1.(2025·天津)若点$A(-3,y_1)$，$B(1,y_2)$，$C(3,y_3)$都在反比例函数$y=-\frac{9}{x}$的图象上，则$y_1$，$y_2$，$y_3$的大小关系是（）

A.$y_1＜y_2＜y_3$
B.$y_3＜y_2＜y_1$
C.$y_1＜y_3＜y_2$
D.$y_2＜y_3＜y_1$

1.D

【分析】
要比较$y_1$、$y_2$、$y_3$的大小，有两种常用解题思路：一是直接代入法，将三个点的横坐标分别代入反比例函数解析式，计算出对应的纵坐标数值，再直接比较大小；二是性质判断法，先根据反比例函数中$k$的符号判断图象所在象限，再结合各点横坐标的正负确定点所在的象限，明确不同象限内点的纵坐标的正负性，最后结合同一象限内函数的增减性比较同象限内点的纵坐标大小，即可得出结论。
【解析】
方法1：代入求值法
将点$A(-3,y_1)$代入$y=-\frac{9}{x}$，得$y_1=-\frac{9}{-3}=3$；
将点$B(1,y_2)$代入$y=-\frac{9}{x}$，得$y_2=-\frac{9}{1}=-9$；
将点$C(3,y_3)$代入$y=-\frac{9}{x}$，得$y_3=-\frac{9}{3}=-3$；
∵$-9 ＜ -3 ＜ 3$，
∴$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
方法2：性质判断法
在反比例函数$y=-\frac{9}{x}$中，$k=-9＜0$，
∴函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
∵点A的横坐标$-3＜0$，
∴点A在第二象限，$y_1＞0$；
∵点B、C的横坐标$1＞0$、$3＞0$，
∴点B、C在第四象限，$y_2＜0$、$y_3＜0$。
在第四象限内，
∵$1＜3$，根据增减性可得$y_2 ＜ y_3$，
综上可得$y_2 ＜ y_3 ＜ y_1$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础应用题，两种解题方法都简单易操作，熟练掌握反比例函数的图象与性质可以提高解题效率，无需计算即可快速判断大小关系。
【难度系数】
0.9

2.(2025·广州)若$|k|=-k(k≠0)$，则反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在（）

A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限

2.C

【分析】
解题时首先从已知条件$|k|=-k(k≠0)$入手，先推导$k$的正负性：回忆绝对值的性质，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，结合$k≠0$的限定即可判断$k$为负数；再结合反比例函数图象的性质判断图象所在象限：反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象分布和$k$的符号直接相关，$k＞0$时图象在第一、三象限，$k＜0$时图象在第二、四象限，代入$k$的符号即可得出结果。
【解析】
解：$\because |k|=-k$，且$k≠0$，
$\therefore k＜0$，
根据反比例函数的图象性质：当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象的两个分支分别位于第二、第四象限，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与性质
【点评】
本题是基础题型，综合考查了绝对值的性质和反比例函数图象的性质，熟练掌握相关基础概念和性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.(2025·徐州丰县月考)已知反比例函数$y=\frac{m-1}{x}$的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是。

3.$m＜1$

【分析】
解题时首先回忆反比例函数的图象性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数且$k≠0$）的图象所在象限由$k$的符号决定，当$k＜0$时，图象分布在第二、四象限。结合本题给出的函数解析式，可知比例系数为$m-1$，根据图象在第二、四象限的条件，可列出关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于反比例函数$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$）：
当$k＞0$时，图象位于第一、三象限；当$k＜0$时，图象位于第二、四象限。
已知函数$y=\frac{m-1}{x}$的图象分布在第二、四象限，因此比例系数满足：
$m-1＜0$
解不等式得：$m＜1$
【答案】
$m＜1$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，核心考查反比例函数图象位置与比例系数符号的对应关系，熟练掌握相关性质是解题的关键，解题时注意不要混淆不同函数中系数符号对图象的影响。
【难度系数】
0.85

4.正比例函数$y=k_1x$与反比例函数$y=\dfrac{k_2}{x}$的图象有一个交点$(2,-1)$，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是________.

4.$(-2,1)$

【分析】
解题思路有两种：① 先将已知交点坐标分别代入两个函数解析式，求出两个函数的系数，再联立两个函数解析式组成方程组，解方程组即可得到另一个交点坐标；② 利用正比例函数与反比例函数的图象对称性：两类函数的图象均关于原点中心对称，因此它们的交点也关于原点对称，已知一个交点坐标，直接求其关于原点对称的点即可得到另一个交点，该方法更简便。
【解析】
方法一：
1. 求函数系数：将交点$(2,-1)$分别代入两个函数解析式：
代入$y=k_1x$得：$-1=2k_1$，解得$k_1=-\frac{1}{2}$，故正比例函数为$y=-\frac{1}{2}x$；
代入$y=\frac{k_2}{x}$得：$-1=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=-2$，故反比例函数为$y=\frac{-2}{x}$。
2. 联立方程求交点：联立$\begin{cases}y=-\frac{1}{2}x \\ y=\frac{-2}{x} \end{cases}$，消去$y$得：$-\frac{1}{2}x=\frac{-2}{x}$，整理得$x^2=4$，解得$x=2$或$x=-2$。
当$x=-2$时，$y=-\frac{1}{2}×(-2)=1$，因此另一个交点坐标为$(-2,1)$。
方法二：
因为正比例函数和反比例函数的图象均关于原点中心对称，所以两个函数的交点也关于原点对称。已知一个交点为$(2,-1)$，关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此另一个交点坐标为$(-2,1)$。
【答案】
$(-2,1)$
【知识点】
正比例函数的性质；反比例函数的性质；中心对称的性质
【点评】
本题考查正比例函数与反比例函数的交点问题，两种解题方法中，利用函数图象的中心对称性能快速得到答案，可提升解题速度，同学们要熟练掌握常见函数的图象对称性特征。
【难度系数】
0.8

5. 如图是反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的图象的一支，根据图象解答问题：
(1)图象的另一支位于第象限，写出k的取值范围，在每个象限内y随x的增大而；
(2)若点$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P(x_3,y_3)$均在该反比例函数图象上，若$x_1＜x_2＜0＜x_3$，比较$y_1,y_2,y_3$的大小关系.(用“＜”号连接)

5.(1)四 $k＞1$ 增大 (2)$y_3＜y_1＜y_2$

【分析】
解决本题首先要回忆反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$的图象与性质：①当$m＞0$时，图象位于第一、三象限，每个象限内$y$随$x$的增大而减小；②当$m＜0$时，图象位于第二、四象限，每个象限内$y$随$x$的增大而增大。
对于(1)，已知图象的一支在第二象限，说明比例系数$1-k＜0$，由此可推导$k$的取值范围、另一支所在象限和增减性；
对于(2)，先根据横坐标的正负判断三个点所在的象限，不同象限的点先比较$y$值的正负，同象限内的点再结合函数增减性比较$y$值大小即可。
【解析】
(1) 已知反比例函数$y=\frac{1-k}{x}$的图象有一支在第二象限，因此比例系数$1-k＜0$，解得$k＞1$。
当反比例函数比例系数小于0时，图象的两支分别位于第二、四象限，因此另一支位于第四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
(2) 由$x_1＜x_2＜0$可知，点$M$、$N$在第二象限的图象上，第二象限内点的纵坐标均为正数，结合该函数在第二象限内$y$随$x$的增大而增大，可得$0＜y_1＜y_2$；
由$x_3＞0$可知，点$P$在第四象限的图象上，第四象限内点的纵坐标均为负数，即$y_3＜0$；
因此三者的大小关系为$y_3＜y_1＜y_2$。
【答案】
(1)四；$k＞1$；增大 (2)$y_3＜y_1＜y_2$
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数的增减性；反比例函数上点的坐标特征
【点评】
本题考查反比例函数的基础性质，解题的核心是掌握反比例函数的比例系数对图象位置、增减性的影响，注意比较函数值大小时要先判断点所在的象限，不要直接跨象限使用增减性比较，避免出错。
【难度系数】
0.7

6.已知点$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在反比例函数$y=\frac{m^2 +1}{x}$（$m$是常数）的图象上，且$y_1＜y_2$，求$a$的取值范围。

6.解:$\because k=m^2+1＞0$,
$\therefore$反比例函数$y=\frac{m^2+1}{x}$($m$是常数)的图象在第一、三象限,在每个象限,$y$随$x$的增大而减小.
①当点$A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$在同一象限，
$\because y_1＜y_2$,$\therefore a＞a+1$,此不等式无解；
②当点$A(a,y_1)$,$B(a+1,y_2)$在不同象限，
$\because y_1＜y_2$,$\therefore a＜0$,$a+1＞0$,
解得$-1＜a＜0$,$\therefore -1＜a＜0$.

【分析】
首先判断反比例函数的比例系数符号：由平方的非负性可知$m^2≥0$，因此$k=m^2+1＞0$，可得该函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内$y$随$x$的增大而减小。已知两点横坐标$a＜a+1$，若两点在同一象限，根据增减性应满足$y_1＞y_2$，与题设$y_1＜y_2$矛盾，因此两点必在不同象限。结合象限坐标特征，第三象限点横坐标小于0、第一象限点横坐标大于0，即可列不等式组求解$a$的范围。
【解析】
解：$\because k=m^2+1＞0$,
$\therefore$反比例函数$y=\frac{m^2+1}{x}$（$m$是常数）的图象在第一、三象限，在每个象限内，$y$随$x$的增大而减小。
①当点$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在同一象限时，
$\because y_1＜y_2$，根据增减性可得$a＞a+1$，此不等式无解；
②当点$A(a,y_1)$，$B(a+1,y_2)$在不同象限时，
$\because y_1＜y_2$且$a＜a+1$，
$\therefore$点A在第三象限，点B在第一象限，即$\begin{cases}a＜0 \\ a+1＞0\end{cases}$，
解得$-1＜a＜0$。
综上，$a$的取值范围为$-1＜a＜0$。
【答案】
$-1＜a＜0$
【知识点】
1.反比例函数的性质
2.一元一次不等式组的解法
3.分类讨论思想
【点评】
本题核心考查反比例函数的增减性，易错点是忽略反比例函数的增减性仅在单个象限内成立，直接跨象限比较函数值大小，解题时需结合点的位置分情况讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6

7.(2025·内蒙古)已知点$A(m,y_1)$，$B(m+1,y_2)$都在反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$的图象上，则下列结论一定正确的是（）

A.$y_1＞y_2$
B.$y_1＜y_2$
C.当$m＜0$时，$y_1＜y_2$
D.当$m＜-1$时，$y_1＜y_2$

7.D

【分析】
首先根据反比例函数的解析式确定k值，判断函数图象所在象限及增减性，注意反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，因此需要对m的取值范围分类讨论，判断点A、B所在的象限，再结合增减性比较y₁和y₂的大小，逐一验证选项即可得出正确结论。
【解析】
对于反比例函数$y=-\dfrac{3}{x}$，其中$k=-3＜0$，因此函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，$y$随$x$的增大而增大。
选项A、B：未限定$m$的取值范围，点A、B可能在同一象限，也可能在不同象限，$y_1$与$y_2$的大小关系无法确定，因此A、B错误。
选项C：当$m＜0$时，若$-1＜m＜0$，则$m+1＞0$，此时点A在第二象限，$y_1＞0$，点B在第四象限，$y_2＜0$，可得$y_1＞y_2$，因此C结论不成立，C错误。
选项D：当$m＜-1$时，$m+1＜0$，点A、B都在第二象限，又因为$m＜m+1$，根据同一象限内$y$随$x$的增大而增大，可得$y_1＜y_2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；反比例函数点的坐标特征；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查反比例函数增减性的应用，解题的关键是明确反比例函数的增减性仅在同一象限内成立，不能直接跨象限比较函数值大小，需要结合自变量的取值范围判断点所在象限后再比较，避免忽略取值范围直接套用增减性导致出错。
【难度系数】
0.6