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1.分解因式:
(1)$x^2(x-3)+4(3-x)$.
(2)$24m^2n^2-6(m^2+n^2)^2$.
(1)$x^2(x-3)+4(3-x)$.
(2)$24m^2n^2-6(m^2+n^2)^2$.
答案
解：
(1)
$\begin{aligned}x^2(x-3)+4(3-x)&=x^2(x-3)-4(x-3)\\&=(x-3)(x^2-4)\\&=(x-3)(x+2)(x-2)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}24m^2n^2-6(m^2+n^2)^2&=6[4m^2n^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6[(2mn)^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6(2mn+m^2+n^2)(2mn-m^2-n^2)\\&=6[(m+n)^2]·[-(m-n)^2]\\&=-6(m+n)^2(m-n)^2\end{aligned}$
(1)
$\begin{aligned}x^2(x-3)+4(3-x)&=x^2(x-3)-4(x-3)\\&=(x-3)(x^2-4)\\&=(x-3)(x+2)(x-2)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}24m^2n^2-6(m^2+n^2)^2&=6[4m^2n^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6[(2mn)^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6(2mn+m^2+n^2)(2mn-m^2-n^2)\\&=6[(m+n)^2]·[-(m-n)^2]\\&=-6(m+n)^2(m-n)^2\end{aligned}$
解析
【分析】
因式分解遵循“一提二套三查”的解题步骤：①先观察式子是否有公因式，有公因式先提取公因式；②提取公因式后，再判断剩余式子是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，套用公式继续分解；③最后检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解为止。
第(1)题：先将$3-x$变形为$-(x-3)$，即可找到公因式$(x-3)$，提取公因式后得到$x^2-4$，符合平方差公式的结构，继续分解即可。
第(2)题：先提取公因式6，剩余式子符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，其中$a=2mn$，$b=m^2+n^2$，套用平方差公式分解后，得到的两个因式分别符合完全平方公式的结构，继续整理分解，注意符号处理即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x^2(x-3)+4(3-x)&=x^2(x-3)-4(x-3)\\&=(x-3)(x^2-4)\\&=(x-3)(x+2)(x-2)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}24m^2n^2-6(m^2+n^2)^2&=6[4m^2n^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6[(2mn)^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6(2mn+m^2+n^2)(2mn-m^2-n^2)\\&=6[(m+n)^2]·[-(m-n)^2]\\&=-6(m+n)^2(m-n)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x-3)(x+2)(x-2)$
(2) $-6(m+n)^2(m-n)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要严格按照“先提公因式、再套用公式、最后检查是否分解彻底”的步骤操作，注意变形时的符号处理，避免因符号错误或分解不彻底失分。
【难度系数】
0.7
因式分解遵循“一提二套三查”的解题步骤：①先观察式子是否有公因式，有公因式先提取公因式；②提取公因式后，再判断剩余式子是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，套用公式继续分解；③最后检查分解是否彻底，确保每个因式都不能再分解为止。
第(1)题：先将$3-x$变形为$-(x-3)$，即可找到公因式$(x-3)$，提取公因式后得到$x^2-4$，符合平方差公式的结构，继续分解即可。
第(2)题：先提取公因式6，剩余式子符合平方差公式$a^2-b^2$的结构，其中$a=2mn$，$b=m^2+n^2$，套用平方差公式分解后，得到的两个因式分别符合完全平方公式的结构，继续整理分解，注意符号处理即可。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}x^2(x-3)+4(3-x)&=x^2(x-3)-4(x-3)\\&=(x-3)(x^2-4)\\&=(x-3)(x+2)(x-2)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}24m^2n^2-6(m^2+n^2)^2&=6[4m^2n^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6[(2mn)^2-(m^2+n^2)^2]\\&=6(2mn+m^2+n^2)(2mn-m^2-n^2)\\&=6[(m+n)^2]·[-(m-n)^2]\\&=-6(m+n)^2(m-n)^2\end{aligned}$
【答案】
(1) $(x-3)(x+2)(x-2)$
(2) $-6(m+n)^2(m-n)^2$
【知识点】
提公因式法，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查因式分解的基本方法，解题时要严格按照“先提公因式、再套用公式、最后检查是否分解彻底”的步骤操作，注意变形时的符号处理，避免因符号错误或分解不彻底失分。
【难度系数】
0.7
2. 如图,大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的.
观察猜想:
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(\_\_\_\_\_\_)·(\_\_\_\_\_\_).$
说理验证:
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(\_\_\_\_\_\_)+q(\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_)·(\_\_\_\_\_\_).$
于是,我们可以利用此方法进行多项式的因式分解.
尝试运用:
例题:把多项式$x^2+5x+6$分解因式.
$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=x^2+2x+3x+2×3=(x^2+2x)+(3x+2×3)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3).$
请利用上述方法将下列多项式分解因式:
(1)$x^2+7x+12.$ (2)$x^2-6x+8.$
观察猜想:
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(\_\_\_\_\_\_)·(\_\_\_\_\_\_).$
说理验证:
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x(\_\_\_\_\_\_)+q(\_\_\_\_\_\_)=(\_\_\_\_\_\_)·(\_\_\_\_\_\_).$
于是,我们可以利用此方法进行多项式的因式分解.
尝试运用:
例题:把多项式$x^2+5x+6$分解因式.
$x^2+5x+6=x^2+(2+3)x+2×3=x^2+2x+3x+2×3=(x^2+2x)+(3x+2×3)=x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3).$
请利用上述方法将下列多项式分解因式:
(1)$x^2+7x+12.$ (2)$x^2-6x+8.$
答案
解：
观察猜想：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=\underline{(x+p)}·\underline{(x+q)}$
说理验证：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x\underline{(x+p)}+q\underline{(x+p)}=\underline{(x+p)}·\underline{(x+q)}$
(1)
$\begin{aligned}x^2+7x+12&=x^2+(3+4)x+3×4\\&=x^2+3x+4x+3×4\\&=(x^2+3x)+(4x+12)\\&=x(x+3)+4(x+3)\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2-6x+8&=x^2+(-2-4)x+(-2)×(-4)\\&=x^2-2x-4x+8\\&=(x^2-2x)+(-4x+8)\\&=x(x-2)-4(x-2)\\&=(x-2)(x-4)\end{aligned}$
观察猜想：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=\underline{(x+p)}·\underline{(x+q)}$
说理验证：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x^2+px)+(qx+pq)=x\underline{(x+p)}+q\underline{(x+p)}=\underline{(x+p)}·\underline{(x+q)}$
(1)
$\begin{aligned}x^2+7x+12&=x^2+(3+4)x+3×4\\&=x^2+3x+4x+3×4\\&=(x^2+3x)+(4x+12)\\&=x(x+3)+4(x+3)\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}x^2-6x+8&=x^2+(-2-4)x+(-2)×(-4)\\&=x^2-2x-4x+8\\&=(x^2-2x)+(-4x+8)\\&=x(x-2)-4(x-2)\\&=(x-2)(x-4)\end{aligned}$
解析
【分析】
我们可从两个角度思考解题：①几何角度：大长方形的长为$x+p$，宽为$x+q$，面积等于长乘宽，同时大长方形面积也等于四个小图形的面积和$x^2+px+qx+pq$，二者相等即可得到因式分解的结果；②代数分组分解角度：先将多项式拆为四项，两两分组后分别提取公因式$x$和$q$，会出现公共因式$(x+p)$，再次提取公因式即可完成因式分解。运用该方法分解因式时，只需找到两个数，满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，再按分组分解步骤计算即可，注意符号要匹配。
【解析】
观察猜想
大长方形面积等于长乘宽，也等于各部分面积之和，因此：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x+p)(x+q)$
说理验证
利用分组分解法和提公因式法推导：
$\begin{aligned}x^2+(p+q)x+pq&=x^2+px+qx+pq\\&=(x^2+px)+(qx+pq)\\&=x(x+p)+q(x+p)\\&=(x+p)(x+q)\end{aligned}$
尝试运用
(1) 分解$x^2+7x+12$：
找到两数3和4，满足$3×4=12$，$3+4=7$，代入计算：
$\begin{aligned}x^2+7x+12&=x^2+(3+4)x+3×4\\&=x^2+3x+4x+12\\&=(x^2+3x)+(4x+12)\\&=x(x+3)+4(x+3)\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}$
(2) 分解$x^2-6x+8$：
找到两数-2和-4，满足$(-2)×(-4)=8$，$-2+(-4)=-6$，代入计算：
$\begin{aligned}x^2-6x+8&=x^2+(-2-4)x+(-2)×(-4)\\&=x^2-2x-4x+8\\&=(x^2-2x)+(-4x+8)\\&=x(x-2)-4(x-2)\\&=(x-2)(x-4)\end{aligned}$
【答案】
观察猜想：$(x+p)$，$(x+q)$
说理验证：$(x+p)$，$(x+p)$，$(x+p)$，$(x+q)$
(1) $(x+3)(x+4)$
(2) $(x-2)(x-4)$
【知识点】
提公因式法，分组分解法，十字相乘法因式分解
【点评】
本题结合几何图形直观推导因式分解的常用方法，降低了知识点的理解难度，核心是掌握“拆常数项，凑一次项”的规律，解题时要注意常数项拆分后的符号要和一次项系数匹配，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
我们可从两个角度思考解题：①几何角度：大长方形的长为$x+p$，宽为$x+q$，面积等于长乘宽，同时大长方形面积也等于四个小图形的面积和$x^2+px+qx+pq$，二者相等即可得到因式分解的结果；②代数分组分解角度：先将多项式拆为四项，两两分组后分别提取公因式$x$和$q$，会出现公共因式$(x+p)$，再次提取公因式即可完成因式分解。运用该方法分解因式时，只需找到两个数，满足乘积等于常数项、和等于一次项系数，再按分组分解步骤计算即可，注意符号要匹配。
【解析】
观察猜想
大长方形面积等于长乘宽，也等于各部分面积之和，因此：
$x^2+(p+q)x+pq=x^2+px+qx+pq=(x+p)(x+q)$
说理验证
利用分组分解法和提公因式法推导：
$\begin{aligned}x^2+(p+q)x+pq&=x^2+px+qx+pq\\&=(x^2+px)+(qx+pq)\\&=x(x+p)+q(x+p)\\&=(x+p)(x+q)\end{aligned}$
尝试运用
(1) 分解$x^2+7x+12$：
找到两数3和4，满足$3×4=12$，$3+4=7$，代入计算：
$\begin{aligned}x^2+7x+12&=x^2+(3+4)x+3×4\\&=x^2+3x+4x+12\\&=(x^2+3x)+(4x+12)\\&=x(x+3)+4(x+3)\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}$
(2) 分解$x^2-6x+8$：
找到两数-2和-4，满足$(-2)×(-4)=8$，$-2+(-4)=-6$，代入计算：
$\begin{aligned}x^2-6x+8&=x^2+(-2-4)x+(-2)×(-4)\\&=x^2-2x-4x+8\\&=(x^2-2x)+(-4x+8)\\&=x(x-2)-4(x-2)\\&=(x-2)(x-4)\end{aligned}$
【答案】
观察猜想：$(x+p)$，$(x+q)$
说理验证：$(x+p)$，$(x+p)$，$(x+p)$，$(x+q)$
(1) $(x+3)(x+4)$
(2) $(x-2)(x-4)$
【知识点】
提公因式法，分组分解法，十字相乘法因式分解
【点评】
本题结合几何图形直观推导因式分解的常用方法，降低了知识点的理解难度，核心是掌握“拆常数项，凑一次项”的规律，解题时要注意常数项拆分后的符号要和一次项系数匹配，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
