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6. 如图,把一副直角三角板放置在同一平面内,若$AB// CD$,$AB=CD=2\sqrt{3}$,当$AD=4$时,$AD$与$BC$之间的距离是(
A.$\sqrt{3}+2$
B.$\dfrac{3+2\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{2+3\sqrt{3}}{4}$
B
)A.$\sqrt{3}+2$
B.$\dfrac{3+2\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{3+\sqrt{3}}{2}$
D.$\dfrac{2+3\sqrt{3}}{4}$
答案
6. B
解析
【分析】
首先观察已知条件，AB平行且等于CD，可先判定四边形ABCD是平行四边形，由此可得AD平行BC，那么AD与BC之间的距离就是平行四边形以AD为底时对应的高。我们可以利用平行四边形面积的两种计算方法建立等式求解：一种是用底AD乘所求的高h，另一种是先算出平行四边形的总面积，最后联立等式即可求出h的值。
【解析】
解：
1. 判定平行四边形：
∵ $ AB// CD $，且 $ AB=CD $，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $ AD// BC $，设AD与BC之间的距离为$ h $，则平行四边形ABCD的面积可表示为 $ S = AD · h $。
2. 计算平行四边形面积：
结合直角三角板的角度性质，计算可得平行四边形ABCD的总面积 $ S=6+4\sqrt{3} $。
3. 求距离h：
已知 $ AD=4 $，代入面积公式得：
$ h=\frac{S}{AD}=\frac{6+4\sqrt{3}}{4}=\frac{3+2\sqrt{3}}{2} $
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，面积法求高
【点评】
本题综合考查了平行四边形的判定、平行线间距离的计算，解题的核心是利用平行四边形面积的不同表示方法建立等量关系，对学生的几何图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
首先观察已知条件，AB平行且等于CD，可先判定四边形ABCD是平行四边形，由此可得AD平行BC，那么AD与BC之间的距离就是平行四边形以AD为底时对应的高。我们可以利用平行四边形面积的两种计算方法建立等式求解：一种是用底AD乘所求的高h，另一种是先算出平行四边形的总面积，最后联立等式即可求出h的值。
【解析】
解：
1. 判定平行四边形：
∵ $ AB// CD $，且 $ AB=CD $，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $ AD// BC $，设AD与BC之间的距离为$ h $，则平行四边形ABCD的面积可表示为 $ S = AD · h $。
2. 计算平行四边形面积：
结合直角三角板的角度性质，计算可得平行四边形ABCD的总面积 $ S=6+4\sqrt{3} $。
3. 求距离h：
已知 $ AD=4 $，代入面积公式得：
$ h=\frac{S}{AD}=\frac{6+4\sqrt{3}}{4}=\frac{3+2\sqrt{3}}{2} $
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定与性质，平行线间的距离，面积法求高
【点评】
本题综合考查了平行四边形的判定、平行线间距离的计算，解题的核心是利用平行四边形面积的不同表示方法建立等量关系，对学生的几何图形分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在$□ ABCD$中，$CE ⊥ AB$于点$E$，若$∠ D=65°$，则$∠ BCE$的度数为
25°
。答案
1. 25°
解析
【分析】
解题时可按两步推导：第一步，回忆平行四边形对角相等的性质，已知∠D的度数，可求出对应角∠B的度数；第二步，由CE垂直AB可得△CEB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠B的度数，即可求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B = ∠D = 65°（平行四边形对角相等）
∵CE⊥AB
∴∠CEB = 90°
在Rt△BCE中，∠BCE + ∠B = 90°
∴∠BCE = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查基础图形的性质应用，熟练掌握平行四边形和直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解题时可按两步推导：第一步，回忆平行四边形对角相等的性质，已知∠D的度数，可求出对应角∠B的度数；第二步，由CE垂直AB可得△CEB是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质，用90°减去∠B的度数，即可求出∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B = ∠D = 65°（平行四边形对角相等）
∵CE⊥AB
∴∠CEB = 90°
在Rt△BCE中，∠BCE + ∠B = 90°
∴∠BCE = 90° - 65° = 25°
【答案】
25°
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查基础图形的性质应用，熟练掌握平行四边形和直角三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
2. 如图是人字梯及其侧面示意图，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点，若DE=30 cm，则B，C两点之间的距离为
60 cm
。答案
2. 60 cm
解析
【分析】
解题时首先观察图形，已知D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，可联想到三角形中位线的相关知识。三角形中位线的性质是中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半，因此我们可以通过这个性质建立DE和BC的数量关系，代入已知DE的长度即可求出BC的长度。
【解析】
∵ D、E分别是AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$DE=30\ \mathrm{cm}$，代入得：
$BC=2DE=2×30=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
60 cm
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题结合生活中的人字梯场景考查数学知识的应用，解题关键是识别出图中的三角形中位线，直接套用对应定理即可求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，已知D、E分别是△ABC两边AB、AC的中点，可联想到三角形中位线的相关知识。三角形中位线的性质是中位线平行于第三边，且长度为第三边的一半，因此我们可以通过这个性质建立DE和BC的数量关系，代入已知DE的长度即可求出BC的长度。
【解析】
∵ D、E分别是AB、AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC$，
已知$DE=30\ \mathrm{cm}$，代入得：
$BC=2DE=2×30=60\ \mathrm{cm}$。
【答案】
60 cm
【知识点】
三角形中位线定理
【点评】
本题结合生活中的人字梯场景考查数学知识的应用，解题关键是识别出图中的三角形中位线，直接套用对应定理即可求解，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,现在请你添加一个适当的条件：
$BE=DF$（答案不唯一）
,使得四边形AECF为平行四边形.(图中不再添加点和线)答案
3. $BE=DF$（答案不唯一）
解析
【分析】
首先由已知两组对边分别平行可判定四边形ABCD是平行四边形，它具备对边平行且相等、对角线互相平分的性质。要使四边形AECF为平行四边形，可结合平行四边形的判定定理推导需要添加的条件：若选择利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定，已知平行四边形ABCD中AC、BD交于O时OA=OC，只需满足OE=OF即可，由此可推出添加BE=DF就能满足OE=OF，进而证得结论。
【解析】
解：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
连接AC交BD于点O，根据平行四边形的性质可得：OA=OC，OB=OD。
若添加条件$BE=DF$，则$OB - BE = OD - DF$，即$OE=OF$。
∵OA=OC，OE=OF，即四边形AECF的对角线互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形。
（注：也可添加如$AE// CF$、$AF// CE$等条件，推导合理即可。）
【答案】
$BE=DF$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为开放性试题，主要考查平行四边形的性质与判定的综合运用，解题时需结合图形特征灵活选择判定方法，只要添加的条件能满足平行四边形的判定要求均正确。
【难度系数】
0.7
首先由已知两组对边分别平行可判定四边形ABCD是平行四边形，它具备对边平行且相等、对角线互相平分的性质。要使四边形AECF为平行四边形，可结合平行四边形的判定定理推导需要添加的条件：若选择利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”判定，已知平行四边形ABCD中AC、BD交于O时OA=OC，只需满足OE=OF即可，由此可推出添加BE=DF就能满足OE=OF，进而证得结论。
【解析】
解：
∵AB//CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形。
连接AC交BD于点O，根据平行四边形的性质可得：OA=OC，OB=OD。
若添加条件$BE=DF$，则$OB - BE = OD - DF$，即$OE=OF$。
∵OA=OC，OE=OF，即四边形AECF的对角线互相平分，
∴四边形AECF为平行四边形。
（注：也可添加如$AE// CF$、$AF// CE$等条件，推导合理即可。）
【答案】
$BE=DF$（答案不唯一）
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为开放性试题，主要考查平行四边形的性质与判定的综合运用，解题时需结合图形特征灵活选择判定方法，只要添加的条件能满足平行四边形的判定要求均正确。
【难度系数】
0.7
4. 在$□ ABCD$中，$AD = BD$，$BE$是$AD$边上的高，$∠ EBD = 20°$，则$∠ C$的度数为________
答案
4. 55°或35°
解析
【分析】
本题需结合平行四边形性质、等腰三角形性质求解，关键是要考虑高BE的位置存在两种情况，避免漏解。解题思路如下：1. 先根据直角三角形两锐角互余，结合∠EBD=20°求出∠BDE的度数；2. 结合AD=BD，可知△ABD为等腰三角形，利用三角形内角和求出∠A的度数；3. 利用平行四边形对角相等的性质，得到∠C=∠A，最终得出结果，注意分高在线段AD上、高在AD的延长线上两种情况讨论。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当点E在线段AD上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠EDB=90°-20°=70°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
由三角形内角和为180°得：$∠ A=(180°-∠ ADB)÷2=(180°-70°)÷2=55°$
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，
∴$∠ C=∠ A=55°$
② 当点E在AD的延长线上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠BDE=90°-20°=70°，则$∠ ADB=180°-70°=110°$
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
由三角形内角和为180°得：$∠ A=(180°-∠ ADB)÷2=(180°-110°)÷2=35°$
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，
∴$∠ C=∠ A=35°$
综上，∠C的度数为55°或35°。
【答案】
55°或35°
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是易错题，难点在于容易忽略高在边的延长线上的情况，解题时要结合几何图形的特征全面考虑所有可能的情况，再结合相关性质计算即可。
【难度系数】
0.6
本题需结合平行四边形性质、等腰三角形性质求解，关键是要考虑高BE的位置存在两种情况，避免漏解。解题思路如下：1. 先根据直角三角形两锐角互余，结合∠EBD=20°求出∠BDE的度数；2. 结合AD=BD，可知△ABD为等腰三角形，利用三角形内角和求出∠A的度数；3. 利用平行四边形对角相等的性质，得到∠C=∠A，最终得出结果，注意分高在线段AD上、高在AD的延长线上两种情况讨论。
【解析】
本题分两种情况讨论：
① 当点E在线段AD上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠EDB=90°-20°=70°
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
由三角形内角和为180°得：$∠ A=(180°-∠ ADB)÷2=(180°-70°)÷2=55°$
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，
∴$∠ C=∠ A=55°$
② 当点E在AD的延长线上时：
∵BE是AD边上的高，
∴∠BED=90°
在Rt△BED中，∠EBD=20°，
∴∠BDE=90°-20°=70°，则$∠ ADB=180°-70°=110°$
∵AD=BD，
∴△ABD是等腰三角形，∠A=∠ABD
由三角形内角和为180°得：$∠ A=(180°-∠ ADB)÷2=(180°-110°)÷2=35°$
∵四边形ABCD是平行四边形，平行四边形对角相等，
∴$∠ C=∠ A=35°$
综上，∠C的度数为55°或35°。
【答案】
55°或35°
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是易错题，难点在于容易忽略高在边的延长线上的情况，解题时要结合几何图形的特征全面考虑所有可能的情况，再结合相关性质计算即可。
【难度系数】
0.6
三、解答题
如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE交BC于点G,连接OG,CF.
(1)求证:$AE// CF$.
(2)当$AG⊥ BC,OG⊥ AC$时,求$∠ ACB$的度数.
如图,在$□ ABCD$中,对角线AC与BD相交于点O,E,F分别为OB,OD的中点,延长AE交BC于点G,连接OG,CF.
(1)求证:$AE// CF$.
(2)当$AG⊥ BC,OG⊥ AC$时,求$∠ ACB$的度数.
答案
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$。
∵ $E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \\OE = OF\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（SAS），
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$，
∴ $AE // CF$。
---
(2) 解：
∵ $AG ⊥ BC$，
∴ $∠ AGC = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $O$是$AC$的中点。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$O$为斜边$AC$的中点，
∴ $OG = OC = \frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵ $OG ⊥ AC$，
∴ $∠ GOC = 90°$，
∴ $△ GOC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ ACB = 45°$。
答：$∠ ACB$的度数为$45°$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$。
∵ $E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \\OE = OF\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（SAS），
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$，
∴ $AE // CF$。
---
(2) 解：
∵ $AG ⊥ BC$，
∴ $∠ AGC = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $O$是$AC$的中点。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$O$为斜边$AC$的中点，
∴ $OG = OC = \frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵ $OG ⊥ AC$，
∴ $∠ GOC = 90°$，
∴ $△ GOC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ ACB = 45°$。
答：$∠ ACB$的度数为$45°$。
解析
【分析】
(1) 要证$AE// CF$，可通过证明内错角相等推导。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到$OA=OC$、$OB=OD$，结合$E$、$F$分别是$OB$、$OD$的中点，可推出$OE=OF$，再利用SAS证明$△ AOE≌△ COF$，得到$∠ OAE=∠ OCF$，即可由内错角相等得到两直线平行。
(2) 求$∠ ACB$的度数时，先由$AG⊥ BC$得$△ AGC$为直角三角形，再根据平行四边形性质知$O$是$AC$中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OG=OC$，结合$OG⊥ AC$的条件，可知$△ GOC$是等腰直角三角形，即可求出$∠ ACB$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$。
∵ $E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \\OE = OF\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（SAS），
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$，
∴ $AE // CF$。
(2) 解：
∵ $AG ⊥ BC$，
∴ $∠ AGC = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $O$是$AC$的中点。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$O$为斜边$AC$的中点，
∴ $OG = OC = \frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵ $OG ⊥ AC$，
∴ $∠ GOC = 90°$，
∴ $△ GOC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ ACB = 45°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ ACB=45°$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了平行四边形的基本性质，也结合了全等三角形、直角三角形的相关定理，解题时要注意从已知条件出发，逐步推导边角关系，第二问的关键是识别直角三角形斜边中线的模型。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AE// CF$，可通过证明内错角相等推导。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质，得到$OA=OC$、$OB=OD$，结合$E$、$F$分别是$OB$、$OD$的中点，可推出$OE=OF$，再利用SAS证明$△ AOE≌△ COF$，得到$∠ OAE=∠ OCF$，即可由内错角相等得到两直线平行。
(2) 求$∠ ACB$的度数时，先由$AG⊥ BC$得$△ AGC$为直角三角形，再根据平行四边形性质知$O$是$AC$中点，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$OG=OC$，结合$OG⊥ AC$的条件，可知$△ GOC$是等腰直角三角形，即可求出$∠ ACB$的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$。
∵ $E$，$F$分别为$OB$，$OD$的中点，
∴ $OE = \frac{1}{2}OB$，$OF = \frac{1}{2}OD$，
∴ $OE = OF$。
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}OA = OC \\∠ AOE = ∠ COF \\OE = OF\end{cases}$
∴ $△ AOE ≌ △ COF$（SAS），
∴ $∠ OAE = ∠ OCF$，
∴ $AE // CF$。
(2) 解：
∵ $AG ⊥ BC$，
∴ $∠ AGC = 90°$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $O$是$AC$的中点。
在$\mathrm{Rt}△ AGC$中，$O$为斜边$AC$的中点，
∴ $OG = OC = \frac{1}{2}AC$（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）。
∵ $OG ⊥ AC$，
∴ $∠ GOC = 90°$，
∴ $△ GOC$是等腰直角三角形，
∴ $∠ ACB = 45°$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $∠ ACB=45°$
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，既考查了平行四边形的基本性质，也结合了全等三角形、直角三角形的相关定理，解题时要注意从已知条件出发，逐步推导边角关系，第二问的关键是识别直角三角形斜边中线的模型。
【难度系数】
0.7
