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1.(徐州期末)若2为一元二次方程$x^2 - mx - 6 = 0$的一个根，则m的值为 （
A.1
B.−1
C.2
D.−2
B
）A.1
B.−1
C.2
D.−2
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路如下：首先明确方程的根的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，所以已知2是该方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
∵2是一元二次方程$x^2 - mx - 6 = 0$的一个根
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 - m×2 - 6 = 0$
计算得：$4 - 2m - 6 = 0$
合并同类项得：$-2m - 2 = 0$
移项得：$-2m = 2$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的定义的应用，只需将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，解题思路直接。
【难度系数】
0.9
本题考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路如下：首先明确方程的根的含义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根，所以已知2是该方程的根，只需将x=2代入原方程，即可得到只含有未知数m的一元一次方程，解这个一元一次方程就能求出m的值。
【解析】
∵2是一元二次方程$x^2 - mx - 6 = 0$的一个根
∴将$x=2$代入方程，等式成立，即：
$2^2 - m×2 - 6 = 0$
计算得：$4 - 2m - 6 = 0$
合并同类项得：$-2m - 2 = 0$
移项得：$-2m = 2$
系数化为1得：$m = -1$
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的根的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查方程根的定义的应用，只需将已知根代入原方程转化为一元一次方程求解即可，计算量小，解题思路直接。
【难度系数】
0.9
2.(徐州期中)将方程$x^2 -6x -4=0$化为$(x-p)^2=q$的形式，正确的是（
A.$(x-3)^2=5$
B.$(x-3)^2=13$
C.$(x-3)^2=10$
D.$(x-3)^2=15$
B
）A.$(x-3)^2=5$
B.$(x-3)^2=13$
C.$(x-3)^2=10$
D.$(x-3)^2=15$
答案
2.B
解析
【分析】
本题要求将一元二次方程化为$(x-p)^2=q$的形式，核心考查配方法的使用。解题思路如下：首先回忆配方法的标准步骤：第一步先把方程的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的二次项和一次项在左侧；第二步在方程左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，此时左侧即可凑成完全平方式，右侧合并常数项后就能得到目标形式，再对应选项选择即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -4=0$进行配方变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 6x = 4$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在方程左右两边同时加9，得：
$x^2 - 6x + 9 = 4 + 9$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x-3)^2=13$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的配方变形，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，只要严格按照移项、凑完全平方的步骤计算，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
本题要求将一元二次方程化为$(x-p)^2=q$的形式，核心考查配方法的使用。解题思路如下：首先回忆配方法的标准步骤：第一步先把方程的常数项移到等号右侧，仅保留含未知数的二次项和一次项在左侧；第二步在方程左右两侧同时加上一次项系数一半的平方，此时左侧即可凑成完全平方式，右侧合并常数项后就能得到目标形式，再对应选项选择即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 -6x -4=0$进行配方变形：
1. 移项：将常数项移到等号右侧，得$x^2 - 6x = 4$；
2. 配方：一次项系数为$-6$，其一半的平方为$(\frac{-6}{2})^2=9$，在方程左右两边同时加9，得：
$x^2 - 6x + 9 = 4 + 9$
3. 左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项，得：
$(x-3)^2=13$
因此正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程；完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元二次方程的配方变形，熟练掌握配方法的操作步骤是解题的核心，只要严格按照移项、凑完全平方的步骤计算，即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.8
3.(2025·南通海安一模)关于$x$的一元二次方程$x^2 - (m+2)x + m = 0$根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法确定
答案
3.A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先找准方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式化简，再结合非负数的性质判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程 $x^2 - (m+2)x + m = 0$ 中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(m+2)]^2 - 4×1× m\\&=m^2 + 4m + 4 - 4m\\&=m^2 + 4\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即 $m^2≥0$，
∴ $m^2 + 4≥4＞0$，即 $\Delta＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的关键是准确计算判别式并判断其符号，熟练掌握根的判别式与方程根的情况的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程根的情况，核心方法是计算根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时没有实数根。解题时先找准方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，代入判别式公式化简，再结合非负数的性质判断$\Delta$的符号即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程 $ax^2+bx+c=0\ (a≠0)$，根的判别式为 $\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程 $x^2 - (m+2)x + m = 0$ 中，$a=1$，$b=-(m+2)$，$c=m$，代入判别式得：
$\begin{aligned}\Delta&=[-(m+2)]^2 - 4×1× m\\&=m^2 + 4m + 4 - 4m\\&=m^2 + 4\end{aligned}$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即 $m^2≥0$，
∴ $m^2 + 4≥4＞0$，即 $\Delta＞0$，
∴ 该方程有两个不相等的实数根。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查根的判别式的应用，解题的关键是准确计算判别式并判断其符号，熟练掌握根的判别式与方程根的情况的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.85
4.(1)若一元二次方程$mx^2 + 2x + 1 = 0$有实数根，则$m$的取值范围是________；
(2)若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 + 2x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是________。
(2)若关于$x$的一元二次方程$(k-1)x^2 + 2x - 2 = 0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是________。
答案
4.(1)$m≤ 1$且$m≠ 0$ (2)$k＞\frac{1}{2}$且$k≠ 1$
解析
【分析】
这两道题均考查一元二次方程的定义与根的判别式的综合应用，解题思路如下：①首先根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不为0，得到参数的第一个限制条件；②再根据方程根的情况（有实根/两个不相等实根），利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$列对应的不等式；③求解不等式后，结合二次项系数的限制条件，得到参数的最终取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
(1)
∵ 方程$mx^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m, b=2, c=1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4× m × 1 = 4 - 4m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ 1$
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 1$且$m≠0$
(2)
∵ 方程$(k-1)x^2 + 2x - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k-1, b=2, c=-2$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4× (k-1) × (-2) = 4 + 8(k-1) = 8k - 4 ＞ 0$
解不等式得：$8k ＞ 4$，即$k ＞ \frac{1}{2}$
综上，$k$的取值范围是$k ＞ \frac{1}{2}$且$k≠1$
【答案】
(1)$m≤ 1$且$m≠ 0$；(2)$k＞\frac{1}{2}$且$k≠ 1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点为解题时忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致取值范围多解，解题时先确定二次项系数的限制，再结合判别式求解即可。
【难度系数】
0.7
这两道题均考查一元二次方程的定义与根的判别式的综合应用，解题思路如下：①首先根据一元二次方程的定义，确定二次项系数不为0，得到参数的第一个限制条件；②再根据方程根的情况（有实根/两个不相等实根），利用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$列对应的不等式；③求解不等式后，结合二次项系数的限制条件，得到参数的最终取值范围，注意不要遗漏二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
(1)
∵ 方程$mx^2 + 2x + 1 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$m≠0$
∵ 方程有实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，其中$a=m, b=2, c=1$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4× m × 1 = 4 - 4m ≥ 0$
解不等式得：$m ≤ 1$
综上，$m$的取值范围是$m ≤ 1$且$m≠0$
(2)
∵ 方程$(k-1)x^2 + 2x - 2 = 0$是一元二次方程
∴ 二次项系数$k-1≠0$，解得$k≠1$
∵ 方程有两个不相等的实数根
∴ 判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，其中$a=k-1, b=2, c=-2$
代入得：$\Delta = 2^2 - 4× (k-1) × (-2) = 4 + 8(k-1) = 8k - 4 ＞ 0$
解不等式得：$8k ＞ 4$，即$k ＞ \frac{1}{2}$
综上，$k$的取值范围是$k ＞ \frac{1}{2}$且$k≠1$
【答案】
(1)$m≤ 1$且$m≠ 0$；(2)$k＞\frac{1}{2}$且$k≠ 1$
【知识点】
一元二次方程的定义，根的判别式应用，一元一次不等式求解
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，易错点为解题时忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，导致取值范围多解，解题时先确定二次项系数的限制，再结合判别式求解即可。
【难度系数】
0.7
5.已知方程$x^2 + x - 2 = 0$的两根分别为$x_1, x_2$，则$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
5.$\frac{1}{2}$
解析
【分析】
要求一元二次方程两根的倒数和，首先可先对所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$进行通分化简，将其转化为仅含两根之和、两根之积的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从原方程系数求出两根之和与两根之积，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解两根的具体值，能简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知原方程为$x^2 + x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$，代入韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-1$，$x_1x_2=-2$代入上式计算：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，通过转化所求代数式的形式，可规避求解方程根的繁琐步骤，解题时需注意韦达定理中两根和的符号，避免公式记混出错。
【难度系数】
0.8
要求一元二次方程两根的倒数和，首先可先对所求代数式$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$进行通分化简，将其转化为仅含两根之和、两根之积的形式；再根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接从原方程系数求出两根之和与两根之积，最后代入化简后的式子计算即可，无需单独求解两根的具体值，能简化计算过程。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，若两根为$x_1,x_2$，由韦达定理可得：
$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，$x_1x_2=\frac{c}{a}$
已知原方程为$x^2 + x - 2 = 0$，其中$a=1$，$b=1$，$c=-2$，代入韦达定理得：
$x_1+x_2=-\frac{1}{1}=-1$，$x_1x_2=\frac{-2}{1}=-2$
对所求代数式通分化简：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_2+x_1}{x_1x_2}$
将$x_1+x_2=-1$，$x_1x_2=-2$代入上式计算：
$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，分式化简求值
【点评】
本题属于根与系数关系的基础应用题型，通过转化所求代数式的形式，可规避求解方程根的繁琐步骤，解题时需注意韦达定理中两根和的符号，避免公式记混出错。
【难度系数】
0.8
6.解下列一元二次方程：
(1)$(1+x)^2=9$；
(2)$x^2-4x+1=0$；
(3)$2x^2-3x-4=0$；
(4)$x(x-7)=8(7-x)$。
(1)$(1+x)^2=9$；
(2)$x^2-4x+1=0$；
(3)$2x^2-3x-4=0$；
(4)$x(x-7)=8(7-x)$。
答案
6.解:(1)$\because (1+x)^2=9,\therefore 1+x=\pm3,\therefore x_1=2,x_2=-4.$
(2)移项,得$x^2-4x=-1,$
配方,得$x^2-4x+4=-1+4,$即$(x-2)^2=3,$
$\therefore x-2=\pm\sqrt{3},$即$x=2\pm\sqrt{3},\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}.$
(3)$2x^2-3x-4=0$中$a=2,b=-3,c=-4.$
$\because b^2-4ac=9+32=41＞0,\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4},$
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}.$
(4)$x(x-7)=8(7-x)$可化为$x(x-7)+8(x-7)=0,$
$\therefore (x-7)(x+8)=0,\therefore x-7=0$或$x+8=0,$
$\therefore x_1=7,x_2=-8.$
(2)移项,得$x^2-4x=-1,$
配方,得$x^2-4x+4=-1+4,$即$(x-2)^2=3,$
$\therefore x-2=\pm\sqrt{3},$即$x=2\pm\sqrt{3},\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}.$
(3)$2x^2-3x-4=0$中$a=2,b=-3,c=-4.$
$\because b^2-4ac=9+32=41＞0,\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4},$
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}.$
(4)$x(x-7)=8(7-x)$可化为$x(x-7)+8(x-7)=0,$
$\therefore (x-7)(x+8)=0,\therefore x-7=0$或$x+8=0,$
$\therefore x_1=7,x_2=-8.$
解析
【分析】
求解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左侧为完全平方形式，右侧为正数，优先用直接开平方法，开方后得到两个一次方程分别求解；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方后开方求解；
(3) 方程无特殊结构，无法直接因式分解，选用公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算；
(4) 方程左右两侧含互为相反数的公因式，移项后提取公因式，用因式分解法将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别解一次方程即可。
【解析】
(1) $\because (1+x)^2=9$，$\therefore 1+x=\pm3$，
当$1+x=3$时，$x=2$；当$1+x=-3$时，$x=-4$，
$\therefore x_1=2,x_2=-4$。
(2) 移项，得$x^2-4x=-1$，
配方，得$x^2-4x+4=-1+4$，即$(x-2)^2=3$，
$\therefore x-2=\pm\sqrt{3}$，即$x=2\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$。
(3) 在$2x^2-3x-4=0$中，$a=2,b=-3,c=-4$，
$\because b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-4)=9+32=41＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
(4) 原方程可化为$x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式得$(x-7)(x+8)=0$，
$\therefore x-7=0$或$x+8=0$，
$\therefore x_1=7,x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-4$；(2)$x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；(4)$x_1=7,x_2=-8$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时要先观察方程特征，灵活选择最简解法，能有效提升解题效率和准确率，是一元二次方程的核心基础题型。
【难度系数】
0.8
求解一元二次方程需根据方程的结构特征选择最简便的解法：
(1) 方程左侧为完全平方形式，右侧为正数，优先用直接开平方法，开方后得到两个一次方程分别求解；
(2) 方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法，先移项，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方后开方求解；
(3) 方程无特殊结构，无法直接因式分解，选用公式法，先确定a、b、c的值，计算判别式判断根的存在性，再代入求根公式计算；
(4) 方程左右两侧含互为相反数的公因式，移项后提取公因式，用因式分解法将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，分别解一次方程即可。
【解析】
(1) $\because (1+x)^2=9$，$\therefore 1+x=\pm3$，
当$1+x=3$时，$x=2$；当$1+x=-3$时，$x=-4$，
$\therefore x_1=2,x_2=-4$。
(2) 移项，得$x^2-4x=-1$，
配方，得$x^2-4x+4=-1+4$，即$(x-2)^2=3$，
$\therefore x-2=\pm\sqrt{3}$，即$x=2\pm\sqrt{3}$，
$\therefore x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$。
(3) 在$2x^2-3x-4=0$中，$a=2,b=-3,c=-4$，
$\because b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-4)=9+32=41＞0$，
$\therefore x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$，
$\therefore x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
(4) 原方程可化为$x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式得$(x-7)(x+8)=0$，
$\therefore x-7=0$或$x+8=0$，
$\therefore x_1=7,x_2=-8$。
【答案】
(1)$x_1=2,x_2=-4$；(2)$x_1=2+\sqrt{3},x_2=2-\sqrt{3}$；(3)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；(4)$x_1=7,x_2=-8$
【知识点】
一元二次方程的解法、配方法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础训练，解题时要先观察方程特征，灵活选择最简解法，能有效提升解题效率和准确率，是一元二次方程的核心基础题型。
【难度系数】
0.8
7.(2025·南京建邺区期末)已知关于x的方程$(x+1)(x+2)=m^2$.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若这个方程的一个根为3,求另一个根及m的值.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若这个方程的一个根为3,求另一个根及m的值.
答案
7.(1)证明:$\because (x+1)(x+2)=m^2,\therefore x^2+3x+2-m^2=0.$
$\because b^2-4ac=3^2-4(2-m^2)=1+4m^2＞0,$
$\therefore$无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:将$x=3$代入原方程,得$4×5=m^2$,解得$m_1=2\sqrt{5},m_2=-2\sqrt{5}.$
$\therefore$方程为$x^2+3x-18=0,\therefore (x+6)(x-3)=0,$
$\therefore x=-6$或$x=3,\therefore$另一个根为$-6.$
$\because b^2-4ac=3^2-4(2-m^2)=1+4m^2＞0,$
$\therefore$无论$m$取何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)解:将$x=3$代入原方程,得$4×5=m^2$,解得$m_1=2\sqrt{5},m_2=-2\sqrt{5}.$
$\therefore$方程为$x^2+3x-18=0,\therefore (x+6)(x-3)=0,$
$\therefore x=-6$或$x=3,\therefore$另一个根为$-6.$
解析
【分析】
(1)要证明无论m取何值方程总有两个不相等的实数根，首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，只需证明$\Delta$恒大于0即可。
(2)已知方程的一个根为3，可先将x=3代入原方程求出m的值，再将m代入整理后的方程，解方程即可得到另一个根；也可利用根与系数的关系直接求另一个根，两种方法均符合解题要求。
【解析】
(1)证明：$\because (x+1)(x+2)=m^2$，$\therefore x^2+3x+2-m^2=0$。
$\because b^2-4ac=3^2-4(2-m^2)=1+4m^2＞0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：将$x=3$代入原方程，得$4×5=m^2$，解得$m_1=2\sqrt{5},m_2=-2\sqrt{5}$。
$\therefore$方程为$x^2+3x-18=0$，$\therefore (x+6)(x-3)=0$，
$\therefore x=-6$或$x=3$，$\therefore$另一个根为$-6$。
【答案】
(1)无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2)另一个根为$-6$，$m$的值为$2\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的解
3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，第一问核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，第二问解题时要注意m的值有正负两个，不要漏解，也可借助根与系数的关系简化计算。
【难度系数】
0.8
(1)要证明无论m取何值方程总有两个不相等的实数根，首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，再计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，只需证明$\Delta$恒大于0即可。
(2)已知方程的一个根为3，可先将x=3代入原方程求出m的值，再将m代入整理后的方程，解方程即可得到另一个根；也可利用根与系数的关系直接求另一个根，两种方法均符合解题要求。
【解析】
(1)证明：$\because (x+1)(x+2)=m^2$，$\therefore x^2+3x+2-m^2=0$。
$\because b^2-4ac=3^2-4(2-m^2)=1+4m^2＞0$，
$\therefore$无论$m$取何值，方程总有两个不相等的实数根。
(2)解：将$x=3$代入原方程，得$4×5=m^2$，解得$m_1=2\sqrt{5},m_2=-2\sqrt{5}$。
$\therefore$方程为$x^2+3x-18=0$，$\therefore (x+6)(x-3)=0$，
$\therefore x=-6$或$x=3$，$\therefore$另一个根为$-6$。
【答案】
(1)无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根，得证；
(2)另一个根为$-6$，$m$的值为$2\sqrt{5}$或$-2\sqrt{5}$。
【知识点】
1.一元二次方程根的判别式
2.一元二次方程的解
3.因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于一元二次方程基础综合题，第一问核心是掌握判别式与根的个数的对应关系，第二问解题时要注意m的值有正负两个，不要漏解，也可借助根与系数的关系简化计算。
【难度系数】
0.8
