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一、单选题
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录. 下列四幅作品分别代表“大雪”“芒种”“立春”“立夏”,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录. 下列四幅作品分别代表“大雪”“芒种”“立春”“立夏”,其中既是轴对称图形,又是中心对称图形的是(
A
)答案
1.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形和中心对称图形的判断标准：①轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合；②中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，旋转得到的图形能与原图形完全重合。解题时我们可以逐个对四个选项按上述两个标准验证，最终选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
首先明确两类图形的定义：
1. 轴对称图形：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内，将图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一判断：
选项A：雪花图案存在多条对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；将其绕中心旋转180°后，图案与原图完全一致，是中心对称图形，符合要求。
选项B：沿竖直中线折叠后两侧可重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，下方的草图案方向颠倒，与原图不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项C：沿竖直中线折叠后两侧可重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，花叶方向颠倒，与原图不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项D：不存在能让图形折叠后两侧重合的直线，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后太阳位置移到下方，与原图不重合，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，只有选项A同时满足两个条件。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题结合传统文化中的二十四节气标识考查特殊图形的识别，解题的关键是准确掌握两类对称图形的判断方法，注意区分中心对称是旋转180°重合、轴对称是折叠重合，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确轴对称图形和中心对称图形的判断标准：①轴对称图形：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合；②中心对称图形：绕图形中心旋转180°后，旋转得到的图形能与原图形完全重合。解题时我们可以逐个对四个选项按上述两个标准验证，最终选出同时满足两个条件的选项即可。
【解析】
首先明确两类图形的定义：
1. 轴对称图形：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；
2. 中心对称图形：平面内，将图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原图形完全重合的图形。
对各选项逐一判断：
选项A：雪花图案存在多条对称轴，沿对称轴折叠后两侧完全重合，是轴对称图形；将其绕中心旋转180°后，图案与原图完全一致，是中心对称图形，符合要求。
选项B：沿竖直中线折叠后两侧可重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，下方的草图案方向颠倒，与原图不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项C：沿竖直中线折叠后两侧可重合，是轴对称图形；但绕中心旋转180°后，花叶方向颠倒，与原图不重合，不是中心对称图形，不符合要求。
选项D：不存在能让图形折叠后两侧重合的直线，不是轴对称图形；绕中心旋转180°后太阳位置移到下方，与原图不重合，也不是中心对称图形，不符合要求。
综上，只有选项A同时满足两个条件。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形识别；中心对称图形识别
【点评】
本题结合传统文化中的二十四节气标识考查特殊图形的识别，解题的关键是准确掌握两类对称图形的判断方法，注意区分中心对称是旋转180°重合、轴对称是折叠重合，属于基础类考题。
【难度系数】
0.8
2. 在平面直角坐标系中,将点$A(3,-4)$向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后得到的点的坐标是(
A.$(3,-1)$
B.$(2,-1)$
C.$(2,-4)$
D.$(4,-1)$
B
)A.$(3,-1)$
B.$(2,-1)$
C.$(2,-4)$
D.$(4,-1)$
答案
2.B
解析
【分析】
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：左右平移时，横坐标遵循“左减右加”（向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增大），纵坐标不变；上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”（向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小），横坐标不变。我们可以分两步分别计算平移后的横坐标和纵坐标，最终得到平移后的点坐标。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律计算：
1. 第一步向左平移1个单位长度：点$A(3,-4)$向左平移时横坐标减1，纵坐标不变，横坐标变为$3-1=2$，得到中间点坐标为$(2,-4)$；
2. 第二步向上平移3个单位长度：在中间点的基础上向上平移时纵坐标加3，横坐标不变，纵坐标变为$-4+3=-1$。
因此最终平移后得到的点坐标为$(2,-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系平移类的基础题型，核心考察点平移时横、纵坐标的变化规则，只要熟练掌握“左减右加、上加下减”的计算口诀，就能快速准确得出答案，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确平面直角坐标系中点平移的坐标变化规律：左右平移时，横坐标遵循“左减右加”（向左平移横坐标减小，向右平移横坐标增大），纵坐标不变；上下平移时，纵坐标遵循“上加下减”（向上平移纵坐标增大，向下平移纵坐标减小），横坐标不变。我们可以分两步分别计算平移后的横坐标和纵坐标，最终得到平移后的点坐标。
【解析】
根据点平移的坐标变化规律计算：
1. 第一步向左平移1个单位长度：点$A(3,-4)$向左平移时横坐标减1，纵坐标不变，横坐标变为$3-1=2$，得到中间点坐标为$(2,-4)$；
2. 第二步向上平移3个单位长度：在中间点的基础上向上平移时纵坐标加3，横坐标不变，纵坐标变为$-4+3=-1$。
因此最终平移后得到的点坐标为$(2,-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 点平移的坐标变化规律
2. 平面直角坐标系
【点评】
本题是坐标系平移类的基础题型，核心考察点平移时横、纵坐标的变化规则，只要熟练掌握“左减右加、上加下减”的计算口诀，就能快速准确得出答案，属于高频基础考点。
【难度系数】
0.9
3. 如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在边AC上,连接BD,且∠DBC=60°,AD=BD,则∠A的度数为(
A.15°
B.18°
C.20°
D.25°
A
)A.15°
B.18°
C.20°
D.25°
答案
3.A
解析
【分析】
解题时先从已知的边相等条件入手，AD=BD说明△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠A=∠ABD；再利用三角形外角的性质，可知∠BDC是△ABD的外角，等于与它不相邻的两个内角和，即∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A；接着在Rt△BCD中，根据直角三角形两锐角互余算出∠BDC的度数，最后代入角的等量关系即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD（等腰三角形等边对等角）。
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°（直角三角形两锐角互余）。
∴2∠A=30°，解得∠A=15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是梳理清楚图中角的数量关系，结合等腰三角形、三角形外角、直角三角形的角度性质逐步推导，是三角形角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的边相等条件入手，AD=BD说明△ABD是等腰三角形，根据等腰三角形等边对等角的性质可得∠A=∠ABD；再利用三角形外角的性质，可知∠BDC是△ABD的外角，等于与它不相邻的两个内角和，即∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A；接着在Rt△BCD中，根据直角三角形两锐角互余算出∠BDC的度数，最后代入角的等量关系即可求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD（等腰三角形等边对等角）。
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和）。
在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=60°，
∴∠BDC=90°-∠DBC=90°-60°=30°（直角三角形两锐角互余）。
∴2∠A=30°，解得∠A=15°。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础计算题，解题的关键是梳理清楚图中角的数量关系，结合等腰三角形、三角形外角、直角三角形的角度性质逐步推导，是三角形角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.8
4. 如图，根据图象，可得关于$ x $的不等式$ kx ＞ -x + 3 $的解集是(
A.$ x＜2 $
B.$ x＞2 $
C.$ x＞1 $
D.$ x＜1 $
C
)A.$ x＜2 $
B.$ x＞2 $
C.$ x＞1 $
D.$ x＜1 $
答案
4.C
解析
【分析】
要解不等式$kx ＞ -x+3$，可利用一次函数图象的几何意义求解：该不等式表示$y=kx$的函数值大于$y=-x+3$的函数值，对应图象上就是$y=kx$的图象位于$y=-x+3$图象上方时$x$的取值范围。首先找到两个函数图象的交点坐标（交点是两个函数值相等的位置），再结合图象判断交点哪一侧满足“$y=kx$图象在上方”的条件，即可得到解集。
【解析】
观察图象可得，正比例函数$y=kx$和一次函数$y=-x+3$的交点坐标为$(1,2)$。
不等式$kx ＞ -x+3$的几何意义是：相同自变量$x$下，$y=kx$的函数值大于$y=-x+3$的函数值，对应图象为$y=kx$的图象在$y=-x+3$图象的上方。
观察图象可知，当$x＞1$时，$y=kx$的图象位于$y=-x+3$图象的上方，满足$kx ＞ -x+3$，因此不等式的解集为$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在解一元一次不等式中的应用，解题关键是明确不等式对应的函数图象位置关系，通过交点坐标可快速判断解集范围，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
要解不等式$kx ＞ -x+3$，可利用一次函数图象的几何意义求解：该不等式表示$y=kx$的函数值大于$y=-x+3$的函数值，对应图象上就是$y=kx$的图象位于$y=-x+3$图象上方时$x$的取值范围。首先找到两个函数图象的交点坐标（交点是两个函数值相等的位置），再结合图象判断交点哪一侧满足“$y=kx$图象在上方”的条件，即可得到解集。
【解析】
观察图象可得，正比例函数$y=kx$和一次函数$y=-x+3$的交点坐标为$(1,2)$。
不等式$kx ＞ -x+3$的几何意义是：相同自变量$x$下，$y=kx$的函数值大于$y=-x+3$的函数值，对应图象为$y=kx$的图象在$y=-x+3$图象的上方。
观察图象可知，当$x＞1$时，$y=kx$的图象位于$y=-x+3$图象的上方，满足$kx ＞ -x+3$，因此不等式的解集为$x＞1$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象
【点评】
本题考查数形结合思想在解一元一次不等式中的应用，解题关键是明确不等式对应的函数图象位置关系，通过交点坐标可快速判断解集范围，无需复杂计算。
【难度系数】
0.8
5. 如图，AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AC=2CP. 甲、乙两人想在AB上取D,E两点，使得AD=DC=CE=EB.
甲的作法:作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于点D,E,则点D,E即为所求.
乙的作法:作AC,BC的垂直平分线,分别交AB于点D,E,则点D,E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列说法正确的是(
A.两人都正确
B.两人都错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确
甲的作法:作∠ACP,∠BCP的平分线,分别交AB于点D,E,则点D,E即为所求.
乙的作法:作AC,BC的垂直平分线,分别交AB于点D,E,则点D,E即为所求.
对于甲、乙两人的作法,下列说法正确的是(
A
)A.两人都正确
B.两人都错误
C.甲正确,乙错误
D.甲错误,乙正确
答案
5.A
解析
【分析】
首先利用垂直平分线的性质得到AC=BC，结合AC=2CP，在Rt△ACP中根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”推出∠A=∠B=30°，∠ACP=∠BCP=60°。再分别验证甲、乙的作法：对甲，结合角平分线的性质得等角，由等角对等边判断AD=DC、EB=CE，再证明△CDE是等边三角形得到DC=CE；对乙，利用垂直平分线的性质直接得AD=DC、EB=CE，同样证明△CDE为等边三角形得到DC=CE，即可判断两人作法是否正确。
【解析】
∵CP是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，CP⊥AB，即∠APC=90°。
又
∵AC=2CP，
∴在Rt△ACP中，∠A=30°，∠ACP=60°，同理可得∠B=30°，∠BCP=60°。
验证甲的作法：
∵CD平分∠ACP，CE平分∠BCP，
∴∠ACD=∠DCP=30°，∠BCE=∠ECP=30°，
∴∠A=∠ACD=30°，∠B=∠BCE=30°，
∴AD=DC，EB=CE。
又
∵∠CDE=∠A+∠ACD=60°，∠CED=∠B+∠BCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DC=CE，
∴AD=DC=CE=EB，甲的作法正确。
验证乙的作法：
∵D在AC的垂直平分线上，E在BC的垂直平分线上，
∴AD=DC，EB=CE，
∴∠A=∠DCA=30°，∠B=∠ECB=30°，
∴∠CDE=∠A+∠DCA=60°，∠CED=∠B+∠ECB=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DC=CE，
∴AD=DC=CE=EB，乙的作法正确。
综上，甲、乙两人的作法都正确。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查了垂直平分线、角平分线的性质以及等腰、等边三角形的判定，解题的关键是先根据已知条件推出∠A、∠B的度数，再结合两人的作法逐步推导边的相等关系。
【难度系数】
0.7
首先利用垂直平分线的性质得到AC=BC，结合AC=2CP，在Rt△ACP中根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”推出∠A=∠B=30°，∠ACP=∠BCP=60°。再分别验证甲、乙的作法：对甲，结合角平分线的性质得等角，由等角对等边判断AD=DC、EB=CE，再证明△CDE是等边三角形得到DC=CE；对乙，利用垂直平分线的性质直接得AD=DC、EB=CE，同样证明△CDE为等边三角形得到DC=CE，即可判断两人作法是否正确。
【解析】
∵CP是AB的垂直平分线，
∴AC=BC，CP⊥AB，即∠APC=90°。
又
∵AC=2CP，
∴在Rt△ACP中，∠A=30°，∠ACP=60°，同理可得∠B=30°，∠BCP=60°。
验证甲的作法：
∵CD平分∠ACP，CE平分∠BCP，
∴∠ACD=∠DCP=30°，∠BCE=∠ECP=30°，
∴∠A=∠ACD=30°，∠B=∠BCE=30°，
∴AD=DC，EB=CE。
又
∵∠CDE=∠A+∠ACD=60°，∠CED=∠B+∠BCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DC=CE，
∴AD=DC=CE=EB，甲的作法正确。
验证乙的作法：
∵D在AC的垂直平分线上，E在BC的垂直平分线上，
∴AD=DC，EB=CE，
∴∠A=∠DCA=30°，∠B=∠ECB=30°，
∴∠CDE=∠A+∠DCA=60°，∠CED=∠B+∠ECB=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DC=CE，
∴AD=DC=CE=EB，乙的作法正确。
综上，甲、乙两人的作法都正确。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定
【点评】
本题综合考查了垂直平分线、角平分线的性质以及等腰、等边三角形的判定，解题的关键是先根据已知条件推出∠A、∠B的度数，再结合两人的作法逐步推导边的相等关系。
【难度系数】
0.7
6. 若关于$x$的不等式组$\begin{cases}x - m ＜ 0, \\ 7 - 2x ≤ 1\end{cases}$的整数解共有4个,则$m$的取值范围是:( )
A.$6 ＜ m ＜ 7$
B.$6 ≤ m ＜ 7$
C.$6 ≤ m ≤ 7$
D.$6 ＜ m ≤ 7$
A.$6 ＜ m ＜ 7$
B.$6 ≤ m ＜ 7$
C.$6 ≤ m ≤ 7$
D.$6 ＜ m ≤ 7$
答案
6.D
解析
【分析】解决此类问题的思路是：先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到各自的解集，再取公共部分得到不等式组的解集，然后结合“整数解共有4个”的条件确定所有整数解，最后根据解集的边界特征确定参数m的取值范围，注意验证边界值是否符合要求。
【解析】
1. 解不等式$x - m ＜ 0$：
移项可得：$x ＜ m$。
2. 解不等式$7 - 2x ≤ 1$：
移项得：$-2x ≤ 1 - 7$，即$-2x ≤ -6$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ 3$。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$3 ≤ x ＜ m$。
4. 根据整数解的个数确定m的范围：
已知整数解共有4个，可得整数解为3、4、5、6共4个，因此m需要满足：$6 ＜ m ≤ 7$（若$m ≤ 6$，则整数解不足4个；若$m ＞ 7$，则整数解会包含7，共5个，均不符合要求）。
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解
【点评】本题是含参数的一元一次不等式组的典型题型，易错点是边界值的取舍，解题时可通过代入边界值验证是否符合题意，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 解不等式$x - m ＜ 0$：
移项可得：$x ＜ m$。
2. 解不等式$7 - 2x ≤ 1$：
移项得：$-2x ≤ 1 - 7$，即$-2x ≤ -6$，
不等式两边同时除以$-2$，不等号方向改变，得：$x ≥ 3$。
3. 确定不等式组的解集：
两个解集的公共部分为$3 ≤ x ＜ m$。
4. 根据整数解的个数确定m的范围：
已知整数解共有4个，可得整数解为3、4、5、6共4个，因此m需要满足：$6 ＜ m ≤ 7$（若$m ≤ 6$，则整数解不足4个；若$m ＞ 7$，则整数解会包含7，共5个，均不符合要求）。
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的解法、不等式组的整数解
【点评】本题是含参数的一元一次不等式组的典型题型，易错点是边界值的取舍，解题时可通过代入边界值验证是否符合题意，避免漏解或多解。
【难度系数】0.6
