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1.育才中学为每个班级准备了免洗抑菌洗手液.去市场购买时发现:当购买量不超过100瓶时，洗手液的单价为每瓶8元;超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶价格就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元.若学校购买洗手液共花费1200元，则购买洗手液的数量是 （
A.200瓶
B.150瓶
C.150瓶或200瓶
D.200瓶或300瓶
A
）A.200瓶
B.150瓶
C.150瓶或200瓶
D.200瓶或300瓶
答案
1.A
解析
【分析】
首先先判断购买量是否超过100瓶：购买100瓶的总费用为8×100=800元，小于1200元，因此购买量超过100瓶。接下来明确单价的计算规则：超过100瓶时，每多10瓶单价降0.2元，且单价最低为5元。我们可以设购买洗手液的数量为x瓶（x＞100），先表示出此时的单价，再根据“单价×数量=总花费”列方程求解，最后要检验求得的解是否满足“单价不低于5元”的限制条件，舍去不符合实际的解。
【解析】
第一步：计算购买100瓶的总费用：$8 × 100 = 800$元，$800 ＜ 1200$，因此购买数量$x ＞ 100$。
第二步：求单价降到最低5元时的购买量：单价从8元降到5元，共降价$8-5=3$元，每10瓶降0.2元，因此需要多买$\frac{3}{0.2} × 10 = 150$瓶，即购买量达到$100+150=250$瓶时，单价降到5元，超过250瓶时单价均为5元。
第三步：设购买数量为$x$瓶，列方程：
当$100 ＜ x ≤ 250$时，单价为$8 - 0.2 × \frac{x-100}{10} = 10 - 0.02x$，根据总花费1200元得：
$x(10 - 0.02x) = 1200$
整理得：$x^2 - 500x + 60000 = 0$
因式分解得：$(x-200)(x-300)=0$
解得$x_1=200$，$x_2=300$。
第四步：检验解：
$x=200$时，$200 ＜ 250$，单价为$10 - 0.02 × 200 = 6$元$≥5$元，符合题意，总花费$200 × 6 = 1200$元，正确。
$x=300$时，$300 ＞ 250$，此时单价应为5元，总花费为$300 × 5 = 1500 ≠ 1200$元，不符合题意，舍去。
因此购买洗手液的数量是200瓶。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，分段计费问题，方程解的检验
【点评】
本题属于生活实际类的方程应用问题，解题关键是先理清价格的分段规则，确定数量的取值范围，列方程求解后务必结合实际限制条件检验解的合理性，避免因忽略最低单价的限制导致错解。
【难度系数】
0.6
首先先判断购买量是否超过100瓶：购买100瓶的总费用为8×100=800元，小于1200元，因此购买量超过100瓶。接下来明确单价的计算规则：超过100瓶时，每多10瓶单价降0.2元，且单价最低为5元。我们可以设购买洗手液的数量为x瓶（x＞100），先表示出此时的单价，再根据“单价×数量=总花费”列方程求解，最后要检验求得的解是否满足“单价不低于5元”的限制条件，舍去不符合实际的解。
【解析】
第一步：计算购买100瓶的总费用：$8 × 100 = 800$元，$800 ＜ 1200$，因此购买数量$x ＞ 100$。
第二步：求单价降到最低5元时的购买量：单价从8元降到5元，共降价$8-5=3$元，每10瓶降0.2元，因此需要多买$\frac{3}{0.2} × 10 = 150$瓶，即购买量达到$100+150=250$瓶时，单价降到5元，超过250瓶时单价均为5元。
第三步：设购买数量为$x$瓶，列方程：
当$100 ＜ x ≤ 250$时，单价为$8 - 0.2 × \frac{x-100}{10} = 10 - 0.02x$，根据总花费1200元得：
$x(10 - 0.02x) = 1200$
整理得：$x^2 - 500x + 60000 = 0$
因式分解得：$(x-200)(x-300)=0$
解得$x_1=200$，$x_2=300$。
第四步：检验解：
$x=200$时，$200 ＜ 250$，单价为$10 - 0.02 × 200 = 6$元$≥5$元，符合题意，总花费$200 × 6 = 1200$元，正确。
$x=300$时，$300 ＞ 250$，此时单价应为5元，总花费为$300 × 5 = 1500 ≠ 1200$元，不符合题意，舍去。
因此购买洗手液的数量是200瓶。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的应用，分段计费问题，方程解的检验
【点评】
本题属于生活实际类的方程应用问题，解题关键是先理清价格的分段规则，确定数量的取值范围，列方程求解后务必结合实际限制条件检验解的合理性，避免因忽略最低单价的限制导致错解。
【难度系数】
0.6
2.小强为活动小组购买统一服装，销售人员给予如下优惠:如果一次性购买不超过10件，单价为80元;如果一次性购买超过10件，那么每多买一件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价最终不低于50元.若小强一次性购买这种服装花费1200元，则他购买了
20
件这种服装.答案
2.20
解析
【分析】
首先判断购买服装的数量范围：若购买10件，总价为10×80=800元，小于1200元，因此购买数量超过10件；再计算单价降到最低50元时的购买数量：(80-50)÷2 +10=25件，此时总价为25×50=1250元，大于1200元，因此购买数量小于25件。接下来设购买了x件服装（10＜x＜25），此时每件服装的单价为80-2(x-10)元，根据“总价=单价×数量”列一元二次方程求解，最后检验解是否符合取值范围即可。
【解析】
设小强购买了x件这种服装。
① 确定x的取值范围：
购买10件的总价：$10×80=800$元 $＜1200$元，因此$x＞10$；
当单价为最低50元时，购买数量为：$10+\frac{80-50}{2}=25$件，此时总价为$25×50=1250$元$＞1200$元，因此$x＜25$，即$10＜x＜25$。
② 列方程求解：
当$10＜x＜25$时，每件服装的单价为：$80-2(x-10)=100-2x$元
根据总花费1200元列方程：
$x(100-2x)=1200$
整理得：$x^2-50x+600=0$
因式分解得：$(x-20)(x-30)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=30$
③ 检验解的合理性：
因为$x＜25$，所以$x_2=30$不符合题意，舍去。
因此$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的应用、分段优惠问题、方程解的合理性检验
【点评】
本题是典型的优惠类应用题，解题的核心是先根据优惠规则确定未知量的取值范围，再结合等量关系列方程求解，最后一定要检验解是否符合题目中的限制条件，避免得到不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
首先判断购买服装的数量范围：若购买10件，总价为10×80=800元，小于1200元，因此购买数量超过10件；再计算单价降到最低50元时的购买数量：(80-50)÷2 +10=25件，此时总价为25×50=1250元，大于1200元，因此购买数量小于25件。接下来设购买了x件服装（10＜x＜25），此时每件服装的单价为80-2(x-10)元，根据“总价=单价×数量”列一元二次方程求解，最后检验解是否符合取值范围即可。
【解析】
设小强购买了x件这种服装。
① 确定x的取值范围：
购买10件的总价：$10×80=800$元 $＜1200$元，因此$x＞10$；
当单价为最低50元时，购买数量为：$10+\frac{80-50}{2}=25$件，此时总价为$25×50=1250$元$＞1200$元，因此$x＜25$，即$10＜x＜25$。
② 列方程求解：
当$10＜x＜25$时，每件服装的单价为：$80-2(x-10)=100-2x$元
根据总花费1200元列方程：
$x(100-2x)=1200$
整理得：$x^2-50x+600=0$
因式分解得：$(x-20)(x-30)=0$
解得：$x_1=20$，$x_2=30$
③ 检验解的合理性：
因为$x＜25$，所以$x_2=30$不符合题意，舍去。
因此$x=20$。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的应用、分段优惠问题、方程解的合理性检验
【点评】
本题是典型的优惠类应用题，解题的核心是先根据优惠规则确定未知量的取值范围，再结合等量关系列方程求解，最后一定要检验解是否符合题目中的限制条件，避免得到不符合实际的增根。
【难度系数】
0.7
3.(2025·无锡新吴区月考)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高。某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人。
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从某公司购买某种套装健身器材。该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元。但最低售价不得少于1000元。已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数。
(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；
(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从某公司购买某种套装健身器材。该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元。但最低售价不得少于1000元。已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数。
答案
3.解:(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,由题意,得32(1+x)²=50,解得x₁=0.25=25%,x₂=-2.25(不符合题意,舍去).
答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为m,
∵240000÷1600=150(套),
∴m＞100,根据题意,
得m(1600-$\frac{m-100}{10}$×40)=240000,整理,
得m²-500m+60000=0,解得m₁=200,m₂=300.
当m=200时,1600-$\frac{m-100}{10}$×40=1600-400=1200＞1000,符合题意;当m=300时,1600-$\frac{m-100}{10}$×40=1600-800=800＜1000,不符合题意,舍去.
答:购买的这种健身器材的套数为200.
答:该市参加健身运动人数的年均增长率为25%.
(2)设购买的这种健身器材的套数为m,
∵240000÷1600=150(套),
∴m＞100,根据题意,
得m(1600-$\frac{m-100}{10}$×40)=240000,整理,
得m²-500m+60000=0,解得m₁=200,m₂=300.
当m=200时,1600-$\frac{m-100}{10}$×40=1600-400=1200＞1000,符合题意;当m=300时,1600-$\frac{m-100}{10}$×40=1600-800=800＜1000,不符合题意,舍去.
答:购买的这种健身器材的套数为200.
解析
【分析】
（1）本题第一问是年均增长率问题，可套用增长率通用公式：初始值×(1+年均增长率)^增长年数=最终值。已知2021年人数为初始值32万，2023年人数为最终值50万，间隔2年，设年均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问首先判断购买套数的范围：若购买100套，总货款为100×1600=16万元，小于实际支付的24万元，因此购买套数超过100套。设购买套数为m，根据“每增加10套，每套降价40元”的规则表示出每套实际售价，再结合“套数×每套售价=总货款”列方程，解得结果后要验证对应售价是否不低于1000元的最低要求，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2)设购买的这种健身器材的套数为m，
$\because 240000÷1600=150$（套），$\therefore m＞100$，
根据题意列方程：
$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得：$m^2-500m+60000=0$
解得：$m_1=200$，$m_2=300$。
当$m=200$时，每套售价为$1600-\frac{200-100}{10}×40=1200＞1000$，符合题意；
当$m=300$时，每套售价为$1600-\frac{300-100}{10}×40=800＜1000$，不符合最低售价要求，舍去。
【答案】
(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2)购买的这种健身器材的套数为200套。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 平均增长率问题
3. 销售分段计费问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，第一问为基础的增长率计算，核心是找准增长前后的数值和增长周期；第二问属于销售分段计费问题，解题时要先判断购买数量所在的分段区间，列方程求解后一定要结合题目的限制条件对解进行验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
（1）本题第一问是年均增长率问题，可套用增长率通用公式：初始值×(1+年均增长率)^增长年数=最终值。已知2021年人数为初始值32万，2023年人数为最终值50万，间隔2年，设年均增长率为x，代入公式列一元二次方程求解即可，注意增长率为正数，需舍去不符合实际意义的负根。
（2）第二问首先判断购买套数的范围：若购买100套，总货款为100×1600=16万元，小于实际支付的24万元，因此购买套数超过100套。设购买套数为m，根据“每增加10套，每套降价40元”的规则表示出每套实际售价，再结合“套数×每套售价=总货款”列方程，解得结果后要验证对应售价是否不低于1000元的最低要求，舍去不符合条件的解。
【解析】
(1)设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，由题意得：
$32(1+x)^2=50$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不符合题意，舍去）。
(2)设购买的这种健身器材的套数为m，
$\because 240000÷1600=150$（套），$\therefore m＞100$，
根据题意列方程：
$m(1600-\frac{m-100}{10}×40)=240000$
整理得：$m^2-500m+60000=0$
解得：$m_1=200$，$m_2=300$。
当$m=200$时，每套售价为$1600-\frac{200-100}{10}×40=1200＞1000$，符合题意；
当$m=300$时，每套售价为$1600-\frac{300-100}{10}×40=800＜1000$，不符合最低售价要求，舍去。
【答案】
(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；
(2)购买的这种健身器材的套数为200套。
【知识点】
1. 一元二次方程的实际应用
2. 平均增长率问题
3. 销售分段计费问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，第一问为基础的增长率计算，核心是找准增长前后的数值和增长周期；第二问属于销售分段计费问题，解题时要先判断购买数量所在的分段区间，列方程求解后一定要结合题目的限制条件对解进行验证，避免出现增解。
【难度系数】
0.65
4.体育点燃梦想,奥运余温传至大湾区,第十五届全运会的举办将掀起新一轮运动浪潮.某市参加体育运动的人数逐年增多,从2022年的25万人增加到2024年的36万人.
(1)求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率.
(2)为支持市民的体育运动,市政府决定从某公司购买某种运动器材套装.该公司规定:若购买数量不超过120套,则每套售价2400元;若购买数量超过120套,则每增加10套,售价每套可降低50元,但最低售价不得少于1500元.已知市政府向该公司支付货款40万元,求该市政府购买的这种运动器材的套数.
(1)求该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率.
(2)为支持市民的体育运动,市政府决定从某公司购买某种运动器材套装.该公司规定:若购买数量不超过120套,则每套售价2400元;若购买数量超过120套,则每增加10套,售价每套可降低50元,但最低售价不得少于1500元.已知市政府向该公司支付货款40万元,求该市政府购买的这种运动器材的套数.
答案
4.解:(1)设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为x.
根据题意,得25(1+x)²=36,
解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不符合题意,舍去).
答:该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为20%.
(2)设该市政府购买的这种运动器材的套数为m.
∵2400×120=288000(元),288000＜400000,
∴m＞120.
根据题意,得m(2400-$\frac{m-120}{10}$×50)=400000,
整理,得m²-600m+80000=0,
解得m₁=200,m₂=400.当m=200时,
2400-$\frac{m-120}{10}$×50=2400-$\frac{200-120}{10}$×50=2000＞1500,符合题意;
当m=400时,2400-$\frac{m-120}{10}$×50=2400-$\frac{400-120}{10}$×50=1000＜1500,不符合题意,舍去.
答:该市政府购买的这种运动器材的套数为200.
根据题意,得25(1+x)²=36,
解得x₁=0.2=20%,x₂=-2.2(不符合题意,舍去).
答:该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为20%.
(2)设该市政府购买的这种运动器材的套数为m.
∵2400×120=288000(元),288000＜400000,
∴m＞120.
根据题意,得m(2400-$\frac{m-120}{10}$×50)=400000,
整理,得m²-600m+80000=0,
解得m₁=200,m₂=400.当m=200时,
2400-$\frac{m-120}{10}$×50=2400-$\frac{200-120}{10}$×50=2000＞1500,符合题意;
当m=400时,2400-$\frac{m-120}{10}$×50=2400-$\frac{400-120}{10}$×50=1000＜1500,不符合题意,舍去.
答:该市政府购买的这种运动器材的套数为200.
解析
【分析】
（1）第一问属于增长率类实际问题，解题时先设年平均增长率为$x$，按照“初始量×(1+年平均增长率)²=增长两年后的最终量”的等量关系列方程求解即可，注意增长率不可能为负，求解后要舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问是分段计价的销售类问题，首先计算购买120套的总货款，和40万元对比可判断购买数量超过120套；再设购买套数为$m$，用含$m$的式子表示出每套的实际售价，根据“单价×购买数量=总货款”列一元二次方程，求解后需验证每套售价是否不低于最低售价1500元，舍去不符合限制条件的根。
【解析】
(1)设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为$x$。
根据题意得：$25(1+x)^2=36$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合增长率为正的实际意义，舍去）。
(2)设该市政府购买的这种运动器材的套数为$m$。
购买120套的总货款为：$2400×120=288000$元$=28.8$万元$＜40$万元，因此购买数量$m＞120$。
根据题意列方程：
$m(2400 - \frac{m-120}{10}×50)=400000$
整理得：$m^2 - 600m + 80000 = 0$
解得$m_1=200$，$m_2=400$。
检验：当$m=200$时，每套售价为$2400 - \frac{200-120}{10}×50=2000$元$＞1500$元，符合题意；
当$m=400$时，每套售价为$2400 - \frac{400-120}{10}×50=1000$元$＜1500$元，不符合最低售价要求，舍去。
【答案】
(1) 年平均增长率为20%；
(2) 购买的运动器材套数为200套。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，分段计价问题
【点评】
本题结合体育热点背景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际问题中的限制条件对所求的根进行检验，避免因漏判限制条件出错。
【难度系数】
0.6
（1）第一问属于增长率类实际问题，解题时先设年平均增长率为$x$，按照“初始量×(1+年平均增长率)²=增长两年后的最终量”的等量关系列方程求解即可，注意增长率不可能为负，求解后要舍去不符合实际意义的根。
（2）第二问是分段计价的销售类问题，首先计算购买120套的总货款，和40万元对比可判断购买数量超过120套；再设购买套数为$m$，用含$m$的式子表示出每套的实际售价，根据“单价×购买数量=总货款”列一元二次方程，求解后需验证每套售价是否不低于最低售价1500元，舍去不符合限制条件的根。
【解析】
(1)设该市2022年到2024年参加体育运动的人数的年平均增长率为$x$。
根据题意得：$25(1+x)^2=36$
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合增长率为正的实际意义，舍去）。
(2)设该市政府购买的这种运动器材的套数为$m$。
购买120套的总货款为：$2400×120=288000$元$=28.8$万元$＜40$万元，因此购买数量$m＞120$。
根据题意列方程：
$m(2400 - \frac{m-120}{10}×50)=400000$
整理得：$m^2 - 600m + 80000 = 0$
解得$m_1=200$，$m_2=400$。
检验：当$m=200$时，每套售价为$2400 - \frac{200-120}{10}×50=2000$元$＞1500$元，符合题意；
当$m=400$时，每套售价为$2400 - \frac{400-120}{10}×50=1000$元$＜1500$元，不符合最低售价要求，舍去。
【答案】
(1) 年平均增长率为20%；
(2) 购买的运动器材套数为200套。
【知识点】
一元二次方程的应用，增长率问题，分段计价问题
【点评】
本题结合体育热点背景考查一元二次方程的实际应用，解题核心是找准等量关系正确列方程，同时要注意结合实际问题中的限制条件对所求的根进行检验，避免因漏判限制条件出错。
【难度系数】
0.6
