三、解答题
1. 分解因式：
(1)$9x^2 -25$.
(2)$(a+b)^2 -12(a+b)+36$.

1.(1) (3x+5)(3x-5).
(2) (a+b-6)².

【分析】
分解因式优先判断是否有公因式，本题两小问均无公因式，因此考虑公式法分解：
(1) 观察式子是两项，两项均为平方形式且符号相反，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，将$9x^2$变形为$(3x)^2$，25变形为$5^2$，代入公式即可求解。
(2) 观察式子是三项式，若将$(a+b)$看作一个整体，式子符合完全平方差公式$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$的结构，其中$m=a+b$，$n=6$，代入公式即可求解。
【解析】
(1) $9x^2 -25$
$=(3x)^2 - 5^2$
$=(3x+5)(3x-5)$
(2) $(a+b)^2 -12(a+b)+36$
$=(a+b)^2 - 2×6×(a+b) + 6^2$
$=(a+b - 6)^2$
【答案】
(1) $(3x+5)(3x-5)$
(2) $(a+b-6)^2$
【知识点】
公式法因式分解、平方差公式、完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的常规基础题，考查对平方差公式、完全平方公式的灵活运用，解题时注意第二小问运用整体思想将$a+b$看作整体代入公式即可，掌握公式结构是解题关键。
【难度系数】
0.8

2. 整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.
下面是某同学对多项式$(x^2 - 3x + 4)(x^2 - 3x + 6) + 1$进行因式分解的过程.
解:令$x^2 - 3x = m$.
原式$=(m+4)(m+6)+1$ ………………………………………………… 第一步
$=m^2 +10m +25$ ……………………………………………………… 第二步
$=(m+5)^2$ …………………………………………………………… 第三步
$=(x^2 -3x +5)^2$. …………………………………………………… 第四步
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用的因式分解的方法是()
A. 提公因式法 B. 公式法
(2)请你类比以上方法尝试对多项式$(a^2 -4a +2)(a^2 -4a +6)+4$进行因式分解.

2.(1) B.
(2) (a-2)⁴.

【分析】
(1) 观察第二步到第三步的变形：$m^2+10m+25$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构特征，因此运用的是公式法因式分解。
(2) 观察待分解的多项式，两个括号内都含有相同部分$a^2-4a$，可运用整体换元思想，先设$a^2-4a=m$，将原式转化为关于$m$的简单多项式，展开后用公式法因式分解，再将$m$代回原式，最后检查是否分解彻底即可。
【解析】
(1) 第二步到第三步的变形利用了完全平方公式，属于公式法因式分解，故选B。
(2) 解：令$a^2 - 4a = m$，则：
$\begin{aligned}原式&=(m+2)(m+6)+4\\&=m^2 + 8m + 12 + 4\\&=m^2 + 8m + 16\\&=(m+4)^2\end{aligned}$
将$m=a^2-4a$代回上式，得：
$\begin{aligned}原式&=(a^2 - 4a + 4)^2\\&=[(a-2)^2]^2\\&=(a-2)^4\end{aligned}$
【答案】
(1) B；(2) $(a-2)^4$
【知识点】
整体换元法、因式分解-公式法、完全平方公式
【点评】
本题重点考查整体思想在因式分解中的应用，通过换元可简化结构复杂的多项式的运算步骤，降低解题难度，解题时要注意因式分解必须进行到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7