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5.某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)求y与x之间的函数表达式.(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件的售价；如果不能，说明理由.
(1)求y与x之间的函数表达式.(不要求写出自变量x的取值范围)
(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件的售价；如果不能，说明理由.
答案
5.解:(1)由题意,设一次函数的表达式为$y=kx+b$.
将(45,55),(55,45)代入,得
则$\begin{cases}45k+b=55,\\55k+b=45,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=100,\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+100$.
(2)不能. 理由:根据题意,得$x(-x+100)=2600$,整理,得$x^2−100x+2600=0$.
$\because b^2−4ac=(-100)^2−4×2600=-400＜0$,
$\therefore$方程没有实数根,即该商品日销售额不能达到 2600 元.
将(45,55),(55,45)代入,得
则$\begin{cases}45k+b=55,\\55k+b=45,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b=100,\end{cases}$
$\therefore y$与$x$之间的函数表达式为$y=-x+100$.
(2)不能. 理由:根据题意,得$x(-x+100)=2600$,整理,得$x^2−100x+2600=0$.
$\because b^2−4ac=(-100)^2−4×2600=-400＜0$,
$\therefore$方程没有实数根,即该商品日销售额不能达到 2600 元.
解析
【分析】
(1) 已知日销售量y是售价x的一次函数，解题时先采用待定系数法，设一次函数表达式为$y=kx+b$，从表格中选取两组x、y的对应值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式。
(2) 日销售额=每件售价×日销售量，将第一问求得的y关于x的表达式代入销售额的等量关系中，可得到关于x的一元二次方程，通过计算该方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断日销售额能否达到2600元。
【解析】
(1) 设y与x的一次函数表达式为$y=kx+b$，
将$(45,55)$、$(55,45)$代入表达式，得：
$\begin{cases}45k+b=55\\55k+b=45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$45k+b=55$，得$-45+b=55$，解得$b=100$，
$\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y=-x+100$。
(2) 不能，理由如下：
根据日销售额=售价×销售量，若日销售额为2600元，则：
$x(-x+100)=2600$
整理得：$x^2-100x+2600=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-100)^2-4×1×2600=10000-10400=-400＜0$
$\therefore$ 该一元二次方程没有实数根，即该商品日销售额不能达到2600元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+100}$
(2) 不能，理由是对应的一元二次方程无实数根，不存在满足条件的售价。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程实际应用；根的判别式应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的常见实际应用题，基础考点结合，解题关键是理清销售额的等量关系，将实际问题转化为方程问题求解，同时掌握用判别式判断方程根的存在性的方法。
【难度系数】
0.7
(1) 已知日销售量y是售价x的一次函数，解题时先采用待定系数法，设一次函数表达式为$y=kx+b$，从表格中选取两组x、y的对应值代入表达式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组求出k、b的值即可得到函数表达式。
(2) 日销售额=每件售价×日销售量，将第一问求得的y关于x的表达式代入销售额的等量关系中，可得到关于x的一元二次方程，通过计算该方程根的判别式判断方程是否有实数根，即可判断日销售额能否达到2600元。
【解析】
(1) 设y与x的一次函数表达式为$y=kx+b$，
将$(45,55)$、$(55,45)$代入表达式，得：
$\begin{cases}45k+b=55\\55k+b=45\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$10k=-10$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$45k+b=55$，得$-45+b=55$，解得$b=100$，
$\therefore$ y与x之间的函数表达式为$y=-x+100$。
(2) 不能，理由如下：
根据日销售额=售价×销售量，若日销售额为2600元，则：
$x(-x+100)=2600$
整理得：$x^2-100x+2600=0$
计算根的判别式：$\Delta=(-100)^2-4×1×2600=10000-10400=-400＜0$
$\therefore$ 该一元二次方程没有实数根，即该商品日销售额不能达到2600元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{y=-x+100}$
(2) 不能，理由是对应的一元二次方程无实数根，不存在满足条件的售价。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程实际应用；根的判别式应用
【点评】
本题是一次函数与一元二次方程结合的常见实际应用题，基础考点结合，解题关键是理清销售额的等量关系，将实际问题转化为方程问题求解，同时掌握用判别式判断方程根的存在性的方法。
【难度系数】
0.7
6.(2025·盐城月考)某大型果品批发商场经销一种高档坚果,进货时成本价连连上涨,原进价每千克64元,连续两次涨价后现在每千克81元.
(1)若每次成本价上涨的百分率相同,求每次上涨的百分率;
(2)销售调研发现,若该坚果每千克盈利10元,每天可售出500千克,在进货价不再改变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施销售,若每千克涨价1元,日销量将减少25千克,现该商场要保证销售该坚果每天盈利5600元,且要尽快减少库存,售价应为多少元?
(3)在(2)的条件下,商家还想继续涨价,争取每天盈利8000元,商家的想法能实现吗?如果能,此时售价是多少?如果不能,说明理由.
(1)若每次成本价上涨的百分率相同,求每次上涨的百分率;
(2)销售调研发现,若该坚果每千克盈利10元,每天可售出500千克,在进货价不再改变的情况下,商场决定采取适当的涨价措施销售,若每千克涨价1元,日销量将减少25千克,现该商场要保证销售该坚果每天盈利5600元,且要尽快减少库存,售价应为多少元?
(3)在(2)的条件下,商家还想继续涨价,争取每天盈利8000元,商家的想法能实现吗?如果能,此时售价是多少?如果不能,说明理由.
答案
6.解:(1)设每次上涨的百分率为 a,根据题意,得$64(1+a)^2=81$,解得$a_1=0.125=12.5\%$,$a_2=-2.125$(舍去),
答:每次上涨的百分率为 12.5%.
(2)设每千克应涨价 x 元,则每千克盈利$(10+x)$元,由题意,得$(10+x)(500−25x)=5600$,解得$x_1=4$,$x_2=6$,因为要尽快减少库存,所以$x=4$符合题意.
答:该商场要保证每天盈利 5600 元,那么每千克应涨价4 元.
(3)商家的想法不能实现,理由:根据题意,得$(10+x)(500−25x)=8000$,
整理,得$x^2−10x+120=0$,
$b^2−4ac=10^2−4×120=-380＜0$,
$\therefore$该方程无解,$\therefore$商家的想法不能实现.
答:每次上涨的百分率为 12.5%.
(2)设每千克应涨价 x 元,则每千克盈利$(10+x)$元,由题意,得$(10+x)(500−25x)=5600$,解得$x_1=4$,$x_2=6$,因为要尽快减少库存,所以$x=4$符合题意.
答:该商场要保证每天盈利 5600 元,那么每千克应涨价4 元.
(3)商家的想法不能实现,理由:根据题意,得$(10+x)(500−25x)=8000$,
整理,得$x^2−10x+120=0$,
$b^2−4ac=10^2−4×120=-380＜0$,
$\therefore$该方程无解,$\therefore$商家的想法不能实现.
解析
【分析】
(1) 本题属于连续增长率问题，核心等量关系为：初始量×(1+上涨百分率)^上涨次数=最终量。设每次上涨百分率为a，代入原进价64元、两次涨价后81元的已知条件列方程求解即可，注意上涨百分率不能为负，需舍去不符合实际意义的解。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为：总盈利=每千克盈利×日销售量。设每千克涨价x元，此时每千克盈利为(10+x)元，日销量因每涨1元减少25千克，变为(500-25x)千克，代入总盈利5600元列方程求解。因需尽快减少库存，要保证日销量尽可能大，所以应选择涨价幅度更小的解，涨价越少销量越高，库存消耗越快。
(3) 判断能否盈利8000元，可按照上述利润等量关系列方程，再通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，若判别式小于0，说明方程无实根，即该想法无法实现。
【解析】
(1) 设每次上涨的百分率为a，根据题意列方程：
$64(1+a)^2=81$
解得：$a_1=0.125=12.5\%$，$a_2=-2.125$（上涨百分率为正，故舍去）
(2) 设每千克应涨价x元，此时每千克盈利为$(10+x)$元，日销售量为$(500-25x)$千克，根据总盈利5600元列方程：
$(10+x)(500−25x)=5600$
整理得：$x^2-10x+24=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$
∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大，涨价越少销量越高，
∴取$x=4$
(3) 商家的想法不能实现，理由如下：
假设能实现每天盈利8000元，列方程得：
$(10+x)(500−25x)=8000$
整理得：$x^2−10x+120=0$
计算根的判别式：$\Delta=b^2−4ac=10^2−4×1×120=-380＜0$
∴该方程没有实数根，不存在符合条件的涨价金额，商家的想法不能实现。
【答案】
(1) 每次上涨的百分率为12.5%；
(2) 每千克应涨价4元；
(3) 商家的想法不能实现。
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题核心是准确梳理题干信息找准等量关系列方程，同时要注意结合实际情境对求解出的根进行合理取舍，掌握用根的判别式判断方程解的存在性即可解决可行性判断类问题。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于连续增长率问题，核心等量关系为：初始量×(1+上涨百分率)^上涨次数=最终量。设每次上涨百分率为a，代入原进价64元、两次涨价后81元的已知条件列方程求解即可，注意上涨百分率不能为负，需舍去不符合实际意义的解。
(2) 本题属于销售利润问题，核心等量关系为：总盈利=每千克盈利×日销售量。设每千克涨价x元，此时每千克盈利为(10+x)元，日销量因每涨1元减少25千克，变为(500-25x)千克，代入总盈利5600元列方程求解。因需尽快减少库存，要保证日销量尽可能大，所以应选择涨价幅度更小的解，涨价越少销量越高，库存消耗越快。
(3) 判断能否盈利8000元，可按照上述利润等量关系列方程，再通过一元二次方程根的判别式判断方程是否有正实数解，若判别式小于0，说明方程无实根，即该想法无法实现。
【解析】
(1) 设每次上涨的百分率为a，根据题意列方程：
$64(1+a)^2=81$
解得：$a_1=0.125=12.5\%$，$a_2=-2.125$（上涨百分率为正，故舍去）
(2) 设每千克应涨价x元，此时每千克盈利为$(10+x)$元，日销售量为$(500-25x)$千克，根据总盈利5600元列方程：
$(10+x)(500−25x)=5600$
整理得：$x^2-10x+24=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=6$
∵要尽快减少库存，需日销量尽可能大，涨价越少销量越高，
∴取$x=4$
(3) 商家的想法不能实现，理由如下：
假设能实现每天盈利8000元，列方程得：
$(10+x)(500−25x)=8000$
整理得：$x^2−10x+120=0$
计算根的判别式：$\Delta=b^2−4ac=10^2−4×1×120=-380＜0$
∴该方程没有实数根，不存在符合条件的涨价金额，商家的想法不能实现。
【答案】
(1) 每次上涨的百分率为12.5%；
(2) 每千克应涨价4元；
(3) 商家的想法不能实现。
【知识点】
一元二次方程应用，增长率问题，销售利润问题
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的常规题型，覆盖了增长率、销售利润两类高频考点，解题核心是准确梳理题干信息找准等量关系列方程，同时要注意结合实际情境对求解出的根进行合理取舍，掌握用根的判别式判断方程解的存在性即可解决可行性判断类问题。
【难度系数】
0.7
