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1. 将$a^3b - ab^3$分解因式正确的是(
A.$ab(a^2 - b^2)$
B.$a(a^2b - b^3)$
C.$ab(a+b)(a-b)$
D.$ab(a - b)^2$
C
)A.$ab(a^2 - b^2)$
B.$a(a^2b - b^3)$
C.$ab(a+b)(a-b)$
D.$ab(a - b)^2$
答案
1. C
解析
【分析】
解决因式分解类题目要遵循固定步骤：首先提取多项式的公因式，之后检查提取公因式后剩余的部分是否能套用公式继续分解，且分解要进行到每一个因式都无法再分解为止。本题先找到多项式的公因式提取后，再判断剩余部分符合平方差公式的特征，继续分解后对应选项选择即可。
【解析】
对多项式$a^3b - ab^3$分解因式：
1. 提取公因式：观察多项式的两项，均含有公因式$ab$，提取后可得：
$a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2)$
2. 继续分解剩余部分：$a^2 - b^2$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，代入公式得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
因此原式分解彻底的结果为$ab(a+b)(a-b)$。
对选项逐一判断：A选项未分解彻底，B选项未提取完公因式，D选项混淆了平方差公式和完全平方公式，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，易错点在于分解不彻底误选A，或是混淆乘法公式误选D，牢记因式分解“先提公因式、再套公式、分解彻底”的原则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目要遵循固定步骤：首先提取多项式的公因式，之后检查提取公因式后剩余的部分是否能套用公式继续分解，且分解要进行到每一个因式都无法再分解为止。本题先找到多项式的公因式提取后，再判断剩余部分符合平方差公式的特征，继续分解后对应选项选择即可。
【解析】
对多项式$a^3b - ab^3$分解因式：
1. 提取公因式：观察多项式的两项，均含有公因式$ab$，提取后可得：
$a^3b - ab^3 = ab(a^2 - b^2)$
2. 继续分解剩余部分：$a^2 - b^2$符合平方差公式$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$的形式，代入公式得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
因此原式分解彻底的结果为$ab(a+b)(a-b)$。
对选项逐一判断：A选项未分解彻底，B选项未提取完公因式，D选项混淆了平方差公式和完全平方公式，只有C选项正确。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基础应用，易错点在于分解不彻底误选A，或是混淆乘法公式误选D，牢记因式分解“先提公因式、再套公式、分解彻底”的原则即可正确求解。
【难度系数】
0.8
2. 如图，小颖利用两种不同的方法计算图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是(
A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
C.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$
B
)A.$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)(a + b)$
B.$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
C.$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
D.$2a^2 + 3ab + b^2 = (2a + b)(a + b)$
答案
2. B
解析
【分析】
这是一道利用数形结合、面积法推导因式分解等式的题目，解题思路分三步：①先从整体出发，确定大长方形的长和宽，用整式乘法算出大长方形的总面积；②再从分割的局部出发，分别计算每个小图形的面积，求和得到总面积；③因为两种方法计算的是同一个图形的面积，结果相等，联立得到等式后匹配选项即可。
【解析】
步骤1：计算大长方形的整体面积
观察图形可得，大长方形的长为 $a + b + b = a + 2b$，宽为 $a + b$，因此整体面积为：
$S = (a + 2b)(a + b)$
步骤2：计算分割后各小图形的面积和
图形共分为5个小区域：1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、3个长为$b$宽为$a$的长方形（总面积$3ab$）、2个边长为$b$的正方形（总面积$2b^2$），因此面积和为：
$S = a^2 + 3ab + 2b^2$
步骤3：联立等式
因为两种方法计算的面积相等，可得等式：
$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的几何意义
2. 整式的乘法
3. 面积法的应用
【点评】
本题属于数形结合的基础题型，通过面积的两种计算方式推导因式分解等式，既考查了整式运算的相关知识，也能帮助学生理解因式分解的直观几何含义，解题核心是准确计算整体和局部的面积。
【难度系数】
0.7
这是一道利用数形结合、面积法推导因式分解等式的题目，解题思路分三步：①先从整体出发，确定大长方形的长和宽，用整式乘法算出大长方形的总面积；②再从分割的局部出发，分别计算每个小图形的面积，求和得到总面积；③因为两种方法计算的是同一个图形的面积，结果相等，联立得到等式后匹配选项即可。
【解析】
步骤1：计算大长方形的整体面积
观察图形可得，大长方形的长为 $a + b + b = a + 2b$，宽为 $a + b$，因此整体面积为：
$S = (a + 2b)(a + b)$
步骤2：计算分割后各小图形的面积和
图形共分为5个小区域：1个边长为$a$的正方形（面积$a^2$）、3个长为$b$宽为$a$的长方形（总面积$3ab$）、2个边长为$b$的正方形（总面积$2b^2$），因此面积和为：
$S = a^2 + 3ab + 2b^2$
步骤3：联立等式
因为两种方法计算的面积相等，可得等式：
$a^2 + 3ab + 2b^2 = (a + 2b)(a + b)$
对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 因式分解的几何意义
2. 整式的乘法
3. 面积法的应用
【点评】
本题属于数形结合的基础题型，通过面积的两种计算方式推导因式分解等式，既考查了整式运算的相关知识，也能帮助学生理解因式分解的直观几何含义，解题核心是准确计算整体和局部的面积。
【难度系数】
0.7
3. 如图,长、宽分别为$a,b$的长方形的周长为16,面积为12,则$a^2b+ab^2$的值为(
A.80
B.96
C.192
D.240
B
)A.80
B.96
C.192
D.240
答案
3. B
解析
【分析】
要计算代数式$a^2b+ab^2$的值，首先观察代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再结合长方形的周长和面积公式，分别求出$a+b$与$ab$的数值；最后将两个值整体代入分解后的式子计算，即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
1. 对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
2. 根据长方形周长公式计算$a+b$：
已知长方形周长为16，周长$=2(a+b)=16$，解得$a+b = 16÷2 = 8$
3. 根据长方形面积公式得$ab$：
已知长方形面积为12，即$ab=12$
4. 整体代入计算：
将$ab=12$，$a+b=8$代入$ab(a+b)$，得$12×8=96$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题将整式运算与几何图形的性质相结合，考查了因式分解的实际应用，核心是运用整体代入的思想简化计算过程，避免求解$a$、$b$的具体值，降低计算量。
【难度系数】
0.8
要计算代数式$a^2b+ab^2$的值，首先观察代数式的结构，可先通过提公因式法对其因式分解，将其转化为含$a+b$和$ab$的形式；再结合长方形的周长和面积公式，分别求出$a+b$与$ab$的数值；最后将两个值整体代入分解后的式子计算，即可得到结果，无需单独求解$a$、$b$的具体值。
【解析】
1. 对所求代数式因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab(a + b)$
2. 根据长方形周长公式计算$a+b$：
已知长方形周长为16，周长$=2(a+b)=16$，解得$a+b = 16÷2 = 8$
3. 根据长方形面积公式得$ab$：
已知长方形面积为12，即$ab=12$
4. 整体代入计算：
将$ab=12$，$a+b=8$代入$ab(a+b)$，得$12×8=96$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；长方形周长与面积计算；整体代入求值
【点评】
本题将整式运算与几何图形的性质相结合，考查了因式分解的实际应用，核心是运用整体代入的思想简化计算过程，避免求解$a$、$b$的具体值，降低计算量。
【难度系数】
0.8
4. 将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成9块,其中有2块是边长为a的大正方形,2块是边长为b的小正方形,5块是完全相同的小长方形,且$a＞b$.观察图形,可以发现式子$2a^2+5ab+2b^2$因式分解的结果为(
A.$(a+b)(a+2b)$
B.$(a+b)(2a+b)$
C.$(a+2b)(2a+b)$
D.$2(a+b)^2$
C
)A.$(a+b)(a+2b)$
B.$(a+b)(2a+b)$
C.$(a+2b)(2a+b)$
D.$2(a+b)^2$
答案
4. C
解析
【分析】
这道题可以用两种思路求解：思路1是面积法，代数式$2a^2+5ab+2b^2$对应图中整个大长方形的面积（2块边长为$a$的大正方形面积+2块边长为$b$的小正方形面积+5块小长方形面积），因式分解的本质就是把这个面积表示为大长方形“长×宽”的形式，只要先求出大长方形的长和宽，就能得到因式分解的结果；思路2是用十字相乘法直接对二次三项式因式分解，验证结果和选项匹配即可。
【解析】
方法一（面积法）：
观察图形可得，大长方形的长为$a + 2b$，宽为$2a + b$。
因为大长方形的面积等于所有裁剪块的面积之和，即$2a^2 + 5ab + 2b^2$，同时大长方形面积也等于长×宽，因此：
$2a^2 + 5ab + 2b^2 = (a + 2b)(2a + b)$。
方法二（十字相乘法）：
对$2a^2 + 5ab + 2b^2$进行十字相乘：
将二次项系数2拆分为$2×1$，常数项$2b^2$拆分为$b×2b$，交叉验证：$2a×2b + a× b = 5ab$，符合一次项系数，因此分解结果为$(2a + b)(a + 2b)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的实际应用、十字相乘法因式分解、整式乘法
【点评】
这道题将因式分解和几何图形面积结合，既可以用代数方法直接分解，也可以通过几何意义推导，考查了数形结合的思想，需要同学们理解因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.7
这道题可以用两种思路求解：思路1是面积法，代数式$2a^2+5ab+2b^2$对应图中整个大长方形的面积（2块边长为$a$的大正方形面积+2块边长为$b$的小正方形面积+5块小长方形面积），因式分解的本质就是把这个面积表示为大长方形“长×宽”的形式，只要先求出大长方形的长和宽，就能得到因式分解的结果；思路2是用十字相乘法直接对二次三项式因式分解，验证结果和选项匹配即可。
【解析】
方法一（面积法）：
观察图形可得，大长方形的长为$a + 2b$，宽为$2a + b$。
因为大长方形的面积等于所有裁剪块的面积之和，即$2a^2 + 5ab + 2b^2$，同时大长方形面积也等于长×宽，因此：
$2a^2 + 5ab + 2b^2 = (a + 2b)(2a + b)$。
方法二（十字相乘法）：
对$2a^2 + 5ab + 2b^2$进行十字相乘：
将二次项系数2拆分为$2×1$，常数项$2b^2$拆分为$b×2b$，交叉验证：$2a×2b + a× b = 5ab$，符合一次项系数，因此分解结果为$(2a + b)(a + 2b)$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
因式分解的实际应用、十字相乘法因式分解、整式乘法
【点评】
这道题将因式分解和几何图形面积结合，既可以用代数方法直接分解，也可以通过几何意义推导，考查了数形结合的思想，需要同学们理解因式分解和整式乘法的互逆关系。
【难度系数】
0.7
5. 在日常生活中的很多时候我们都需要密码,有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便.原理是:对于多项式$x^4 - y^4$,因式分解的结果是$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$,若取$x=9,y=9$,则各个因式的值是$x - y=0,x + y=18,x^2 + y^2=162$,于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码.对于多项式$x^3 - xy^2$,如果取$x=52,y=28$,那么用上述方法产生的密码不可能是(
A.528024
B.522824
C.248052
D.522480
B
)A.528024
B.522824
C.248052
D.522480
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这道题，需按照题目给出的“因式分解法产生密码”的规则逐步推导：第一步先对给定的多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解，得到若干个因式；第二步将$x=52,y=28$代入各个因式，算出每个因式的值；第三步明确密码是这几个因式的值（均为两位数）任意排列组成的六位数，最后逐一核对选项，找出不符合要求的选项即可。
【解析】
1. 对多项式$x^3 - xy^2$因式分解：
先提取公因式$x$，可得：$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2)$
再利用平方差公式分解$x^2 - y^2$，最终分解结果为：$x^3 - xy^2 = x(x-y)(x+y)$
2. 代入$x=52,y=28$计算各因式的值：
$x=52$，$x-y=52-28=24$，$x+y=52+28=80$
即组成密码的三个两位数只能是52、24、80，密码是这三个数的任意顺序排列。
3. 核对选项：
A选项由52、80、24组成，符合要求；B选项出现了28，缺少80，不符合要求；C选项由24、80、52组成，符合要求；D选项由52、24、80组成，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题将因式分解知识与生活中的密码设置相结合，形式新颖，既考查了因式分解的基本操作步骤，又考查了信息提取和知识灵活应用的能力，解题核心是正确分解多项式并得到所有组成密码的数字段。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需按照题目给出的“因式分解法产生密码”的规则逐步推导：第一步先对给定的多项式$x^3 - xy^2$进行因式分解，得到若干个因式；第二步将$x=52,y=28$代入各个因式，算出每个因式的值；第三步明确密码是这几个因式的值（均为两位数）任意排列组成的六位数，最后逐一核对选项，找出不符合要求的选项即可。
【解析】
1. 对多项式$x^3 - xy^2$因式分解：
先提取公因式$x$，可得：$x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2)$
再利用平方差公式分解$x^2 - y^2$，最终分解结果为：$x^3 - xy^2 = x(x-y)(x+y)$
2. 代入$x=52,y=28$计算各因式的值：
$x=52$，$x-y=52-28=24$，$x+y=52+28=80$
即组成密码的三个两位数只能是52、24、80，密码是这三个数的任意顺序排列。
3. 核对选项：
A选项由52、80、24组成，符合要求；B选项出现了28，缺少80，不符合要求；C选项由24、80、52组成，符合要求；D选项由52、24、80组成，符合要求。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，代数式求值
【点评】
本题将因式分解知识与生活中的密码设置相结合，形式新颖，既考查了因式分解的基本操作步骤，又考查了信息提取和知识灵活应用的能力，解题核心是正确分解多项式并得到所有组成密码的数字段。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 分解因式:$4a^{3}-4a=$
1. 分解因式:$4a^{3}-4a=$
4a(a-1)(a+1)
.答案
1. 4a(a-1)(a+1)
解析
【分析】
解决因式分解类题目要遵循固定的思考顺序：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中两项$4a^3$和$-4a$的公因式为$4a$，首先提取公因式；第二步观察提取公因式后得到的$a^2-1$，其符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），可继续用平方差公式分解；最后要检查所有因式是否都不能再分解，确保结果正确。
【解析】
解：$4a^3 - 4a$
$= 4a(a^2 - 1)$（提取公因式$4a$）
$= 4a(a - 1)(a + 1)$（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$分解$a^2-1$）
【答案】
$4a(a-1)(a+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式；因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规解题步骤，解题时需牢记“先提公因式，后用公式，最后核验”的流程，避免出现只提取公因式就停止、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
解决因式分解类题目要遵循固定的思考顺序：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题中两项$4a^3$和$-4a$的公因式为$4a$，首先提取公因式；第二步观察提取公因式后得到的$a^2-1$，其符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），可继续用平方差公式分解；最后要检查所有因式是否都不能再分解，确保结果正确。
【解析】
解：$4a^3 - 4a$
$= 4a(a^2 - 1)$（提取公因式$4a$）
$= 4a(a - 1)(a + 1)$（利用平方差公式$a^2 - b^2=(a-b)(a+b)$分解$a^2-1$）
【答案】
$4a(a-1)(a+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式；平方差公式；因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规解题步骤，解题时需牢记“先提公因式，后用公式，最后核验”的流程，避免出现只提取公因式就停止、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.8
2. 因式分解：$m^2 - n^2 - 2m + 1 = \_\_\_\_\_\_.$
答案
2. (m+n-1)(m-n-1)
解析
【分析】
观察待分解的多项式共有4项，可采用分组分解法解题：优先将含有m的二次项、一次项和常数项+1分为一组，该组刚好符合完全平方公式的结构，分组后整体式子变为平方差的形式，再利用平方差公式完成因式分解即可。
【解析】
解：$m^2 - n^2 - 2m + 1$
$=(m^2 - 2m + 1) - n^2$
$=(m-1)^2 - n^2$
$=(m-1 + n)(m-1 - n)$
$=(m+n-1)(m-n-1)$
【答案】
$(m+n-1)(m-n-1)$
【知识点】
分组分解法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，先凑完全平方公式再套用平方差公式，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
观察待分解的多项式共有4项，可采用分组分解法解题：优先将含有m的二次项、一次项和常数项+1分为一组，该组刚好符合完全平方公式的结构，分组后整体式子变为平方差的形式，再利用平方差公式完成因式分解即可。
【解析】
解：$m^2 - n^2 - 2m + 1$
$=(m^2 - 2m + 1) - n^2$
$=(m-1)^2 - n^2$
$=(m-1 + n)(m-1 - n)$
$=(m+n-1)(m-n-1)$
【答案】
$(m+n-1)(m-n-1)$
【知识点】
分组分解法因式分解、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题是因式分解的常规题型，解题核心是根据多项式的项的特征合理分组，先凑完全平方公式再套用平方差公式，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7
3. (1)已知$a^2 - b^2 = 12$，且$a - b = -2$，则$a + b =$
(2)已知$xy = 2$，$x - 2y = \sqrt{3}$，则$x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3 =$
-6
。(2)已知$xy = 2$，$x - 2y = \sqrt{3}$，则$x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3 =$
6
。答案
3. (1) -6
(2) 6
(2) 6
解析
【分析】
(1) 看到已知条件给出$a^2 - b^2$和$a - b$的值，首先联想到平方差公式，平方差公式可将$a^2 - b^2$分解为$(a - b)(a + b)$，代入已知数值就能直接求出$a + b$的值。
(2) 待求多项式次数较高，直接求$x$、$y$的值计算较繁琐，因此先对多项式因式分解：先提取公因式$xy$，剩余部分符合完全平方公式的结构，分解后整体代入已知的$xy$和$x-2y$的值计算，可简化运算。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
将$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = -2$代入上式得：
$12 = -2 × (a + b)$
解得：$a + b = 12 ÷ (-2) = -6$
(2) 先对$x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3$因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= xy(x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= xy(x - 2y)^2\end{aligned}$
将$xy = 2$，$x - 2y = \sqrt{3}$代入得：
$\mathrm{原式} = 2 × (\sqrt{3})^2 = 2 × 3 = 6$
【答案】
(1) -6；(2) 6
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；代数式求值
【点评】
这两道题属于整式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，对待求式进行合理变形后利用整体代入思想计算，无需单独求解未知数，能有效简化运算。
【难度系数】
0.8
(1) 看到已知条件给出$a^2 - b^2$和$a - b$的值，首先联想到平方差公式，平方差公式可将$a^2 - b^2$分解为$(a - b)(a + b)$，代入已知数值就能直接求出$a + b$的值。
(2) 待求多项式次数较高，直接求$x$、$y$的值计算较繁琐，因此先对多项式因式分解：先提取公因式$xy$，剩余部分符合完全平方公式的结构，分解后整体代入已知的$xy$和$x-2y$的值计算，可简化运算。
【解析】
(1) 根据平方差公式可得：$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
将$a^2 - b^2 = 12$，$a - b = -2$代入上式得：
$12 = -2 × (a + b)$
解得：$a + b = 12 ÷ (-2) = -6$
(2) 先对$x^3y - 4x^2y^2 + 4xy^3$因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式} &= xy(x^2 - 4xy + 4y^2) \\&= xy(x - 2y)^2\end{aligned}$
将$xy = 2$，$x - 2y = \sqrt{3}$代入得：
$\mathrm{原式} = 2 × (\sqrt{3})^2 = 2 × 3 = 6$
【答案】
(1) -6；(2) 6
【知识点】
平方差公式；因式分解的应用；代数式求值
【点评】
这两道题属于整式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，对待求式进行合理变形后利用整体代入思想计算，无需单独求解未知数，能有效简化运算。
【难度系数】
0.8
