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6.如图是由小正方形组成的网格图，每个小正方形的顶点叫作格点.在△ABC中，A，B，C三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格图中按要求完成作图，保留作图痕迹，不写作法.
(1)在图①上，利用网格图，过点C作圆的切线；
(2)在图②的圆上找一点D，使得∠ADC=∠BCD.
(1)在图①上，利用网格图，过点C作圆的切线；
(2)在图②的圆上找一点D，使得∠ADC=∠BCD.
答案
6.解:(1)如答图①,直线PC即为所求.
(2)如答图②,点D即为所求.
解析
【分析】
(1)要过点C作圆的切线，依据切线的判定定理，需先确定圆的圆心，再作过C且与半径垂直的直线即可。首先利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，找到圆的两条直径，交点即为圆心O；连接OC后，结合网格的格点特征，找到过C且与OC垂直的直线，即为所求切线。
(2)要使∠ADC=∠BCD，首先根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ADC=∠ABC，因此只需满足∠BCD=∠ABC即可，此时可推出AB//CD（内错角相等，两直线平行）。所以只需过点C作AB的平行线，该直线与圆的另一个交点即为点D。
【解析】
(1) 首先在圆中选取两个90°的圆周角，连接对应的弦得到两条直径，两条直径的交点即为圆心O；连接OC，根据网格线段的斜率特征，过点C作直线PC垂直于OC，直线PC满足切线判定条件：过半径OC的外端C，且与OC垂直，因此PC就是所求的切线。
(2) 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC=∠ADC，因此要使∠ADC=∠BCD，只需∠ABC=∠BCD，根据平行线的判定，此时AB//CD。过点C作AB的平行线，该直线与圆除C外的交点即为所求点D。
【答案】
(1) 如答图①,直线PC即为所求.
(2) 如答图②,点D即为所求.
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理；平行线的判定与性质
【点评】
本题是网格背景下的无刻度直尺作图题，结合了圆的基本性质与切线判定、平行线性质等知识点，要求学生能灵活运用几何性质，结合网格特点定位作图关键点，能有效考查学生的几何直观和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
(1)要过点C作圆的切线，依据切线的判定定理，需先确定圆的圆心，再作过C且与半径垂直的直线即可。首先利用“90°的圆周角所对的弦是直径”，找到圆的两条直径，交点即为圆心O；连接OC后，结合网格的格点特征，找到过C且与OC垂直的直线，即为所求切线。
(2)要使∠ADC=∠BCD，首先根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ADC=∠ABC，因此只需满足∠BCD=∠ABC即可，此时可推出AB//CD（内错角相等，两直线平行）。所以只需过点C作AB的平行线，该直线与圆的另一个交点即为点D。
【解析】
(1) 首先在圆中选取两个90°的圆周角，连接对应的弦得到两条直径，两条直径的交点即为圆心O；连接OC，根据网格线段的斜率特征，过点C作直线PC垂直于OC，直线PC满足切线判定条件：过半径OC的外端C，且与OC垂直，因此PC就是所求的切线。
(2) 根据圆周角定理，同弧AC所对的圆周角∠ABC=∠ADC，因此要使∠ADC=∠BCD，只需∠ABC=∠BCD，根据平行线的判定，此时AB//CD。过点C作AB的平行线，该直线与圆除C外的交点即为所求点D。
【答案】
(1) 如答图①,直线PC即为所求.
(2) 如答图②,点D即为所求.
【知识点】
切线的判定定理；圆周角定理；平行线的判定与性质
【点评】
本题是网格背景下的无刻度直尺作图题，结合了圆的基本性质与切线判定、平行线性质等知识点，要求学生能灵活运用几何性质，结合网格特点定位作图关键点，能有效考查学生的几何直观和知识应用能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，$△ ABC$为等腰三角形，$AB=AC$，$O$是底边$BC$的中点，$\odot O$与腰$AB$相切于点$D$.
(1)求证:$AC$与$\odot O$相切；
(2)已知$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$，$BC=4$，求阴影部分的面积.
(1)求证:$AC$与$\odot O$相切；
(2)已知$\odot O$的半径为$\sqrt{3}$，$BC=4$，求阴影部分的面积.
答案
7.(1)证明:如答图,连接OA,OD,过点O作OF⊥AC,垂足为F.
∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB.
∵AB=AC,O是BC的中点,
∴∠OAD=∠OAF.
∵∠ODA=∠OFA,OA=OA,
∴△OAD≌△OAF(AAS),
∴OD=OF,
即点O到AC的距离等于半径,
∴AC与⊙O相切.
(2)解:
∵O是BC的中点,BC=4,
∴OB=OC=2.
在Rt△BOD中,OB=2,OD=√3,
∴∠BOD=30°,同理∠COF=30°,
∴∠DOF=180°-30°-30°=120°.
在Rt△AOD中,OD=√3,∠AOD=60°,
∴AD=√3 OD=3,
∴S阴影部分 = S四边形ODAF - S扇形ODF = 2 × 1/2 × 3 × √3 - 120π×(√3)²/360 = 3√3 - π.
解析
【分析】
(1) 要证明AC与$\odot O$相切，可采用“作垂直、证半径”的切线判定思路：已知AB是$\odot O$的切线可得$OD⊥ AB$，结合等腰三角形三线合一的性质，可知AO平分$∠ BAC$，通过证明$△ OAD≌△ OAF$，即可推出O到AC的垂线段OF等于半径OD，从而得证。
(2) 阴影部分为不规则图形，可转化为规则图形面积的差计算：即四边形ODAF的面积减去扇形ODF的面积。先根据已知条件求出OB的长度，在$Rt△ BOD$中算出$∠ BOD$的度数，进而得到扇形的圆心角$∠ DOF$，再求出AD的长度，分别计算四边形和扇形的面积后作差即可。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接OA、OD，过点O作$OF⊥ AC$，垂足为F。
∵AB与$\odot O$相切于点D，
∴$OD⊥ AB$。
∵$AB=AC$，O是BC的中点，
∴AO平分$∠ BAC$，即$∠ OAD=∠ OAF$。
在$△ OAD$和$△ OAF$中：
$\begin{cases}∠ ODA=∠ OFA=90°\\∠ OAD=∠ OAF\\OA=OA\end{cases}$
∴$△ OAD≌△ OAF(\mathrm{AAS})$，
∴$OD=OF$，即点O到AC的距离等于$\odot O$的半径，
∴AC与$\odot O$相切。
(2) 解：
∵O是BC的中点，$BC=4$，
∴$OB=OC=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt△ BOD$中，$OB=2$，$OD=\sqrt{3}$，
∴$\cos∠ BOD=\frac{OD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$∠ BOD=30°$，同理可得$∠ COF=30°$，
∴$∠ DOF=180°-∠ BOD-∠ COF=180°-30°-30°=120°$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ AOD=90°-∠ BOD=60°$，$OD=\sqrt{3}$，
∴$AD=OD·\tan60°=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。
由$△ OAD≌△ OAF$得$S_{△ OAD}=S_{△ OAF}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ODAF}=2S_{△ OAD}=2×\frac{1}{2}× AD× OD=3\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODF}=\frac{120π×(\sqrt{3})^2}{360}=π$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}ODAF}-S_{\mathrm{扇形}ODF}=3\sqrt{3}-π$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 阴影部分的面积为$3\sqrt{3}-π$。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何证明和不规则面积计算，解题的核心是掌握切线的两种判定方法，以及将不规则图形面积转化为规则图形面积和差的思路，同时需要熟练运用全等三角形、三角函数的相关性质求解边长和角度。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明AC与$\odot O$相切，可采用“作垂直、证半径”的切线判定思路：已知AB是$\odot O$的切线可得$OD⊥ AB$，结合等腰三角形三线合一的性质，可知AO平分$∠ BAC$，通过证明$△ OAD≌△ OAF$，即可推出O到AC的垂线段OF等于半径OD，从而得证。
(2) 阴影部分为不规则图形，可转化为规则图形面积的差计算：即四边形ODAF的面积减去扇形ODF的面积。先根据已知条件求出OB的长度，在$Rt△ BOD$中算出$∠ BOD$的度数，进而得到扇形的圆心角$∠ DOF$，再求出AD的长度，分别计算四边形和扇形的面积后作差即可。
【解析】
(1) 证明：如答图，连接OA、OD，过点O作$OF⊥ AC$，垂足为F。
∵AB与$\odot O$相切于点D，
∴$OD⊥ AB$。
∵$AB=AC$，O是BC的中点，
∴AO平分$∠ BAC$，即$∠ OAD=∠ OAF$。
在$△ OAD$和$△ OAF$中：
$\begin{cases}∠ ODA=∠ OFA=90°\\∠ OAD=∠ OAF\\OA=OA\end{cases}$
∴$△ OAD≌△ OAF(\mathrm{AAS})$，
∴$OD=OF$，即点O到AC的距离等于$\odot O$的半径，
∴AC与$\odot O$相切。
(2) 解：
∵O是BC的中点，$BC=4$，
∴$OB=OC=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt△ BOD$中，$OB=2$，$OD=\sqrt{3}$，
∴$\cos∠ BOD=\frac{OD}{OB}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$∠ BOD=30°$，同理可得$∠ COF=30°$，
∴$∠ DOF=180°-∠ BOD-∠ COF=180°-30°-30°=120°$。
在$Rt△ AOD$中，$∠ AOD=90°-∠ BOD=60°$，$OD=\sqrt{3}$，
∴$AD=OD·\tan60°=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。
由$△ OAD≌△ OAF$得$S_{△ OAD}=S_{△ OAF}$，
∴$S_{\mathrm{四边形}ODAF}=2S_{△ OAD}=2×\frac{1}{2}× AD× OD=3\sqrt{3}$，
$S_{\mathrm{扇形}ODF}=\frac{120π×(\sqrt{3})^2}{360}=π$，
∴$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{四边形}ODAF}-S_{\mathrm{扇形}ODF}=3\sqrt{3}-π$。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) 阴影部分的面积为$3\sqrt{3}-π$。
【知识点】
切线的判定与性质；等腰三角形的性质；扇形面积计算
【点评】
本题综合考查了几何证明和不规则面积计算，解题的核心是掌握切线的两种判定方法，以及将不规则图形面积转化为规则图形面积和差的思路，同时需要熟练运用全等三角形、三角函数的相关性质求解边长和角度。
【难度系数】
0.65
8.(2025·徐州沛县一模)如图,在矩形ABCD中,⊙O经过点A,且与边BC相切于点M,⊙O过CD边上的点N,且CM=CN.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若BE=2,AE=6,求BC的长.
(1)求证:CD与⊙O相切;
(2)若BE=2,AE=6,求BC的长.
答案
8.(1)证明:如答图,连接OM,ON,MN.
∵CM=CN,OM=ON,
∴∠CMN=∠CNM,∠OMN=∠ONM.
∵⊙O与BC相切于点M,
∴OM⊥BC,
∴∠OMC=∠OMN+∠CMN=90°,
∴∠ONC=∠ONM+∠CNM=90°,
∴ON⊥CD.
又ON是⊙O的半径,
∴CD与⊙O相切.
(2)解:如答图,过点O作OG⊥AB于点G,连接OE,
∴GE=1/2 AE=3,
∴BG=BE+GE=5.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=∠C=90°,
又
∵OM⊥BC,
∴四边形OGBM是矩形,
∴BM=OG,OM=BG=5=OE=ON,
∴OG=√(OE²-EG²)=4,
∴BM=4.
∵∠C=90°,OM⊥BC,ON⊥CD,
∴四边形OMCN是矩形,
∴MC=ON=5,
∴BC=BM+CM=9.
解析
【分析】
(1)要证明CD与⊙O相切，根据切线判定定理，需证明ON⊥CD且ON为⊙O的半径。先连接OM、ON、MN，结合⊙O与BC相切得OM⊥BC，再利用CM=CN、OM=ON的等边对等角性质，推导∠ONC=90°即可完成证明。
(2)求BC的长可将其拆分为BM+MC分别计算：过O作OG⊥AB，由垂径定理求出GE长度，进而得到BG长度；结合矩形判定可证四边形OGBM、OMCN均为矩形，利用勾股定理求出OG即BM的长度，再由矩形对边相等得MC长度，相加即可得BC的长。
【解析】
(1)证明：如答图，连接OM，ON，MN。
∵CM=CN，OM=ON，
∴∠CMN=∠CNM，∠OMN=∠ONM。
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=∠OMN+∠CMN=90°，
∴∠ONC=∠ONM+∠CNM=90°，
∴ON⊥CD。
又
∵ON是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切。
(2)解：如答图，过点O作OG⊥AB于点G，连接OE。
由垂径定理可得：$GE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$BG=BE+GE=2+3=5$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=∠ C=90°$，
又
∵OM⊥BC，OG⊥AB，
∴四边形OGBM是矩形，
∴$BM=OG$，$OM=BG=5$。
∵OE、ON均为⊙O的半径，
∴$OE=ON=OM=5$。
在$Rt△ OGE$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$BM=4$。
∵$∠ C=90°$，OM⊥BC，ON⊥CD，
∴四边形OMCN是矩形，
∴$MC=ON=5$，
∴$BC=BM+CM=4+5=9$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$BC=9$。
【知识点】
切线的判定与性质；垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的综合题，解题核心是正确添加辅助线，将圆的性质和矩形的性质结合转化线段、角度关系，能够很好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65
(1)要证明CD与⊙O相切，根据切线判定定理，需证明ON⊥CD且ON为⊙O的半径。先连接OM、ON、MN，结合⊙O与BC相切得OM⊥BC，再利用CM=CN、OM=ON的等边对等角性质，推导∠ONC=90°即可完成证明。
(2)求BC的长可将其拆分为BM+MC分别计算：过O作OG⊥AB，由垂径定理求出GE长度，进而得到BG长度；结合矩形判定可证四边形OGBM、OMCN均为矩形，利用勾股定理求出OG即BM的长度，再由矩形对边相等得MC长度，相加即可得BC的长。
【解析】
(1)证明：如答图，连接OM，ON，MN。
∵CM=CN，OM=ON，
∴∠CMN=∠CNM，∠OMN=∠ONM。
∵⊙O与BC相切于点M，
∴OM⊥BC，
∴∠OMC=∠OMN+∠CMN=90°，
∴∠ONC=∠ONM+∠CNM=90°，
∴ON⊥CD。
又
∵ON是⊙O的半径，
∴CD与⊙O相切。
(2)解：如答图，过点O作OG⊥AB于点G，连接OE。
由垂径定理可得：$GE=\frac{1}{2}AE=\frac{1}{2}×6=3$，
∴$BG=BE+GE=2+3=5$。
∵四边形ABCD是矩形，
∴$∠ B=∠ C=90°$，
又
∵OM⊥BC，OG⊥AB，
∴四边形OGBM是矩形，
∴$BM=OG$，$OM=BG=5$。
∵OE、ON均为⊙O的半径，
∴$OE=ON=OM=5$。
在$Rt△ OGE$中，由勾股定理得：
$OG=\sqrt{OE^2-EG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
∴$BM=4$。
∵$∠ C=90°$，OM⊥BC，ON⊥CD，
∴四边形OMCN是矩形，
∴$MC=ON=5$，
∴$BC=BM+CM=4+5=9$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)$BC=9$。
【知识点】
切线的判定与性质；垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题属于圆与特殊四边形结合的综合题，解题核心是正确添加辅助线，将圆的性质和矩形的性质结合转化线段、角度关系，能够很好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.65
