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1.「2026江苏镇江丹徒期中」下列选项中(图中三角形都是直角三角形),不能用来验证勾股定理的是（
A
C
D
C
）A
C
D
答案
A.中间小正方形的面积$=c^{2}=(a+b)^{2}-4×\dfrac{1}{2}ab$,整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,可以证明勾股定理;B.梯形的面积$=\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)=2×\dfrac{1}{2}ab+\dfrac{1}{2}c^{2}$,整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,可以证明勾股定理;C.不能证明勾股定理;D.中间小正方形的面积$=(b-a)^{2}=c^{2}-4×\dfrac{1}{2}ab$,整理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$,可以证明勾股定理.故选C.
2. 情境 数学文化 发展史 「2026江苏扬州江都期中」如图所示的是我国数学家赵爽在《周髀算经》中给出的图案，人们称它为“赵爽弦图”.图中四个全等的直角三角形可以围成一个大正方形，直角三角形两直角边长分别为$a,b$，斜边长为$c$，中间的部分是一个小正方形.若大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，则$(a+b)^2$的值为
196
.答案
答案 196
解析 由题图可得,$a^{2}+b^{2}=c^{2}=100,(a-b)^{2}=4,\therefore a^{2}-2ab+b^{2}=4,\therefore 100-2ab=4$,
$\therefore 2ab=96,\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=100+96=196.$
解析 由题图可得,$a^{2}+b^{2}=c^{2}=100,(a-b)^{2}=4,\therefore a^{2}-2ab+b^{2}=4,\therefore 100-2ab=4$,
$\therefore 2ab=96,\therefore (a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab=100+96=196.$
3.「2026江苏南京鼓楼期中」“赵爽弦图”(图1)巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理.小鼓受此启发,探究后发现,若将4个直角边长分别为a,b,斜边长为c的直角三角形拼成如图2所示的五边形,小鼓用不同的方法表示了五边形的面积,从而证明了勾股定理,请完成小鼓的证明.
答案
用两种方法表示五边形的面积：
①$S_{\mathrm{五边形}}=c^{2}+\dfrac{1}{2}ab×2=c^{2}+ab$；
②$S_{\mathrm{五边形}}=a^{2}+b^{2}+\dfrac{1}{2}ab×2=a^{2}+b^{2}+ab.$
$\therefore c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab,\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}.$
①$S_{\mathrm{五边形}}=c^{2}+\dfrac{1}{2}ab×2=c^{2}+ab$；
②$S_{\mathrm{五边形}}=a^{2}+b^{2}+\dfrac{1}{2}ab×2=a^{2}+b^{2}+ab.$
$\therefore c^{2}+ab=a^{2}+b^{2}+ab,\therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}.$
4.「2026 江苏无锡滨湖月考，★☆」意大利著名画家达·芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理.若设
中空白部分的面积为$S_1$，中空白部分的面积为$S_2$，则下列等式成立的是（
A.$S_2 = c^2$
B.$S_2 = c^2 + \frac{1}{2}ab$
C.$S_1 = a^2 + b^2 + ab$
D.$S_1 = a^2 + b^2 + 2ab$
中空白部分的面积为$S_1$，中空白部分的面积为$S_2$，则下列等式成立的是（C
）A.$S_2 = c^2$
B.$S_2 = c^2 + \frac{1}{2}ab$
C.$S_1 = a^2 + b^2 + ab$
D.$S_1 = a^2 + b^2 + 2ab$
答案
由题图可得,$S_{2}=S_{1},S_{1}=a^{2}+b^{2}+\dfrac{1}{2}ab×2=a^{2}+b^{2}+ab,S_{2}=c^{2}+\dfrac{1}{2}ab×2=c^{2}+ab,\therefore$ 只有 C 选项中的等式成立.故选 C.
5.「2025江苏苏州姑苏期中，★☆」如图，E为AC上一点，AC⊥BC，AC⊥AD，AB=DE，AB，DE交于点F，且AB⊥DE.
(1)判断线段BC，DA，CE之间的数量关系，并说明理由.
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理.
(1)判断线段BC，DA，CE之间的数量关系，并说明理由.
(2)连接BD，BE，若设BC=a，AC=b，AB=c，利用此图证明勾股定理.
答案
(1)$DA=CE+BC$.理由:如图
,$\because AC ⊥ BC,AC ⊥ AD$,
$\therefore ∠ ACB=∠ DAE=90°$,
$\because AB ⊥ DE,\therefore ∠ DFA=90°$,
$\therefore ∠ 1+∠ 2=90°=∠ 3+∠ 2$,
$\therefore ∠ 1=∠ 3$.
在$△ ABC$和$△ DEA$中,$\begin{cases}∠ ACB=∠ DAE,\\∠ 1=∠ 3,\\AB=DE,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ DEA(\mathrm{AAS}),\therefore AC=DA,BC=EA$.
$\because AC=CE+EA,\therefore DA=CE+BC$.
(2)由(1)得$△ ABC≌△ DEA(\mathrm{AAS})$,
$\therefore AE=BC=a,DE=AB=c,DA=AC=b$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ADBE}=S_{△ ADE}+S_{△ BDE}=\dfrac{1}{2}DE· AF+\dfrac{1}{2}DE· BF=\dfrac{1}{2}DE· AB=\dfrac{1}{2}c^{2},S_{\mathrm{四边形}ADBE}=S_{△ ABE}+S_{△ ABD}=\dfrac{1}{2}AE· BC+\dfrac{1}{2}DA· AC=\dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}$,
$\therefore \dfrac{1}{2}a^{2}+\dfrac{1}{2}b^{2}=\dfrac{1}{2}c^{2},\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}.$
