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1. 如图，AB为$\odot O$的直径，C，D为$\odot O$上两点.若$∠ BCD=38°$,则$∠ ABD$的大小为 （
A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
B
）A.$76°$
B.$52°$
C.$50°$
D.$38°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，已知AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此可连接AD构造直角三角形ABD；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BAD与已知的∠BCD相等，最后利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
解：连接AD，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=38°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD+∠ BAD=90°$，
∴$∠ ABD=90°-38°=52°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；直角三角形性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，解题核心是通过直径构造直角三角形，结合圆周角定理完成角度的转化，解题思路清晰，属于圆章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形特征，已知AB是圆的直径，首先联想到“直径所对的圆周角为直角”，因此可连接AD构造直角三角形ABD；再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得∠BAD与已知的∠BCD相等，最后利用直角三角形两锐角互余即可计算出∠ABD的度数。
【解析】
解：连接AD，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ADB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∵$∠ BAD$和$∠ BCD$都是弧BD所对的圆周角，
∴$∠ BAD=∠ BCD=38°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ ABD+∠ BAD=90°$，
∴$∠ ABD=90°-38°=52°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理；直径的圆周角性质；直角三角形性质
【点评】
本题是圆相关的基础角度计算题，解题核心是通过直径构造直角三角形，结合圆周角定理完成角度的转化，解题思路清晰，属于圆章节的常规基础考题。
【难度系数】
0.8
2.如图，图①是一个圆底烧瓶，图②是从正面看这个圆底烧瓶下半部分的示意图.已知$\odot O$的半径$OA=5\ \mathrm{cm}$，液体的最大深度$CD=2\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的弦$AB$的长为 （
A.$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$8.4\ \mathrm{cm}$
C
）A.$4\sqrt{2}\ \mathrm{cm}$
B.$6\ \mathrm{cm}$
C.$8\ \mathrm{cm}$
D.$8.4\ \mathrm{cm}$
答案
2.C
解析
【分析】
要计算弦AB的长度，可结合垂径定理将问题转化为求半弦长AC的长度：首先根据圆的半径相等得到OD=OA=5cm，结合液体深度CD=2cm可算出OC的长度；再利用垂径定理可知OD垂直平分AB，即AB=2AC；最后在Rt△OAC中用勾股定理求出AC的长度，即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵OA、OD均为⊙O的半径，OA=5cm
∴OD=OA=5cm
∵CD=2cm
∴OC=OD - CD=5 - 2=3cm
∵OD⊥AB，根据垂径定理可得：AB=2AC
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$
∴AB=2AC=2×4=8cm
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关计算的常见基础题型，解题关键是结合半径相等得到线段OC的长度，再借助垂径定理把求弦长的问题转化为直角三角形求边长的问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要计算弦AB的长度，可结合垂径定理将问题转化为求半弦长AC的长度：首先根据圆的半径相等得到OD=OA=5cm，结合液体深度CD=2cm可算出OC的长度；再利用垂径定理可知OD垂直平分AB，即AB=2AC；最后在Rt△OAC中用勾股定理求出AC的长度，即可得到AB的长。
【解析】
解：
∵OA、OD均为⊙O的半径，OA=5cm
∴OD=OA=5cm
∵CD=2cm
∴OC=OD - CD=5 - 2=3cm
∵OD⊥AB，根据垂径定理可得：AB=2AC
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2 - OC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4\ \mathrm{cm}$
∴AB=2AC=2×4=8cm
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆相关计算的常见基础题型，解题关键是结合半径相等得到线段OC的长度，再借助垂径定理把求弦长的问题转化为直角三角形求边长的问题，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的核心。
【难度系数】
0.7
3.(2025·南京鼓楼区一模)如图,小正方形内接于圆,大正方形外切于圆,图中空白部分与阴影部分的面积的比值为 (
A.1
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
A
)A.1
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案
3.A
解析
【分析】
解决这类组合图形的面积比值问题，我们可以通过设参数简化计算：首先设定圆的半径，再结合“外切于圆的正方形边长等于圆的直径”“内接于圆的正方形对角线等于圆的直径”这两个核心性质，分别求出大正方形、阴影小正方形的面积，进而得到空白部分面积，最后计算两者的比值即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，则圆的直径为$2r$：
1. 求大正方形面积：
大正方形外切于圆，因此大正方形的边长等于圆的直径$2r$，
$S_{\mathrm{大正方形}}=(2r)^2=4r^2$。
2. 求阴影小正方形面积：
小正方形内接于圆，因此小正方形的对角线长度等于圆的直径$2r$，
根据正方形面积公式（对角线乘积的一半），$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× 2r × 2r=2r^2$。
3. 求空白部分面积并计算比值：
$S_{\mathrm{空白}}=S_{\mathrm{大正方形}}-S_{\mathrm{阴影}}=4r^2-2r^2=2r^2$，
因此空白部分与阴影部分的面积比值为$\frac{S_{\mathrm{空白}}}{S_{\mathrm{阴影}}}=\frac{2r^2}{2r^2}=1$。
【答案】
A
【知识点】
圆与外切正方形的性质、圆内接正方形的性质、面积比值计算
【点评】
本题属于基础的组合图形计算类题目，核心是找准正方形和圆的边长、对角线与圆直径的对应关系，用设参数的方法可以消去参数直接得到比值，无需计算具体数值。
【难度系数】
0.7
解决这类组合图形的面积比值问题，我们可以通过设参数简化计算：首先设定圆的半径，再结合“外切于圆的正方形边长等于圆的直径”“内接于圆的正方形对角线等于圆的直径”这两个核心性质，分别求出大正方形、阴影小正方形的面积，进而得到空白部分面积，最后计算两者的比值即可。
【解析】
设圆的半径为$r$，则圆的直径为$2r$：
1. 求大正方形面积：
大正方形外切于圆，因此大正方形的边长等于圆的直径$2r$，
$S_{\mathrm{大正方形}}=(2r)^2=4r^2$。
2. 求阴影小正方形面积：
小正方形内接于圆，因此小正方形的对角线长度等于圆的直径$2r$，
根据正方形面积公式（对角线乘积的一半），$S_{\mathrm{阴影}}=\frac{1}{2}× 2r × 2r=2r^2$。
3. 求空白部分面积并计算比值：
$S_{\mathrm{空白}}=S_{\mathrm{大正方形}}-S_{\mathrm{阴影}}=4r^2-2r^2=2r^2$，
因此空白部分与阴影部分的面积比值为$\frac{S_{\mathrm{空白}}}{S_{\mathrm{阴影}}}=\frac{2r^2}{2r^2}=1$。
【答案】
A
【知识点】
圆与外切正方形的性质、圆内接正方形的性质、面积比值计算
【点评】
本题属于基础的组合图形计算类题目，核心是找准正方形和圆的边长、对角线与圆直径的对应关系，用设参数的方法可以消去参数直接得到比值，无需计算具体数值。
【难度系数】
0.7
4.(2025·徐州沛县月考)一条长为$2π$的弧所对的圆心角为$120°$，则这条弧所在圆的半径是
3
。答案
4.3
解析
【分析】
本题考查弧长公式的应用，解题思路为先回忆弧长计算公式，明确公式中各量的含义：$l$代表弧长，$n$代表弧所对的圆心角度数，$r$代表圆的半径。题目已给出弧长$l=2π$、圆心角$n=120°$，将已知量代入弧长公式即可得到关于半径$r$的一元一次方程，解方程就能求出半径的值。
【解析】
设这条弧所在圆的半径为$r$。
根据弧长公式：$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
将$l=2π$，$n=120°$代入公式得：
$2π=\frac{120π r}{180}$
化简右侧得：$2π=\frac{2π r}{3}$
两边同时除以$π$得：$2=\frac{2r}{3}$
两边同时乘3并化简得：$r=3$
【答案】
3
【知识点】
弧长公式应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的记忆与简单代数运算，只要熟记弧长公式，准确代入已知量并正确化简计算，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
本题考查弧长公式的应用，解题思路为先回忆弧长计算公式，明确公式中各量的含义：$l$代表弧长，$n$代表弧所对的圆心角度数，$r$代表圆的半径。题目已给出弧长$l=2π$、圆心角$n=120°$，将已知量代入弧长公式即可得到关于半径$r$的一元一次方程，解方程就能求出半径的值。
【解析】
设这条弧所在圆的半径为$r$。
根据弧长公式：$\boldsymbol{l=\frac{nπ r}{180}}$（其中$l$为弧长，$n$为圆心角度数，$r$为圆的半径）
将$l=2π$，$n=120°$代入公式得：
$2π=\frac{120π r}{180}$
化简右侧得：$2π=\frac{2π r}{3}$
两边同时除以$π$得：$2=\frac{2r}{3}$
两边同时乘3并化简得：$r=3$
【答案】
3
【知识点】
弧长公式应用，一元一次方程求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查弧长公式的记忆与简单代数运算，只要熟记弧长公式，准确代入已知量并正确化简计算，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
5.如图,将扇形OAB翻折,使点A与圆心O重合,展开后折痕所在直线l与$\overset{\frown}{AB}$交于点C.若OA=2,则$\overset{\frown}{OC}$的长为
$\frac{2}{3}π$
.答案
5.$\frac{2}{3}π$
解析
【分析】
首先利用翻折的性质：翻折后对应点的连线被折痕垂直平分，可知折痕l是线段AO的垂直平分线，即l与AO的交点D是AO的中点，且l⊥AO。接着连接半径OC，在Rt△ODC中通过边长关系求出弧$\overset{\frown}{OC}$对应的圆心角度数，最后代入弧长公式即可求出结果。
【解析】
连接OC，
由翻折的性质可得：直线l垂直平分线段AO，
∴∠CDO=90°，$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，
∵OC是扇形的半径，
∴OC=OA=2，
在Rt△ODC中，$\cos∠ COD=\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴∠COD=60°，即$\overset{\frown}{OC}$所对的圆心角为60°，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
得$\overset{\frown}{OC}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2}{3}π$。
【答案】
$\frac{2}{3}π$
【知识点】
翻折的性质；弧长计算；直角三角形边角关系
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是通过翻折的性质得到线段的数量与位置关系，进而求出圆心角，需要熟练掌握弧长的计算公式，是圆相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
首先利用翻折的性质：翻折后对应点的连线被折痕垂直平分，可知折痕l是线段AO的垂直平分线，即l与AO的交点D是AO的中点，且l⊥AO。接着连接半径OC，在Rt△ODC中通过边长关系求出弧$\overset{\frown}{OC}$对应的圆心角度数，最后代入弧长公式即可求出结果。
【解析】
连接OC，
由翻折的性质可得：直线l垂直平分线段AO，
∴∠CDO=90°，$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×2=1$，
∵OC是扇形的半径，
∴OC=OA=2，
在Rt△ODC中，$\cos∠ COD=\frac{OD}{OC}=\frac{1}{2}$，
∴∠COD=60°，即$\overset{\frown}{OC}$所对的圆心角为60°，
根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（n为圆心角度数，r为半径），
得$\overset{\frown}{OC}$的长为$\frac{60π×2}{180}=\frac{2}{3}π$。
【答案】
$\frac{2}{3}π$
【知识点】
翻折的性质；弧长计算；直角三角形边角关系
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的突破口是通过翻折的性质得到线段的数量与位置关系，进而求出圆心角，需要熟练掌握弧长的计算公式，是圆相关计算中的常考题型。
【难度系数】
0.7
6.如图，A,B,C,D是半径为5的$\odot O$上的点，$∠ AOB=∠ COD$，$BD=8$.
(1)求证:$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$;
(2)若E为AC的中点，求BE的长.
(1)求证:$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$;
(2)若E为AC的中点，求BE的长.
答案
6.(1)证明: $\because ∠ AOB = ∠ COD, \therefore ∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC,即∠ AOC=∠ BOD, \therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}.$
(2)解: $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}, \therefore AC=BD.$
$\because BD=8, \therefore AC=8.$
$\because E为AC的中点, \therefore OB⊥ AC, AE=\frac{1}{2}AC=4,$
$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE}=\sqrt{5^2-4^2}=3,$
$\therefore BE=OB-OE=5-3=2.$
(2)解: $\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}, \therefore AC=BD.$
$\because BD=8, \therefore AC=8.$
$\because E为AC的中点, \therefore OB⊥ AC, AE=\frac{1}{2}AC=4,$
$\therefore OE=\sqrt{OA^2-AE}=\sqrt{5^2-4^2}=3,$
$\therefore BE=OB-OE=5-3=2.$
解析
【分析】
(1) 要证明弧相等，依据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角$∠ AOC$与$∠ BOD$相等即可。已知$∠ AOB=∠ COD$，给两个等角同时加上公共角$∠ BOC$，即可得到$∠ AOC=∠ BOD$，进而推出弧相等。
(2) 由第一问的弧相等可推出弦$AC=BD$，得到$AC$的长度；$E$是$AC$中点，根据垂径定理推论可知$OB⊥ AC$，同时可求出$AE$的长度；在$Rt△ OAE$中利用勾股定理求出$OE$的长度，最后用半径$OB$的长度减去$OE$的长度即可得到$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore ∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，
即$∠ AOC = ∠ BOD$，
$\because$在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2) 解：
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，
$\therefore AC=BD$，
$\because BD=8$，
$\therefore AC=8$，
$\because E$为$AC$的中点，$OB$是$\odot O$的半径，
由垂径定理推论得$OB⊥ AC$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAE$中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
$\because OB$是$\odot O$的半径，$OB=5$，
$\therefore BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$得证；
(2) $BE$的长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
圆心角与弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系，结合垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理完成线段长度计算，解题逻辑清晰，常规考点容易掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明弧相等，依据同圆中相等的圆心角所对的弧相等，只需证明$\overset{\frown}{AC}$和$\overset{\frown}{BD}$对应的圆心角$∠ AOC$与$∠ BOD$相等即可。已知$∠ AOB=∠ COD$，给两个等角同时加上公共角$∠ BOC$，即可得到$∠ AOC=∠ BOD$，进而推出弧相等。
(2) 由第一问的弧相等可推出弦$AC=BD$，得到$AC$的长度；$E$是$AC$中点，根据垂径定理推论可知$OB⊥ AC$，同时可求出$AE$的长度；在$Rt△ OAE$中利用勾股定理求出$OE$的长度，最后用半径$OB$的长度减去$OE$的长度即可得到$BE$的长。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠ AOB = ∠ COD$，
$\therefore ∠ AOB + ∠ BOC = ∠ COD + ∠ BOC$，
即$∠ AOC = ∠ BOD$，
$\because$在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，
$\therefore \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
(2) 解：
$\because \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中相等的弧所对的弦相等，
$\therefore AC=BD$，
$\because BD=8$，
$\therefore AC=8$，
$\because E$为$AC$的中点，$OB$是$\odot O$的半径，
由垂径定理推论得$OB⊥ AC$，$AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAE$中，$OA=5$，$AE=4$，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2-AE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，
$\because OB$是$\odot O$的半径，$OB=5$，
$\therefore BE=OB-OE=5-3=2$。
【答案】
(1) $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$得证；
(2) $BE$的长为$\boldsymbol{2}$。
【知识点】
圆心角与弧弦的关系，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆的基础应用类题目，解题关键是熟练掌握同圆中圆心角、弧、弦的对应相等关系，结合垂径定理构造直角三角形，通过勾股定理完成线段长度计算，解题逻辑清晰，常规考点容易掌握。
【难度系数】
0.7
