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8.(2025·溧阳模拟)造纸术、印刷术、指南针和火药是中国古代四大发明.这些发明对人类文明发展产生了深远的影响.某校科技节活动中,计划在如图所示的长100 cm,宽40 cm的展板上展出介绍四大发明的海报,每幅海报面积均为640 cm²,若展板外沿与海报之间、相邻海报之间均贴有宽度为x cm的彩色纸带,求彩色纸带的宽度.
答案
8.解:由题意,得$(100-5x)(40-2x)=640×4,$解得$x_1=4,x_2=36$(不符合题意,舍去).
答:彩色纸带的宽度为4 cm.
答:彩色纸带的宽度为4 cm.
解析
【分析】
解题时首先要明确两个核心要点：一是确定海报张贴区域的长和宽与纸带宽度x的关系，二是找到等量关系列方程。观察展板结构：水平方向上，左右外沿各有1段纸带、4张海报之间有3段间隔纸带，共5段宽度为x的纸带，因此海报区域总长度为(100-5x)cm；垂直方向上，上下外沿各有1段纸带，共2段宽度为x的纸带，因此海报区域总宽度为(40-2x)cm。等量关系为：4张海报的总面积=海报区域的面积，据此列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义（长度不能为负），舍去不符合要求的根即可。
【解析】
解：由题意可知，水平方向共有5段宽度为x cm的彩色纸带，垂直方向共有2段宽度为x cm的彩色纸带，因此四张海报组成的矩形区域的长为(100-5x)cm，宽为(40-2x)cm。
已知每幅海报面积为640 cm²，4幅海报的总面积为640×4 cm²，据此列方程：
$(100-5x)(40-2x)=640× 4$
展开整理得：$x^2-40x+144=0$
因式分解得：$(x-4)(x-36)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=36$
当$x=36$时，$40-2x=40-72=-32＜0$，不符合实际情况，故舍去。
所以符合题意的解为$x=4$。
【答案】
彩色纸带的宽度为4 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法、实际问题的根的检验
【点评】
本题结合中国古代四大发明的文化背景考查方程的实际应用，解题的易错点是数错不同方向上彩色纸带的段数，或者忽略实际问题中长度不能为负的要求，忘记舍去增根，解题时要细心梳理图形结构，养成验根的习惯。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确两个核心要点：一是确定海报张贴区域的长和宽与纸带宽度x的关系，二是找到等量关系列方程。观察展板结构：水平方向上，左右外沿各有1段纸带、4张海报之间有3段间隔纸带，共5段宽度为x的纸带，因此海报区域总长度为(100-5x)cm；垂直方向上，上下外沿各有1段纸带，共2段宽度为x的纸带，因此海报区域总宽度为(40-2x)cm。等量关系为：4张海报的总面积=海报区域的面积，据此列一元二次方程求解，最后检验根是否符合实际意义（长度不能为负），舍去不符合要求的根即可。
【解析】
解：由题意可知，水平方向共有5段宽度为x cm的彩色纸带，垂直方向共有2段宽度为x cm的彩色纸带，因此四张海报组成的矩形区域的长为(100-5x)cm，宽为(40-2x)cm。
已知每幅海报面积为640 cm²，4幅海报的总面积为640×4 cm²，据此列方程：
$(100-5x)(40-2x)=640× 4$
展开整理得：$x^2-40x+144=0$
因式分解得：$(x-4)(x-36)=0$
解得：$x_1=4$，$x_2=36$
当$x=36$时，$40-2x=40-72=-32＜0$，不符合实际情况，故舍去。
所以符合题意的解为$x=4$。
【答案】
彩色纸带的宽度为4 cm。
【知识点】
一元二次方程的应用、一元二次方程的解法、实际问题的根的检验
【点评】
本题结合中国古代四大发明的文化背景考查方程的实际应用，解题的易错点是数错不同方向上彩色纸带的段数，或者忽略实际问题中长度不能为负的要求，忘记舍去增根，解题时要细心梳理图形结构，养成验根的习惯。
【难度系数】
0.7
9.(2025·徐州沛县三模)某文创店将进价为20元/个的哪吒钥匙扣以30元/个出售，平均每天能售出50个，该文创店通过调查发现这种钥匙扣每个的售价每上涨1元，其每天的销售量就减少2个，要使每天销售这种钥匙扣的利润为608元，且售价不能超过38元/个，这种钥匙扣的售价应定为多少元/个？
答案
9.解:设这种钥匙扣的售价应定为$x$元/个,则每个的销售利润为$(x-20)$元,每天的销售量为$[50-2(x-30)]$个.
根据题意,得$(x-20)[50-2(x-30)]=608,$
整理,得$x^2-75x+1404=0,$解得$x_1=36,x_2=39.$
$\because$售价不能超过38元/个,$\therefore x=36.$
答:这种商品的售价应定为36元/个.
根据题意,得$(x-20)[50-2(x-30)]=608,$
整理,得$x^2-75x+1404=0,$解得$x_1=36,x_2=39.$
$\because$售价不能超过38元/个,$\therefore x=36.$
答:这种商品的售价应定为36元/个.
解析
【分析】
本题属于销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售数量”这一等量关系。首先设售价为x元/个，先推导单个利润：单个利润=售价-进价，可表示为(x-20)元；再推导销售数量：原销量为50个，售价每上涨1元销量减少2个，当前售价比原价30元上涨了(x-30)元，因此销量减少2(x-30)个，实际销量可表示为[50-2(x-30)]个；接着根据总利润为608元列方程求解，最后结合“售价不超过38元”的限制条件舍去不符合题意的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这种钥匙扣的售价应定为$x$元/个，则每个的销售利润为$(x-20)$元，每天的销售量为$[50-2(x-30)]$个。
根据题意，得：
$(x-20)[50-2(x-30)]=608$
整理方程，得：
$x^2-75x+1404=0$
解得：$x_1=36$，$x_2=39$
∵售价不能超过38元/个，$39＞38$，不符合题意，故舍去
∴$x=36$
答：这种钥匙扣的售价应定为36元/个。
【答案】
36元/个
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；根的取舍
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题的关键是准确找到等量关系，正确用含未知数的代数式表示出单个利润和销售量，同时要注意题目附加的限制条件，对求出的根进行验证取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
本题属于销售利润类的一元二次方程应用题，解题核心是抓住“总利润=单个商品利润×销售数量”这一等量关系。首先设售价为x元/个，先推导单个利润：单个利润=售价-进价，可表示为(x-20)元；再推导销售数量：原销量为50个，售价每上涨1元销量减少2个，当前售价比原价30元上涨了(x-30)元，因此销量减少2(x-30)个，实际销量可表示为[50-2(x-30)]个；接着根据总利润为608元列方程求解，最后结合“售价不超过38元”的限制条件舍去不符合题意的解，即可得到最终结果。
【解析】
解：设这种钥匙扣的售价应定为$x$元/个，则每个的销售利润为$(x-20)$元，每天的销售量为$[50-2(x-30)]$个。
根据题意，得：
$(x-20)[50-2(x-30)]=608$
整理方程，得：
$x^2-75x+1404=0$
解得：$x_1=36$，$x_2=39$
∵售价不能超过38元/个，$39＞38$，不符合题意，故舍去
∴$x=36$
答：这种钥匙扣的售价应定为36元/个。
【答案】
36元/个
【知识点】
一元二次方程应用；销售利润计算；根的取舍
【点评】
本题是典型的销售类实际应用题，解题的关键是准确找到等量关系，正确用含未知数的代数式表示出单个利润和销售量，同时要注意题目附加的限制条件，对求出的根进行验证取舍，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
10.如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$有两个实数根$x_1,x_2$，且$|x_1 - x_2|=2$，那么称这样的方程为“伴根方程”.例如，一元二次方程$x^2+2x=0$的两个根是$x_1=0,x_2=-2$，$|0-(-2)|=2$，方程$x^2+2x=0$是“伴根方程”.
(1)判断方程$x^2+8x+15=0$是否为“伴根方程”；
(2)已知关于$x$的方程$x^2-(m-1)x -m=0$是“伴根方程”，求$m$的值.
(1)判断方程$x^2+8x+15=0$是否为“伴根方程”；
(2)已知关于$x$的方程$x^2-(m-1)x -m=0$是“伴根方程”，求$m$的值.
答案
10.解:(1)解方程$x^2+8x+15=0,$得$x_1=-3,x_2=-5.$
$\because |-3-(-5)|=2,$
$\therefore$方程$x^2+8x+15=0$是“伴根方程”.
(2)$\because x^2-(m-1)x-m=0,$
$\therefore (x-m)(x+1)=0,$解得$x_1=m,x_2=-1.$
$\because$方程$x^2-(m-1)x-m=0$是“伴根方程”,
$\therefore |m+1|=2,$解得$m=1$或$m=-3.$
$\because |-3-(-5)|=2,$
$\therefore$方程$x^2+8x+15=0$是“伴根方程”.
(2)$\because x^2-(m-1)x-m=0,$
$\therefore (x-m)(x+1)=0,$解得$x_1=m,x_2=-1.$
$\because$方程$x^2-(m-1)x-m=0$是“伴根方程”,
$\therefore |m+1|=2,$解得$m=1$或$m=-3.$
解析
【分析】
（1）判断方程是否为“伴根方程”的核心是验证两根差的绝对值是否为2，因此首先需要解出一元二次方程的两个实数根，再计算两根差的绝对值，对照定义判断即可。
（2）已知方程是“伴根方程”，首先求解该一元二次方程得到用m表示的两个根，再根据“伴根方程”的定义列出关于m的绝对值方程，求解绝对值方程即可得到m的取值。
【解析】
(1) 解方程$x^2+8x+15=0$，因式分解得$(x+3)(x+5)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-5$。
计算两根差的绝对值：$\vert -3 - (-5)\vert=\vert2\vert=2$，满足“伴根方程”的定义。
(2) 对$x^2-(m-1)x -m=0$因式分解，得$(x-m)(x+1)=0$，解得$x_1=m$，$x_2=-1$。
因为方程是“伴根方程”，所以$\vert x_1-x_2\vert=2$，代入得$\vert m - (-1)\vert=\vert m+1\vert=2$。
根据绝对值的性质可得：$m+1=2$或$m+1=-2$，解得$m=1$或$m=-3$。
【答案】
(1) 方程$x^2+8x+15=0$是“伴根方程”；
(2) $m$的值为$1$或$-3$。
【知识点】
一元二次方程求解、绝对值运算、新定义应用
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是准确理解“伴根方程”的定义，将新定义问题转化为常规的一元二次方程、绝对值方程求解问题，侧重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
（1）判断方程是否为“伴根方程”的核心是验证两根差的绝对值是否为2，因此首先需要解出一元二次方程的两个实数根，再计算两根差的绝对值，对照定义判断即可。
（2）已知方程是“伴根方程”，首先求解该一元二次方程得到用m表示的两个根，再根据“伴根方程”的定义列出关于m的绝对值方程，求解绝对值方程即可得到m的取值。
【解析】
(1) 解方程$x^2+8x+15=0$，因式分解得$(x+3)(x+5)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=-5$。
计算两根差的绝对值：$\vert -3 - (-5)\vert=\vert2\vert=2$，满足“伴根方程”的定义。
(2) 对$x^2-(m-1)x -m=0$因式分解，得$(x-m)(x+1)=0$，解得$x_1=m$，$x_2=-1$。
因为方程是“伴根方程”，所以$\vert x_1-x_2\vert=2$，代入得$\vert m - (-1)\vert=\vert m+1\vert=2$。
根据绝对值的性质可得：$m+1=2$或$m+1=-2$，解得$m=1$或$m=-3$。
【答案】
(1) 方程$x^2+8x+15=0$是“伴根方程”；
(2) $m$的值为$1$或$-3$。
【知识点】
一元二次方程求解、绝对值运算、新定义应用
【点评】
本题属于新定义类基础题型，解题关键是准确理解“伴根方程”的定义，将新定义问题转化为常规的一元二次方程、绝对值方程求解问题，侧重考查对新定义的理解能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.8
