登录
7. 如图,一次函数$y=ax+b(a≠0)$的图象分别与$x$轴,$y$轴交于点$A(-1,0)$,点$B$,且$OB=2OA$.直线$AB$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＜0)$的图象交于点$C(-3,n)$.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)在该反比例函数的图象上存在点$D$,且点$D$到$x$轴的距离为$2$,连接$AD$,直线$CD$交$x$轴于点$E$,求$△ ACD$的面积.
(1)求一次函数与反比例函数的表达式;
(2)在该反比例函数的图象上存在点$D$,且点$D$到$x$轴的距离为$2$,连接$AD$,直线$CD$交$x$轴于点$E$,求$△ ACD$的面积.
答案
7.解:(1)$\because A(-1,0),\therefore OA=1.$
又$\because OB=2OA=2,\therefore B(0,-2).$
将$(-1,0),(0,-2)$分别代入$y=ax+b$中,
得$\begin{cases} 0=-a+b, \\ -2=b, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=-2, \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x-2.$
将$(-3,n)$代入$y=-2x-2$中,
得$n=-2×(-3)-2=4,\therefore C(-3,4).$
将$(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=-12$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}.$
(2)$\because$点$D$到$x$轴的距离为$2,\therefore y_D=2.$
$\because$点$D$在函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上,
$\therefore x_D=-6,\therefore D(-6,2).$
同理可求直线$CD$的函数表达式为$y=\frac{2}{3}x+6.$
$\because$直线$CD$交$x$轴于点$E,\therefore E(-9,0),\therefore AE=8,$
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACE}-S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· y_C-\frac{1}{2}AE· y_D=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×8×2=8.$
又$\because OB=2OA=2,\therefore B(0,-2).$
将$(-1,0),(0,-2)$分别代入$y=ax+b$中,
得$\begin{cases} 0=-a+b, \\ -2=b, \end{cases}$解得$\begin{cases} a=-2, \\ b=-2, \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x-2.$
将$(-3,n)$代入$y=-2x-2$中,
得$n=-2×(-3)-2=4,\therefore C(-3,4).$
将$(-3,4)$代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=-12$,
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}.$
(2)$\because$点$D$到$x$轴的距离为$2,\therefore y_D=2.$
$\because$点$D$在函数$y=-\frac{12}{x}$的图象上,
$\therefore x_D=-6,\therefore D(-6,2).$
同理可求直线$CD$的函数表达式为$y=\frac{2}{3}x+6.$
$\because$直线$CD$交$x$轴于点$E,\therefore E(-9,0),\therefore AE=8,$
$\therefore S_{△ ACD}=S_{△ ACE}-S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· y_C-\frac{1}{2}AE· y_D=\frac{1}{2}×8×4-\frac{1}{2}×8×2=8.$
解析
【分析】
(1) 求解函数表达式优先用待定系数法：首先由点A坐标得到OA长度，结合OB=2OA和点B在y轴负半轴的位置确定B点坐标，将A、B两点代入一次函数表达式即可求出a、b的值，得到一次函数解析式；再将点C的横坐标代入一次函数求出n，得到C点坐标后代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式。
(2) 先根据点D到x轴的距离、以及D在第二象限的位置确定D点纵坐标，代入反比例函数求出D点坐标；再用待定系数法求出直线CD的解析式，找到其与x轴交点E的坐标；最后利用割补法，将△ACD的面积转化为△ACE与△ADE的面积差，两个三角形同底为AE，高分别为点C、D的纵坐标，代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$A(-1,0)$，则$OA=1$。
$\because OB=2OA$，$\therefore OB=2$，结合图象可知点B在y轴负半轴，$\therefore B(0,-2)$。
将$A(-1,0)$、$B(0,-2)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} 0=-a+b \\ -2=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2 \\ b=-2 \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x-2$。
将$C(-3,n)$代入一次函数表达式，得$n=-2×(-3)-2=4$，即$C(-3,4)$。
将$C(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-3}$，解得$k=-12$。
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}(x＜0)$。
(2) $\because$点D在反比例函数图象上（$x＜0$，图象在第二象限），且点D到x轴的距离为2，$\therefore$D点纵坐标$y_D=2$。
将$y=2$代入$y=-\frac{12}{x}$，得$2=-\frac{12}{x}$，解得$x=-6$，即$D(-6,2)$。
设直线CD的表达式为$y=mx+c$，将$C(-3,4)$、$D(-6,2)$代入得：
$\begin{cases} 4=-3m+c \\ 2=-6m+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{2}{3} \\ c=6 \end{cases}$
$\therefore$直线CD的表达式为$y=\frac{2}{3}x+6$。
令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x+6$，解得$x=-9$，即$E(-9,0)$。
$\therefore AE=\vert -1 - (-9)\vert=8$。
$S_{△ACD}=S_{△ACE}-S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AE×y_C - \frac{1}{2}×AE×y_D=\frac{1}{2}×8×4 - \frac{1}{2}×8×2=16-8=8$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{12}{x}(x＜0)}$；
(2) $△ ACD$的面积为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了函数解析式求解的基础方法，也考查了坐标系中三角形面积的计算技巧，解题的关键是熟练运用待定系数法，灵活使用割补法简化面积计算，是函数部分的经典常考题型。
【难度系数】
0.65
(1) 求解函数表达式优先用待定系数法：首先由点A坐标得到OA长度，结合OB=2OA和点B在y轴负半轴的位置确定B点坐标，将A、B两点代入一次函数表达式即可求出a、b的值，得到一次函数解析式；再将点C的横坐标代入一次函数求出n，得到C点坐标后代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式。
(2) 先根据点D到x轴的距离、以及D在第二象限的位置确定D点纵坐标，代入反比例函数求出D点坐标；再用待定系数法求出直线CD的解析式，找到其与x轴交点E的坐标；最后利用割补法，将△ACD的面积转化为△ACE与△ADE的面积差，两个三角形同底为AE，高分别为点C、D的纵坐标，代入计算即可。
【解析】
(1) 已知$A(-1,0)$，则$OA=1$。
$\because OB=2OA$，$\therefore OB=2$，结合图象可知点B在y轴负半轴，$\therefore B(0,-2)$。
将$A(-1,0)$、$B(0,-2)$代入一次函数$y=ax+b$，得：
$\begin{cases} 0=-a+b \\ -2=b \end{cases}$
解得$\begin{cases} a=-2 \\ b=-2 \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-2x-2$。
将$C(-3,n)$代入一次函数表达式，得$n=-2×(-3)-2=4$，即$C(-3,4)$。
将$C(-3,4)$代入反比例函数$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{-3}$，解得$k=-12$。
$\therefore$反比例函数的表达式为$y=-\frac{12}{x}(x＜0)$。
(2) $\because$点D在反比例函数图象上（$x＜0$，图象在第二象限），且点D到x轴的距离为2，$\therefore$D点纵坐标$y_D=2$。
将$y=2$代入$y=-\frac{12}{x}$，得$2=-\frac{12}{x}$，解得$x=-6$，即$D(-6,2)$。
设直线CD的表达式为$y=mx+c$，将$C(-3,4)$、$D(-6,2)$代入得：
$\begin{cases} 4=-3m+c \\ 2=-6m+c \end{cases}$
解得$\begin{cases} m=\frac{2}{3} \\ c=6 \end{cases}$
$\therefore$直线CD的表达式为$y=\frac{2}{3}x+6$。
令$y=0$，得$0=\frac{2}{3}x+6$，解得$x=-9$，即$E(-9,0)$。
$\therefore AE=\vert -1 - (-9)\vert=8$。
$S_{△ACD}=S_{△ACE}-S_{△ADE}=\frac{1}{2}×AE×y_C - \frac{1}{2}×AE×y_D=\frac{1}{2}×8×4 - \frac{1}{2}×8×2=16-8=8$。
【答案】
(1) 一次函数表达式为$\boldsymbol{y=-2x-2}$，反比例函数表达式为$\boldsymbol{y=-\dfrac{12}{x}(x＜0)}$；
(2) $△ ACD$的面积为$\boldsymbol{8}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数的性质，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数与反比例函数的综合题，既考查了函数解析式求解的基础方法，也考查了坐标系中三角形面积的计算技巧，解题的关键是熟练运用待定系数法，灵活使用割补法简化面积计算，是函数部分的经典常考题型。
【难度系数】
0.65
8. 如图,在平面直角坐标系$xOy$中,正方形$ABCO$的对角线$BO$在$x$轴上,若正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2}$,点$B$在$x$轴负半轴上,反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$C$.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)当函数值$y＞-2$时,请直接写出自变量$x$的取值范围;
(3)若$P$是反比例函数图象上的一点,且$△ PBO$的面积恰好等于正方形$ABCO$的面积,求点$P$的坐标.
(1)求该反比例函数的表达式;
(2)当函数值$y＞-2$时,请直接写出自变量$x$的取值范围;
(3)若$P$是反比例函数图象上的一点,且$△ PBO$的面积恰好等于正方形$ABCO$的面积,求点$P$的坐标.
答案
8.解:(1)如答图,过点$C$作$CE⊥ x$轴于点$E$,则$∠ CEB=90°.$
$\because$正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2},\therefore CO=2\sqrt{2}.$
$\because ∠ COE=45°,\therefore CE=OE=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2,$
$\therefore C(-2,-2),\therefore k=-2×(-2)=4,$
$\therefore$反比例函数的表达式是$y=\frac{4}{x}.$
(2)把$y=-2$代入$y=\frac{4}{x}$,得$x=-2$,
$\therefore$当函数值$y＞-2$时,自变量$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞0.$
(3)设点$P$的纵坐标为$a.$
$\because$正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2},\therefore OB=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4.$
$\because △ PBO$的面积恰好等于正方形$ABCO$的面积,
$\therefore \frac{1}{2}×4×|a|=2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$,解得$a=\pm4,$
即点$P$的纵坐标是$4$或$-4$,代入$y=\frac{4}{x}$,得$x=1$或$x=-1$,
$\therefore$点$P$的坐标是$(1,4)$或$(-1,-4).$
解析
【分析】
(1) 求反比例函数表达式需要先确定图象上点C的坐标：过点C作x轴的垂线，利用正方形对角线平分内角的性质可知∠COE=45°，结合OC为正方形边长，通过等腰直角三角形的边角关系求出CE、OE的长度，即可得到C点坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可。
(2) 求y＞-2时x的取值范围：先求出y=-2对应的x值，再结合反比例函数的图象分布与增减性分析：第一象限内函数值恒为正，必然满足y＞-2；第三象限内y随x增大而减小，可得到对应x的范围，综合两部分结果即可。
(3) 求点P坐标：先计算出正方形的面积和对角线OB的长度，△PBO以OB为底，高为点P纵坐标的绝对值，根据面积相等列方程求出P点的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出横坐标，注意纵坐标有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 如答图，过点$C$作$CE⊥ x$轴于点$E$，则$∠ CEB=90°.$
$\because$正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2},\therefore CO=2\sqrt{2}.$
$\because ∠ COE=45°,\therefore CE=OE=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2,$
$\therefore C(-2,-2),\therefore k=-2×(-2)=4,$
$\therefore$反比例函数的表达式是$y=\frac{4}{x}.$
(2) 把$y=-2$代入$y=\frac{4}{x}$,得$x=-2$,
$\because$反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象位于第一、三象限，第一象限内$y＞0$恒满足$y＞-2$，第三象限内y随x增大而减小，
$\therefore$当函数值$y＞-2$时,自变量$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞0.$
(3) 设点$P$的纵坐标为$a.$
$\because$正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2},\therefore OB=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4.$
$\because △ PBO$的面积恰好等于正方形$ABCO$的面积,
$\therefore \frac{1}{2}×4×|a|=2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$,解得$a=\pm4,$
即点$P$的纵坐标是$4$或$-4$,代入$y=\frac{4}{x}$,得$x=1$或$x=-1$,
$\therefore$点$P$的坐标是$(1,4)$或$(-1,-4).$
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}$
(2) $x＜-2$或$x＞0$
(3) $(1,4)$或$(-1,-4)$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数图象与性质；正方形的性质
【点评】
本题为反比例函数与几何的综合题，解题关键是结合正方形的性质求出关键点坐标，再结合反比例函数的性质求解，解题时要注意结合函数图象分析取值范围，涉及点到坐标轴的距离时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 求反比例函数表达式需要先确定图象上点C的坐标：过点C作x轴的垂线，利用正方形对角线平分内角的性质可知∠COE=45°，结合OC为正方形边长，通过等腰直角三角形的边角关系求出CE、OE的长度，即可得到C点坐标，代入反比例函数解析式求出k值即可。
(2) 求y＞-2时x的取值范围：先求出y=-2对应的x值，再结合反比例函数的图象分布与增减性分析：第一象限内函数值恒为正，必然满足y＞-2；第三象限内y随x增大而减小，可得到对应x的范围，综合两部分结果即可。
(3) 求点P坐标：先计算出正方形的面积和对角线OB的长度，△PBO以OB为底，高为点P纵坐标的绝对值，根据面积相等列方程求出P点的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出横坐标，注意纵坐标有正负两种情况，避免漏解。
【解析】
(1) 如答图，过点$C$作$CE⊥ x$轴于点$E$，则$∠ CEB=90°.$
$\because$正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2},\therefore CO=2\sqrt{2}.$
$\because ∠ COE=45°,\therefore CE=OE=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2,$
$\therefore C(-2,-2),\therefore k=-2×(-2)=4,$
$\therefore$反比例函数的表达式是$y=\frac{4}{x}.$
(2) 把$y=-2$代入$y=\frac{4}{x}$,得$x=-2$,
$\because$反比例函数$y=\frac{4}{x}$图象位于第一、三象限，第一象限内$y＞0$恒满足$y＞-2$，第三象限内y随x增大而减小，
$\therefore$当函数值$y＞-2$时,自变量$x$的取值范围是$x＜-2$或$x＞0.$
(3) 设点$P$的纵坐标为$a.$
$\because$正方形$ABCO$的边长为$2\sqrt{2},\therefore OB=2\sqrt{2}×\sqrt{2}=4.$
$\because △ PBO$的面积恰好等于正方形$ABCO$的面积,
$\therefore \frac{1}{2}×4×|a|=2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$,解得$a=\pm4,$
即点$P$的纵坐标是$4$或$-4$,代入$y=\frac{4}{x}$,得$x=1$或$x=-1$,
$\therefore$点$P$的坐标是$(1,4)$或$(-1,-4).$
【答案】
(1) $y=\frac{4}{x}$
(2) $x＜-2$或$x＞0$
(3) $(1,4)$或$(-1,-4)$
【知识点】
反比例函数解析式确定；反比例函数图象与性质；正方形的性质
【点评】
本题为反比例函数与几何的综合题，解题关键是结合正方形的性质求出关键点坐标，再结合反比例函数的性质求解，解题时要注意结合函数图象分析取值范围，涉及点到坐标轴的距离时要分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65
9.已知反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象和一次函数的图象交于A，B两点，点A的横坐标是－1，点B的纵坐标是－1.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点$P(m,n)$在反比例函数的图象上，且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求$m^2+n^2$的值；
(3)若$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足$x_2 - x_1 = 2, y_1 + y_2 = 3$，求$△ MON$的面积.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若点$P(m,n)$在反比例函数的图象上，且点P关于x轴对称的点Q恰好落在一次函数的图象上，求$m^2+n^2$的值；
(3)若$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是反比例函数在第一象限图象上的两点，满足$x_2 - x_1 = 2, y_1 + y_2 = 3$，求$△ MON$的面积.
答案
9.解:(1)$\because$反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象和一次函数的图象交于$A,B$两点,点$A$的横坐标是$-1$,点$B$的纵坐标是$-1$,
$\therefore A(-1,-2),B(-2,-1).$
设一次函数的表达式为$y=kx+b.$
把$(-1,-2),(-2,-1)$代入,得
$\begin{cases} -k+b=-2, \\ -2k+b=-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x-3.$
(2)$\because$点$P(m,n)$与点$Q$关于$x$轴对称,$\therefore Q(m,-n).$
$\because$点$P(m,n)$在反比例函数的图象上,$\therefore mn=2.$
$\because$点$Q$恰好落在一次函数的图象上,
$\therefore -n=-m-3$,即$n=m+3,\therefore m(m+3)=2,\therefore m^2+3m=2,$
$\therefore m^2+n^2=m^2+(m+3)^2=2m^2+6m+9=2(m^2+3m)+9=2×2+9=13.$
(3)如答图,过点$M$作$MG⊥ x$轴于点$G$,过点$N$作$NH⊥ x$轴于点$H.$
$\because M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$在第一象限图象上的两点,
$\therefore S_{△ MOG}=S_{△ NOH}=\frac{1}{2}|k|=1.$
$\because x_2-x_1=2,y_1+y_2=3,$
$\therefore S_{△ MON}=S_{梯形MNHG}+S_{△ MOG}-S_{△ NOH}=S_{梯形MNHG}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)=\frac{1}{2}×3×2=3.$
解析
【分析】
(1) 要确定一次函数的表达式，需要先得到一次函数上两个点的坐标。已知A、B是反比例函数和一次函数的交点，将点A的横坐标-1、点B的纵坐标-1分别代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，即可求出A点的纵坐标和B点的横坐标，得到A、B的完整坐标，再代入一次函数的一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数表达式。
(2) 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此可得Q点坐标为$(m,-n)$。点P在反比例函数图象上，满足$mn=2$；点Q在一次函数图象上，将坐标代入一次函数表达式可得到m和n的等量关系，再将$m^2+n^2$变形为含上述等量关系的形式，整体代入即可计算出结果。
(3) 直接求$△ MON$的面积不好计算，可采用割补法转化：过M、N分别作x轴的垂线，根据反比例函数k的几何意义，$△ MOG$和$△ NOH$的面积相等，因此$△ MON$的面积等于梯形MNHG的面积，再代入已知的$x_2-x_1=2$和$y_1+y_2=3$，用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象和一次函数的图象交于$A,B$两点，点$A$的横坐标是$-1$，点$B$的纵坐标是$-1$，
$\therefore$将$x=-1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=-2$，即$A(-1,-2)$；将$y=-1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$x=-2$，即$B(-2,-1)$。
设一次函数的表达式为$y=kx+b$，
把$(-1,-2),(-2,-1)$代入，得
$\begin{cases} -k+b=-2, \\ -2k+b=-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x-3$。
(2) $\because$点$P(m,n)$与点$Q$关于$x$轴对称，$\therefore Q(m,-n)$。
$\because$点$P(m,n)$在反比例函数的图象上，$\therefore mn=2$。
$\because$点$Q$恰好落在一次函数的图象上，
$\therefore -n=-m-3$，即$n=m+3$，
$\therefore m(m+3)=2$，整理得$m^2+3m=2$，
$\therefore m^2+n^2=m^2+(m+3)^2=2m^2+6m+9=2(m^2+3m)+9=2×2+9=13$。
(3) 过点$M$作$MG⊥ x$轴于点$G$，过点$N$作$NH⊥ x$轴于点$H$，如图：
$\because M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$在第一象限图象上的两点，
$\therefore S_{△ MOG}=S_{△ NOH}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$。
$\because x_2-x_1=2,y_1+y_2=3$，
$\therefore S_{△ MON}=S_{梯形MNHG}+S_{△ MOG}-S_{△ NOH}=S_{梯形MNHG}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) $y=-x-3$
(2) $13$
(3) $3$，辅助线如图：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题、轴对称的坐标性质、整体代入求值以及不规则图形面积的转化计算，要求学生熟练掌握函数的基础性质，能灵活运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.6
(1) 要确定一次函数的表达式，需要先得到一次函数上两个点的坐标。已知A、B是反比例函数和一次函数的交点，将点A的横坐标-1、点B的纵坐标-1分别代入反比例函数$y=\frac{2}{x}$，即可求出A点的纵坐标和B点的横坐标，得到A、B的完整坐标，再代入一次函数的一般式$y=kx+b$，解二元一次方程组即可求出k、b的值，得到一次函数表达式。
(2) 关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数，因此可得Q点坐标为$(m,-n)$。点P在反比例函数图象上，满足$mn=2$；点Q在一次函数图象上，将坐标代入一次函数表达式可得到m和n的等量关系，再将$m^2+n^2$变形为含上述等量关系的形式，整体代入即可计算出结果。
(3) 直接求$△ MON$的面积不好计算，可采用割补法转化：过M、N分别作x轴的垂线，根据反比例函数k的几何意义，$△ MOG$和$△ NOH$的面积相等，因此$△ MON$的面积等于梯形MNHG的面积，再代入已知的$x_2-x_1=2$和$y_1+y_2=3$，用梯形面积公式计算即可。
【解析】
(1) $\because$反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象和一次函数的图象交于$A,B$两点，点$A$的横坐标是$-1$，点$B$的纵坐标是$-1$，
$\therefore$将$x=-1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$y=-2$，即$A(-1,-2)$；将$y=-1$代入$y=\frac{2}{x}$，得$x=-2$，即$B(-2,-1)$。
设一次函数的表达式为$y=kx+b$，
把$(-1,-2),(-2,-1)$代入，得
$\begin{cases} -k+b=-2, \\ -2k+b=-1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=-1, \\ b=-3. \end{cases}$
$\therefore$一次函数的表达式为$y=-x-3$。
(2) $\because$点$P(m,n)$与点$Q$关于$x$轴对称，$\therefore Q(m,-n)$。
$\because$点$P(m,n)$在反比例函数的图象上，$\therefore mn=2$。
$\because$点$Q$恰好落在一次函数的图象上，
$\therefore -n=-m-3$，即$n=m+3$，
$\therefore m(m+3)=2$，整理得$m^2+3m=2$，
$\therefore m^2+n^2=m^2+(m+3)^2=2m^2+6m+9=2(m^2+3m)+9=2×2+9=13$。
(3) 过点$M$作$MG⊥ x$轴于点$G$，过点$N$作$NH⊥ x$轴于点$H$，如图：
$\because M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$在第一象限图象上的两点，
$\therefore S_{△ MOG}=S_{△ NOH}=\frac{1}{2}|k|=\frac{1}{2}×2=1$。
$\because x_2-x_1=2,y_1+y_2=3$，
$\therefore S_{△ MON}=S_{梯形MNHG}+S_{△ MOG}-S_{△ NOH}=S_{梯形MNHG}=\frac{1}{2}(y_1+y_2)(x_2-x_1)=\frac{1}{2}×3×2=3$。
【答案】
(1) $y=-x-3$
(2) $13$
(3) $3$，辅助线如图：
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 反比例函数的性质
3. 割补法求面积
【点评】
本题属于函数综合题，考查了一次函数与反比例函数的交点问题、轴对称的坐标性质、整体代入求值以及不规则图形面积的转化计算，要求学生熟练掌握函数的基础性质，能灵活运用转化思想简化计算。
【难度系数】
0.6
