1.(2025·福建)如图，PA与⊙O相切于点A，PO的延长线交⊙O于点C，AB//PC，且交⊙O于点B.若∠P=30°，则∠BCP的大小为（）

A.30°
B.45°
C.60°
D.75°

1.C

2.刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家,中国古典数学理论的奠基者之一,被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导,他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AB$, $BC$,$CA$的长分别为$c$,$a$,$b$,则可以用含$c$,$a$,$b$的式子表示出$△ ABC$的内切圆直径$d$,下列表达式错误的是 ()

A.$d=a+b-c$
B.$d=\dfrac{2ab}{a+b+c}$
C.$d=\sqrt{2(c-a)(c-b)}$
D.$d=|(a-b)(c-b)|$

2.D

3.(2025·黑龙江)如图，PA，PB是$\odot O$的切线，A，B为切点，AC是直径，$∠ BAC=35°$，$∠ P=$.

3.70°

4.(2025·靖江一模)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD,CD分别与扇形BAF相切于点A与点E.当AB=15,BC=17时,AD的长为.

4.9

5.如图,以点O为圆心,AB长为直径作圆,在$\odot O$上取一点C,延长AB至点D,连接DC,$∠ DCB=∠ DAC$,过点A作$AE⊥ AD$交DC的延长线于点E.
(1)求证:CD是$\odot O$的切线;
(2)若$CD=4$,$DB=2$,求AE的长.

5.(1)证明:连接OC,如答图.
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,即∠BCO+∠OCA=90°.
又
∵OC=OA,
∴∠CAD=∠OCA.
∵∠DCB=∠CAD,
∴∠OCA=∠DCB,
∴∠DCB+∠BCO=90°,即∠DCO=90°.
∵OC是⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
(2)解:
∵∠DCO=90°,OC=OB,
∴OC²+CD²=OD²,
即OB²+4²=(OB+2)²,解得OB=3,
∴AB=6.
∵AE⊥AD,AB是⊙O的直径,
∴AE是⊙O的切线.
∵CD是⊙O的切线,
∴AE=CE.
在Rt△ADE中,AD²+AE²=DE²,
即(6+2)²+AE²=(4+AE)²,解得AE=6.