_2=-x_1$，$y_2=-y_1$代入$2x_1y_2 -5x_2y_1$，可得：
$\begin{aligned}2x_1y_2 -5x_2y_1&=2x_1·(-y_1) -5·(-x_1)· y_1\\&=-2x_1y_1 +5x_1y_1\\&=3x_1y_1\end{aligned}$
把$x_1y_1=2$代入上式，得：
原式$=3×2=6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
1. 反比例函数的图象性质
2. 中心对称的性质
3. 反比例函数点的坐标特征
【点评】
本题巧妙利用正比例函数和反比例函数的中心对称性简化计算，避免了联立方程求解坐标的繁琐步骤，解题关键是掌握反比例函数图象上的点横纵坐标乘积为定值的性质，对函数对称性的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

9.点$A(x_1,y_1),B(x_1+1,y_2)$是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的两点，满足当$x_1＞0$时，均有$y_1＜y_2$，则k的取值范围是.

9.$k＜0$

【分析】
解题思路如下：第一步，先判断点A、B所在的象限：已知$x_1＞0$，可得$x_1+1＞x_1＞0$，说明两点都在$x＞0$的区域，即同一象限内，满足反比例函数增减性的应用前提。第二步，对比自变量和函数值的变化规律：自变量$x$从$x_1$增加到$x_1+1$时，对应的函数值$y_1＜y_2$，也就是$y$随$x$的增大而增大。第三步，结合反比例函数的增减性规律反推$k$的符号，即可得出$k$的取值范围。
【解析】
解：$\because x_1＞0$，
$\therefore x_1+1 ＞ x_1 ＞ 0$，
$\therefore$点$A(x_1,y_1)$、$B(x_1+1,y_2)$位于反比例函数图象的同一象限（第一象限）。
又$\because x$增大时，$y_1 ＜ y_2$，即$y$随$x$的增大而增大，
根据反比例函数的性质：对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$，当$k＜0$时，在每一象限内，$y$随$x$的增大而增大，
$\therefore k ＜ 0$。
【答案】
$k＜0$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.函数值大小比较
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题核心是先确认两点在同一象限，再结合自变量和函数值的变化规律判断$k$的符号，需注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，避免跨象限误用性质。
【难度系数】
0.8

10.反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的一支如图所示，它经过点(3，-2).
(1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支；
(2)求当$y≤5$且$y≠0$时，自变量$x$的取值范围.

10.解:(1)把$(3,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$-2=\frac{k}{3}$,
解得$k=-6$,$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$.
补画该函数的图象如答图.
(2)当$y=5$时,$-\frac{6}{x}=5$,解得$x=-\frac{6}{5}$,
$\therefore$当$y≤5$且$y≠0$时,$x≤-\frac{6}{5}$或$x＞0$.

【分析】
(1) 求解反比例函数表达式：反比例函数形式为$y=\frac{k}{x}$，仅含1个待定系数$k$，将已知经过的点$(3,-2)$代入解析式即可求出$k$的值，得到函数表达式；反比例函数图象是双曲线，$k＜0$时两支分别位于第二、四象限，已知给出的是第四象限分支，只需在第二象限绘制另一支即可，可选取第二象限内满足解析式的点平滑连接完成补画。
(2) 求解自变量取值范围：反比例函数图象不连续，需分象限讨论：先求出$y=5$时对应的$x$值，再结合$k＜0$时反比例函数在每个象限内$y$随$x$增大而增大的性质，分析第二象限内满足$y≤5$的$x$范围，第四象限内函数值均为负数，天然满足$y≤5$，合并两个范围即可得到结果。
【解析】
(1) 将点$(3,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$\displaystyle -2=\frac{k}{3}$
解得$k=-6$，因此反比例函数的表达式为$\displaystyle y=-\frac{6}{x}$。
该函数$k=-6＜0$，图象另一支位于第二象限，选取满足解析式的点平滑连接即可完成补画。
(2) 当$y=5$时，代入解析式得：
$\displaystyle 5=-\frac{6}{x}$
解得$\displaystyle x=-\frac{6}{5}$
由于$k=-6＜0$，反比例函数在第二象限内$y$随$x$增大而增大，因此第二象限内满足$y≤5$时，$x≤-\frac{6}{5}$；
第四象限内函数值均小于0，满足$y≤5$且$y≠0$，对应自变量取值为$x＞0$。
综上可得到自变量的取值范围。
【答案】
(1) 反比例函数的表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{6}{x}}$，补画图象如答图；
(2) 自变量$x$的取值范围是$\boldsymbol{x≤-\dfrac{6}{5}}$或$\boldsymbol{x＞0}$。
【知识点】
1. 待定系数法求反比例函数解析式
2. 反比例函数的图象与性质
3. 反比例函数不等式求解
【点评】
本题是反比例函数的典型基础题，既考查了解析式求解、图象绘制的基础技能，也考查了结合函数性质求解不等式的能力，解题时需注意反比例函数图象的不连续性，分象限讨论即可避免漏解。
【难度系数】
0.7

11.已知反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上有两个不同的点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$，若满足$x_1+x_2=3$，$y_1+y_2=9$，$x_1x_2=2$，求$m$的值.

11.解:由题知,因为点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上,所以$y_1=\frac{m}{x_1}$,$y_2=\frac{m}{x_2}$,
则$y_1+y_2=\frac{m}{x_1}+\frac{m}{x_2}=\frac{(x_1+x_2)m}{x_1x_2}$.
又$x_1+x_2=3$,$y_1+y_2=9$,$x_1x_2=2$,$\therefore \frac{3m}{2}=9$,解得$m=6$.

【分析】
解题时首先结合反比例函数的性质思考：位于反比例函数图象上的点，横纵坐标必然满足函数解析式，因此可将$y_1$、$y_2$分别用$m$和对应的横坐标表示。接下来观察已知条件给出了$y_1+y_2$、$x_1+x_2$、$x_1x_2$的取值，只需将$y_1+y_2$的表达式通分变形，就能凑出$x_1+x_2$和$x_1x_2$的整体结构，最后代入已知数值建立关于$m$的一元一次方程，解方程即可得到$m$的值。
【解析】
解：$\because$点$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$在反比例函数$y=\frac{m}{x}$的图象上，
$\therefore y_1=\frac{m}{x_1}$，$y_2=\frac{m}{x_2}$，
$\therefore y_1+y_2=\frac{m}{x_1}+\frac{m}{x_2}=\frac{m(x_1+x_2)}{x_1x_2}$。
又$\because x_1+x_2=3$，$y_1+y_2=9$，$x_1x_2=2$，
将以上数值代入得：$\frac{3m}{2}=9$，
解得$m=6$。
【答案】
$m=6$
【知识点】
1.反比例函数点的坐标特征
2.分式加减运算
3.整体代入求值
【点评】
本题属于反比例函数的基础应用类题型，解题核心是明确反比例函数图象上的点满足函数解析式，结合分式变形和整体代入思想即可快速求解，不需要复杂的运算。
【难度系数】
0.7

12.如图，$A(n-1,y_A),B(n+1,y_B),C(n,y_C)$三点在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，且$n＞1$.
(1)当$n=3$时，请比较$y_A+y_B$与$2y_C$的大小关系，并说明理由；
(2)若$y_A-y_C=2,y_C-y_B=1$，求该函数的表达式.

12.解:(1)$y_A+y_B＞2y_C$,理由如下：
$\because$当$n=3$时,$A(2,y_A)$,$B(4,y_B)$,$C(3,y_C)$.
$\because A(2,y_A)$,$B(4,y_B)$,$C(3,y_C)$三点在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
$\therefore y_A=\frac{k}{2}$,$y_B=\frac{k}{4}$,$y_C=\frac{k}{3}$,
$\therefore y_A+y_B=\frac{k}{2}+\frac{k}{4}=\frac{3}{4}k$,$2y_C=\frac{2}{3}k$.
$\because k＞0$,$\therefore y_A+y_B＞2y_C$.
(2)$\because A(n-1,y_A)$,$B(n+1,y_B)$,$C(n,y_C)$三点在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,且$n＞1$,
$\therefore y_A=\frac{k}{n-1}$,$y_B=\frac{k}{n+1}$,$y_C=\frac{k}{n}$.
$\because y_A-y_C=2$,$y_C-y_B=1$,
$\therefore \frac{k}{n-1}-\frac{k}{n}=2$,即$k=2n(n-1)$,$\frac{k}{n}-\frac{k}{n+1}=1$,即$k=n(n+1)$,
$\therefore 2(n-1)=n+1$,解得$n=3$,$\therefore k=2×3×2=12$,
$\therefore$该函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$.

【分析】
(1) 第一小问解题思路：先将$n=3$代入得到三个点的具体横坐标，再根据反比例函数图象上的点满足函数解析式，用$k$分别表示出$y_A、y_B、y_C$，计算$y_A+y_B$和$2y_C$的代数式，结合$k＞0$的条件即可比较大小。
(2) 第二小问解题思路：先用含$k$和$n$的代数式表示出三个点的纵坐标，再根据给出的两个纵坐标的差的等量关系列方程，联立方程消去$k$求出$n$的值，再代入求出$k$即可得到函数表达式。
【解析】
(1) $y_A+y_B＞2y_C$，理由如下：
当$n=3$时，$A(2,y_A)$，$B(4,y_B)$，$C(3,y_C)$。
∵$A、B、C$三点在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，
∴$y_A=\frac{k}{2}$，$y_B=\frac{k}{4}$，$y_C=\frac{k}{3}$，
∴$y_A+y_B=\frac{k}{2}+\frac{k}{4}=\frac{3}{4}k$，$2y_C=2×\frac{k}{3}=\frac{2}{3}k$，
∵$k＞0$，且$\frac{3}{4}＞\frac{2}{3}$，
∴$\frac{3}{4}k＞\frac{2}{3}k$，即$y_A+y_B＞2y_C$。
(2)
∵$A(n-1,y_A),B(n+1,y_B),C(n,y_C)$三点在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，且$n＞1$，
∴$y_A=\frac{k}{n-1}$，$y_B=\frac{k}{n+1}$，$y_C=\frac{k}{n}$，
由$y_A-y_C=2$得：$\frac{k}{n-1}-\frac{k}{n}=2$，通分整理得$k=2n(n-1)$ ①，
由$y_C-y_B=1$得：$\frac{k}{n}-\frac{k}{n+1}=1$，通分整理得$k=n(n+1)$ ②，
联立①②得$2n(n-1)=n(n+1)$，
∵$n＞1$，$n≠0$，两边同时除以$n$得$2(n-1)=n+1$，解得$n=3$，
将$n=3$代入②得$k=3×(3+1)=12$，
∴该函数的表达式为$y=\frac{12}{x}$。
【答案】
(1) $y_A+y_B＞2y_C$
(2) $y=\frac{12}{x}$
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征；代数式比较大小；待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题考查反比例函数的基础应用，第一问属于基础题型，考查代数式化简和大小比较能力；第二问结合方程求解参数，核心是掌握反比例函数图象上的点符合函数解析式的性质，整体逻辑清晰，计算难度不大。
【难度系数】
0.7