初中数学 八年级
8.「2026江苏苏州工业园区期末，★☆」如图，一根电线杆在离地面12米处各用15米长的铁丝向两侧地面拉线固定，则两个固定点之间的距离是。

8.答案 18米
解析 如图,由题意得$AD⊥ BC$于点D,$AD=12$米,$AB=AC=15$米,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADC=90°$,在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,$BD^2=AB^2-AD^2=15^2-12^2=81$,
$\therefore BD=9$米,同理可得$CD=9$米,
$\therefore BC=18$米.故两个固定点之间的距离为18米.

9.「2026江苏扬州江都期中，★☆」对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，若$AD=3$，$BC=5$，则$AB^2 + CD^2 =$。

9.答案 34
解析 $\because$四边形ABCD为“垂美”四边形,$\therefore BD⊥ AC$,
$\therefore ∠ AEB=∠ AED=∠ BEC=∠ DEC=90°$,在$\mathrm{Rt}△ AED$中,$AE^2+DE^2=AD^2=9$,在$\mathrm{Rt}△ BEC$中,$BE^2+CE^2=BC^2=25$,$\therefore AE^2+DE^2+BE^2+CE^2=9+25=34$,在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$AB^2=AE^2+BE^2$,在$\mathrm{Rt}△ CED$中,$CD^2=CE^2+DE^2$,
$\therefore AB^2+CD^2=AE^2+DE^2+BE^2+CE^2=9+25=34$.

10.「2026福建龙岩上杭期中，★☆」如图，等边$△ ABC$的边长为4，AD为BC边上的高，点P为AD上一动点，E为AB边的中点，则$BP+EP$的最小值为。

10.答案 $\sqrt{12}$
解析 如图,连接CP,CE,
$\because$等边$△ ABC$的边长为4,AD为BC边上的高,$\therefore AB=BC=4$,$AD⊥ BC$,$BD=CD$,$\therefore AD$垂直平分BC,$\therefore CP=BP$,
$\therefore BP+EP=CP+EP$,
根据“两点之间,线段最短”可知,当C,P,E三点共线时$BP+EP$的值最小,为CE的长度,
$\because E$为AB边的中点,$\therefore CE⊥ AB$,$BE=\frac{1}{2}AB=2$,
$\therefore CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{12}$,$\therefore BP+EP$的最小值为$\sqrt{12}$.

11.「2026 江苏盐城东台期中，★☆」定义:我们把三角形某边上的中点到这条边上的高的距离称为三角形某边的“中偏度值”.
(1)如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°, AC=4$, $BC=3$,求 $△ ABC$ 的 $AB$ 边的“中偏度值”.
(2)在 $△ ABC$ 中, $AC=13, AB=15, BC$ 边上的高 $AD=12$,求 $△ ABC$ 中 $BC$ 边的“中偏度值”.

11.解析 (1)如图,作$\mathrm{Rt}△ ABC$的AB边上的中线CE和高CD,$\because ∠ ACB=90°$,$AC=4$,$BC=3$,
$\therefore AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$,
$\because \frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CD$,
$\therefore \frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$,
$\therefore CD=\frac{12}{5}$,$\therefore BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$,
$\because CE$为$\mathrm{Rt}△ ABC$斜边AB上的中线,$AB=5$,
$\therefore BE=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$,$\therefore ED=BE-BD=\frac{5}{2}-\frac{9}{5}=\frac{7}{10}$,
$\therefore △ ABC$的AB边的“中偏度值”为$\frac{7}{10}$.
(2)①当高AD在$△ ABC$内部时,
作$△ ABC$的BC边上的中线AE,如图,$\because AD⊥ BC$,$AD=12$,$AC=13$,$AB=15$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,
$\therefore BC=BD+CD=14$,
$\because AE$为$△ ABC$的BC边上的中线,
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=7$,$\therefore ED=CE-CD=7-5=2$,
$\therefore △ ABC$的BC边的“中偏度值”为2；
②当高AD在$△ ABC$外部时,
作$△ ABC$的BC边上的中线AE,如图,
$\because AD⊥ BC$,$AD=12$,$AC=13$,$AB=15$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{13^2-12^2}=5$,
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{15^2-12^2}=9$,
$\therefore BC=BD-CD=4$,
$\because AE$为$△ ABC$的BC边上的中线,
$\therefore CE=\frac{1}{2}BC=2$,$\therefore ED=CE+CD=2+5=7$,
$\therefore △ ABC$的BC边的“中偏度值”为7.
综上所述,$△ ABC$的BC边的“中偏度值”为2或7.

12. 核心 素养 推理能力 【观察】在直角三角形中,设直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$,那么$a^2+b^2=c^2$.对于一般的$△ ABC$,三边长分别为$BC=a,AC=b,AB=c$,且$c≥ b≥ a$,则边长的平方是否存在某种关系?
【实验操作】小组成员通过测量不同类型的三角形(锐角三角形,钝角三角形)三边的长度,计算它们的平方并进行比较,猜想锐角三角形三边长的平方之间的关系为$a^2+b^2＞c^2$;
【证明思路】为了将锐角三角形与我们熟悉的直角三角形联系起来,如图1,过点$A$作$AD⊥ CB$,垂足为$D$.这样就把锐角$△ ABC$分成了$Rt△ ADC$和$Rt△ ADB$,从而可以运用勾股定理进行边的关系推导……
(1)请你完成推导过程.
【知识迁移】
(2)如图2,当$△ ABC$是钝角三角形时,猜想三边长的平方之间的关系,并证明.

12.解析 (1)设$CD=x$,则$BD=a-x$,
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,由勾股定理得$AD^2=b^2-x^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中,由勾股定理得$AD^2=c^2-(a-x)^2$,
$\therefore b^2-x^2=c^2-(a-x)^2$,整理得$a^2+b^2=c^2+2ax$,
$\because a＞0$,$x＞0$,$\therefore 2ax＞0$,$\therefore a^2+b^2＞c^2$.
(2)$a^2+b^2＜c^2$.
证明:如图,过点A作$AE⊥ BC$,交BC的延长线于点E,设$CE=m$,则$BE=a+m$,
在$\mathrm{Rt}△ ACE$中,由勾股定理得$AE^2=b^2-m^2$,
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中,由勾股定理得$AE^2=c^2-(a+m)^2$,
$\therefore b^2-m^2=c^2-(a+m)^2$,整理得$a^2+b^2=c^2-2am$,
$\because a＞0$,$m＞0$,$\therefore 2am＞0$,$\therefore a^2+b^2＜c^2$.