1.关于x的函数$y=k(x-2)$和$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，它们在同一平面直角坐标系内的图象大致是（）

1.C

【分析】
这是同参数的一次函数与反比例函数图象判断问题，解题核心是两个函数中参数k的符号一致。首先先将一次函数整理为斜截式，再分k＞0和k＜0两种情况，分别判断两种函数图象的位置特征，再逐一对比选项排除矛盾的选项，就能得到正确答案。
【解析】
先化简一次函数：$y=k(x-2)=kx-2k$，分两种情况讨论：
1. 当$k＞0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第一、三象限；
一次函数$y=kx-2k$中，斜率$k＞0$（直线从左下向右上倾斜），截距$-2k＜0$（直线与y轴交于负半轴），且过点$(2,0)$，因此一次函数图象经过第一、三、四象限，对应选项C符合该特征。
2. 当$k＜0$时：
反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象位于第二、四象限；
一次函数$y=kx-2k$中，斜率$k＜0$（直线从左上向右下倾斜），截距$-2k＞0$（直线与y轴交于正半轴），且过点$(2,0)$，因此一次函数图象经过第一、二、四象限，选项A、B、D均不符合该特征：
A中反比例在一、三象限说明$k＞0$，但一次函数斜率为负说明$k＜0$，矛盾；
B中反比例在二、四象限说明$k＜0$，但一次函数截距为负，不符合$k＜0$时截距为正的特征，矛盾；
D中反比例在二、四象限说明$k＜0$，但一次函数斜率为正说明$k＞0$，矛盾。
综上只有选项C正确。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数图象性质；一次函数图象性质
【点评】
本题是函数图象判断的常见题型，解题关键是抓住两个函数的参数k符号一致的特点，通过分类讨论逐一排除错误选项，解题时要注意一次函数截距的符号计算，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.7

2.(2025·河北)在反比例函数$y=\frac{4}{x}$中，若$2＜y＜4$，则（）

A.$\frac{1}{2}＜x＜1$
B.$1＜x＜2$
C.$2＜x＜4$
D.$4＜x＜8$

2.B

【分析】
要解决这道题，首先分析反比例函数的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，当$k＞0$时，在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。本题中$k=4＞0$，且给出的$y$取值范围$2＜y＜4$均为正数，说明函数图象在第一象限，因此可以先求出边界$y=2$和$y=4$对应的$x$值，再结合增减性反推$x$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{4}{x}$：
1. 确定单调性：$\because k=4＞0$，$\therefore$在第一象限内，$y$随$x$的增大而减小，且$x＞0,y＞0$；
2. 计算边界对应的$x$值：
当$y=2$时，代入解析式得$2=\frac{4}{x}$，解得$x=2$；
当$y=4$时，代入解析式得$4=\frac{4}{x}$，解得$x=1$；
3. 结合增减性求$x$范围：
$\because 2＜y＜4$，且$y$随$x$增大而减小，$\therefore$对应的$x$取值为$1＜x＜2$。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的增减性；反比例函数图象与性质；自变量取值范围求解
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，解题关键是先判断函数所在象限，再结合单调性将函数值的范围转化为自变量的取值范围，注意反比例函数的增减性仅在同一个象限内成立。
【难度系数】
0.8

3.如图,正比例函数$y_1=kx$的图象与反比例函数$y_2=-\dfrac{6}{x}$的图象相交于A,B两点.已知点A的横坐标是－3.
(1)点B的坐标为;
(2)当$y_1＞y_2$时,$x$的取值范围为;
(3)不等式$kx+\dfrac{6}{x}≤0$的解集是.

(1) $(3,-2)$
(2) $x＜-3$或$0＜x＜3$
(3) $-3≤x＜0$或$x≥3$

【分析】
解题思路如下：
1. 先求点A坐标：已知A的横坐标为-3，且A在反比例函数$y_2=-\dfrac{6}{x}$上，代入即可求出A的纵坐标；再根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称的性质，直接得到点B的坐标。
2. 求$y_1＞y_2$的x范围：结合函数图象，观察正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值区间，注意反比例函数x不能为0，分左右两个分支讨论。
3. 解不等式$kx+\dfrac{6}{x}≤0$：先将不等式变形为$kx≤-\dfrac{6}{x}$，即$y_1≤y_2$，同样结合图象找正比例函数在反比例函数下方（含交点）的x区间，注意x≠0，且交点处等号成立。
【解析】
(1) 把$x=-3$代入$y_2=-\dfrac{6}{x}$，得$y_2=-\dfrac{6}{-3}=2$，所以点A坐标为$(-3,2)$。
因为正比例函数与反比例函数的图象交点关于原点对称，所以点B是点A关于原点的对称点，故点B的坐标为$(3,-2)$。
(2) 观察图象：
当$x＜-3$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$；
当$-3＜x＜0$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即$y_1＜y_2$；
当$0＜x＜3$时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，即$y_1＞y_2$；
当$x＞3$时，反比例函数图象在正比例函数图象上方，即$y_1＜y_2$；
交点处$y_1=y_2$，故$y_1＞y_2$时，x的取值范围是$x＜-3$或$0＜x＜3$。
(3) 不等式$kx+\dfrac{6}{x}≤0$可变形为$kx≤-\dfrac{6}{x}$，即$y_1≤y_2$，且$x≠0$。
结合图象可知：
当$-3≤x＜0$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方（含交点A），满足$y_1≤y_2$；
当$x≥3$时，正比例函数图象在反比例函数图象下方（含交点B），满足$y_1≤y_2$；
故不等式的解集为$-3≤x＜0$或$x≥3$。
【答案】
(1) $(3,-2)$
(2) $x＜-3$或$0＜x＜3$
(3) $-3≤x＜0$或$x≥3$
【知识点】
反比例函数与一次函数交点，函数图象解不等式，关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题考查反比例函数与正比例函数的综合应用，数形结合是解题的核心方法，要注意反比例函数自变量不能为0，比较函数值大小的几何意义是图象位置的高低，掌握交点处函数值相等，解题时不要漏考虑等号成立的条件。
【难度系数】
0.7

4.如图,一次函数$y=x+1$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$(k为常数)的图象相交于A(1,a),B(b,−1)两点.
(1)求a,b,k的值;
(2)点$P(m,n_1)$在一次函数$y=x+1$的图象上,点$Q(m,n_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,当$n_1＜n_2$时,直接写出m的取值范围.

4.解:(1)$\because$一次函数$y=x+1$的图象过$A(1,a),B(b,-1)$两点，
$\therefore a=1+1,-1=b+1$,解得$a=2,b=-2$,
$\therefore A(1,2),B(-2,-1)$.
把点$A$的坐标代入$y=\frac{k}{x}$($k$为常数),得$2=\frac{k}{1}$,
解得$k=2$.
(2)点$P(m,n_1)$在一次函数$y=x+1$的图象上,点$Q(m,n_2)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上,当$n_1＜n_2$时,$m＜-2$或$0＜m＜1$.

【分析】
(1) 解题思路：若点在函数图象上，则点的坐标满足对应函数的解析式。首先把A、B两点坐标分别代入一次函数解析式，即可求出a和b的值；得到A点的完整坐标后，再将A点坐标代入反比例函数解析式，就能求出k的值。
(2) 解题思路：$n_1＜n_2$的几何意义是：横坐标为$m$时，一次函数的图象位于反比例函数图象的下方。结合两个函数的交点坐标，以及反比例函数自变量$x≠0$的限制，观察图象分区间判断即可得到m的取值范围。
【解析】
(1) $\because$一次函数$y=x+1$的图象经过$A(1,a)$、$B(b,-1)$两点，
将点坐标代入一次函数解析式可得：
$a=1+1$，$-1=b+1$，
解得$a=2$，$b=-2$，
$\therefore$点A的坐标为$(1,2)$。
将$A(1,2)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得：
$2=\frac{k}{1}$，解得$k=2$。
(2) 由函数图象可知，一次函数图象在反比例函数图象下方的区域对应的x取值为：$x＜-2$或$0＜x＜1$，
$\because$点P和点Q横坐标均为$m$，
$\therefore$当$n_1＜n_2$时，$m$的取值范围是$m＜-2$或$0＜m＜1$。
【答案】
(1) $a=2$，$b=-2$，$k=2$；
(2) $m＜-2$或$0＜m＜1$
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征；函数与不等式的关系
【点评】
本题是反比例函数与一次函数的综合基础题，核心考察点为函数图象上点的坐标与解析式的对应关系，利用数形结合的方法求解函数值大小相关的不等式更简洁直观，是函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.8