7.(2025·宜兴二模)如图,在半圆O中,直径AB的长为6,C是半圆上一点,过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D,交弦BC于点E.
(1)求证:∠D=∠ABC;
(2)若OE=CE,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π).

7.(1)证明: $\because AB为直径, \therefore ∠ ACB=90°,$
$\therefore ∠ CAB + ∠ CBA=90°.$
$\because OD⊥ AB, \therefore ∠ DAO + ∠ D=90°, \therefore ∠ D=∠ ABC.$
(2)解: $\because OE=CE, \therefore ∠ EOC=∠ ECO.$
又$\because OB=OC, \therefore ∠ OBC=∠ OCB,$
$\therefore ∠ OBC=∠ OCB=∠ EOC.$
在$△ BOC$中, $∠ BOC + ∠ OBC + ∠ OCB = 3∠ EOC + 90°=180°, \therefore ∠ EOC=30°, \therefore ∠ AOC=60°.$
$\because OA=\frac{1}{2}AB=3, \therefore OC=OA=3, OD=3\sqrt{3}.$
在$△ OAC$中,OA边上的高为$\frac{3\sqrt{3}}{2},$
$\therefore S_{阴影}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}-\frac{30·π·3^2}{360}-\frac{1}{2}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{4}-\frac{3}{4}π.$

8.如图，BC是半圆O的直径，P是半圆弧的中点，A是$\overset{\frown}{BP}$的中点，AD⊥BC于点D，连接AB，PB，AC.BP分别与AD，AC相交于点E，F.
(1)求证:AE=BE.
(2)判断BE与EF是否相等，并说明理由.
(3)小李通过操作发现CF=2AB.请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB的正确关系式.

8.(1)证明: $\because BC是直径, \therefore ∠ BAC=90°.$
$\because AD⊥ BC于点D, \therefore ∠ ADB=90°,$
$\therefore ∠ ACB + ∠ ABC=90°, ∠ BAD + ∠ ABD=90°,$
$\therefore ∠ ACB=∠ BAD.$
$\because A是\overset{\frown}{BP}的中点, \therefore ∠ ACB=∠ ABP,$
$\therefore ∠ ABE=∠ BAE, \therefore AE=BE.$
(2)解:$BE=EF$.理由如下:
$\because BC是直径, \therefore ∠ BAC=90°,$
$\therefore ∠ BAE + ∠ EAF=90°, ∠ ABF + ∠ EFA=90°.$
$\because ∠ ABE=∠ BAE, \therefore ∠ EAF=∠ EFA, \therefore EF=AE.$
$\because AE=BE, \therefore BE=EF.$
(3)解:小李的发现是正确的.理由如下:
如答图,连接CP并延长,与BA的延长线交于点G.

$\because P为半圆弧的中点,A是\overset{\frown}{BP}的中点,$
$\therefore ∠ PCF=∠ GBP, ∠ CPF=∠ BPG=90°, BP=PC.$
在$△ PCF$和$△ PBG$中,$\begin{cases} ∠ PCF=∠ PBG, \\ PC=PB, \\ ∠ CPF=∠ BPG, \end{cases}$
$\therefore △ PCF≌△ PBG(ASA), \therefore CF=BG.$
$\because BC为直径, \therefore ∠ BAC=90°.$
$\because A为\overset{\frown}{BP}的中点, \therefore ∠ GCA=∠ BCA.$
在$△ BAC$和$△ GAC$中,$\begin{cases} ∠ CAB=∠ CAG, \\ AC=AC, \\ ∠ BCA=∠ GCA, \end{cases}$
$\therefore △ BAC≌△ GAC(ASA), \therefore AB=AG=\frac{1}{2}BG.$
$\because CF=BG, \therefore CF=2AB.$

9.(2025·苏州工业园区月考)如图①,$\odot O$为$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆,$AB$是直径,$BC=4\sqrt{3},AC=4$,$D$是$\odot O$上的动点,且点$C,D$分别位于$AB$的两侧.
(1)求$\odot O$的半径.
(2)当$CD=4\sqrt{2}$时,求$∠ ACD$的度数.
(3)连接$AD$,设$AD$的中点为$M$,在点$D$的运动过程中,线段$CM$是否存在最大值?若存在,求出$CM$的最大值.

9.解:(1)$\because AB是直径, \therefore ∠ ACB=90°,$
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+(4\sqrt{3})^2}=8,$
即$\odot O$的半径为4.
(2)如答图①,连接OC,OD.
$\because CD=4\sqrt{2}, OC=OD=4, \therefore CD^2=OC^2+OD^2,$
$\therefore ∠ COD=90°, \therefore ∠ OCD=45°.$
$\because AC=OC=OA, \therefore △ AOC是等边三角形,$
$\therefore ∠ ACO=60°, \therefore ∠ ACD=∠ ACO-∠ DCO=60°-45°=15°.$

(3)存在.如答图②,连接OM,OC.
$\because AM=MD, \therefore OM⊥ AD, \therefore 点M的运动轨迹是以AO为直径的半圆J.连接CJ,JM.$
$\because △ AOC是等边三角形, AJ=OJ, \therefore CJ⊥ OA,$
$\therefore CJ=\sqrt{AC^2-AJ^2}=2\sqrt{3}.$
$\because CM≤ CJ+JM=2\sqrt{3}+2, \therefore CM的最大值为2\sqrt{3}+2.$