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二、填空题
1. 不等式组$\begin{cases}x+2＞0, \\ x≥1\end{cases}$的解集是 ______ .
1. 不等式组$\begin{cases}x+2＞0, \\ x≥1\end{cases}$的解集是 ______ .
答案
1.$x≥1$
解析
【分析】
求解不等式组的核心是先分别求出每个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分。首先先解第一个一元一次不等式，得到它的解集，再结合第二个不等式已给出的解集，根据“同大取大”的解集判断规则，就能得出不等式组的最终解集。
【解析】
解：第一步求解不等式$x + 2 ＞ 0$：
移项可得$x ＞ -2$。
已知第二个不等式的解集为$x≥1$。
根据不等式组解集的判断规则“同大取大”，即当两个解集均为大于某个数的形式时，取数值更大的边界作为公共解集的边界，因此两个解集的公共部分为$x≥1$。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题关键是熟练掌握不等式组解集的判断口诀，准确找到不同解集的公共部分。
【难度系数】
0.9
求解不等式组的核心是先分别求出每个不等式的解集，再确定两个解集的公共部分。首先先解第一个一元一次不等式，得到它的解集，再结合第二个不等式已给出的解集，根据“同大取大”的解集判断规则，就能得出不等式组的最终解集。
【解析】
解：第一步求解不等式$x + 2 ＞ 0$：
移项可得$x ＞ -2$。
已知第二个不等式的解集为$x≥1$。
根据不等式组解集的判断规则“同大取大”，即当两个解集均为大于某个数的形式时，取数值更大的边界作为公共解集的边界，因此两个解集的公共部分为$x≥1$。
【答案】
$x≥1$
【知识点】
1. 一元一次不等式的解法
2. 不等式组解集的确定
【点评】
本题是不等式组求解的基础题型，解题关键是熟练掌握不等式组解集的判断口诀，准确找到不同解集的公共部分。
【难度系数】
0.9
2.若点$P(m,-2)$与点$Q(3,n)$关于原点对称，则$(m+n)^{2026}=$
1
答案
2.1
解析
【分析】
解题思路可分为两步：首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，那么它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；接着利用这个规律求出m、n的取值，再代入代数式计算乘方即可，计算时要注意负数的偶次幂结果为正数。
【解析】
解：
∵点$P(m,-2)$与点$Q(3,n)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质，可得：
$m=-3$，$n=2$，
∴$m+n=-3+2=-1$，
∴$(m+n)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握关于原点对称的点的坐标变化规律，结合乘方的符号运算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题思路可分为两步：首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：若两个点关于原点对称，那么它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；接着利用这个规律求出m、n的取值，再代入代数式计算乘方即可，计算时要注意负数的偶次幂结果为正数。
【解析】
解：
∵点$P(m,-2)$与点$Q(3,n)$关于原点对称，
根据关于原点对称的点的坐标性质，可得：
$m=-3$，$n=2$，
∴$m+n=-3+2=-1$，
∴$(m+n)^{2026}=(-1)^{2026}=1$。
【答案】
1
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是掌握关于原点对称的点的坐标变化规律，结合乘方的符号运算规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.85
3. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=100°$，点$D$在$BC$边上，连接$AD$，若$△ ABD$为直角三角形，则$∠ ADB$的度数是________。
答案
3.$90°$或$50°$
解析
【分析】
解题前先梳理已知条件：△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角∠BAC=100°，首先可根据等腰三角形等边对等角的性质算出底角∠B的度数。由于题干仅说明△ABD为直角三角形，未明确直角顶点，因此需要分类讨论：排除∠B为直角的可能（已算出∠B为锐角），分别讨论直角顶点为D、直角顶点为A的两种情况，结合三角形内角和定理计算∠ADB的度数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
∵△ABD为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当∠ADB=90°时，△ABD为直角三角形，此时∠ADB=90°，符合题意；
② 当∠BAD=90°时，在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-90°=50°
（注：∠ABD=40°，不可能为直角，故无第三种情况）
综上，∠ADB的度数为90°或50°。
【答案】
90°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解，做题时遇到未明确直角顶点的直角三角形相关问题，要先考虑所有可能的直角情况，再逐一验证计算。
【难度系数】
0.7
解题前先梳理已知条件：△ABC是AB=AC的等腰三角形，顶角∠BAC=100°，首先可根据等腰三角形等边对等角的性质算出底角∠B的度数。由于题干仅说明△ABD为直角三角形，未明确直角顶点，因此需要分类讨论：排除∠B为直角的可能（已算出∠B为锐角），分别讨论直角顶点为D、直角顶点为A的两种情况，结合三角形内角和定理计算∠ADB的度数即可。
【解析】
解：
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-100°)÷2=40°
∵△ABD为直角三角形，分两种情况讨论：
① 当∠ADB=90°时，△ABD为直角三角形，此时∠ADB=90°，符合题意；
② 当∠BAD=90°时，在△ABD中，根据三角形内角和为180°可得：
∠ADB=180°-∠B-∠BAD=180°-40°-90°=50°
（注：∠ABD=40°，不可能为直角，故无第三种情况）
综上，∠ADB的度数为90°或50°。
【答案】
90°或50°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题核心考查等腰三角形性质与三角形内角和的综合应用，解题的易错点是忽略直角顶点的不确定性，未分类讨论导致漏解，做题时遇到未明确直角顶点的直角三角形相关问题，要先考虑所有可能的直角情况，再逐一验证计算。
【难度系数】
0.7
4. 在活动课上,某同学用含$30°$角的直角三角尺设计风车.如图, $∠ C=90°, ∠ ABC=30°, AC=2$,将直角三角尺绕点A逆时针旋转得到$△ AB'C'$,使点$C'$落在AB边上,此时B与$B'$两点间的距离为
4
.答案
4.4
解析
【分析】
解题思路如下：首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。第一步先在原Rt△ABC中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AB的长度；第二步根据旋转性质得到AB=AB'，且旋转角∠BAB'等于原三角形的∠BAC，计算出∠BAC为60°，即可判断△ABB'是等边三角形，进而得到B与B'的距离。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AB=2AC=2×2=4。
由旋转的性质可知：AB'=AB=4，∠B'AB=∠BAC。
∵∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠B'AB=60°，
∴△ABB'是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴BB'=AB=4。
【答案】
4
【知识点】
旋转的性质；直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是抓住旋转前后图形的不变量，结合特殊三角形的性质求解，解题时要注意先梳理已知条件，结合图形特征选择合适的性质定理。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先回忆旋转的性质：旋转前后对应边相等、对应角相等、旋转角相等。第一步先在原Rt△ABC中，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质求出AB的长度；第二步根据旋转性质得到AB=AB'，且旋转角∠BAB'等于原三角形的∠BAC，计算出∠BAC为60°，即可判断△ABB'是等边三角形，进而得到B与B'的距离。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，
根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
AB=2AC=2×2=4。
由旋转的性质可知：AB'=AB=4，∠B'AB=∠BAC。
∵∠BAC=90°-∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠B'AB=60°，
∴△ABB'是有一个内角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴BB'=AB=4。
【答案】
4
【知识点】
旋转的性质；直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是抓住旋转前后图形的不变量，结合特殊三角形的性质求解，解题时要注意先梳理已知条件，结合图形特征选择合适的性质定理。
【难度系数】
0.7
三、解答题
1. 如图，在平面直角坐标系中，$A(-3,2),B(0,4),C(0,2)$。
(1)将$△ ABC$以点$C$为旋转中心旋转$180°$，画出旋转后对应的$△ A_1B_1C$；平移$△ ABC$，使点$A$的对应点$A_2$的坐标为$(0,-4)$，画出平移后对应的$△ A_2B_2C_2$。
(2)在$x$轴上有一点$P$，使得$PA+PB$的值最小，请直接写出点$P$的坐标。
1. 如图，在平面直角坐标系中，$A(-3,2),B(0,4),C(0,2)$。
(1)将$△ ABC$以点$C$为旋转中心旋转$180°$，画出旋转后对应的$△ A_1B_1C$；平移$△ ABC$，使点$A$的对应点$A_2$的坐标为$(0,-4)$，画出平移后对应的$△ A_2B_2C_2$。
(2)在$x$轴上有一点$P$，使得$PA+PB$的值最小，请直接写出点$P$的坐标。
答案
解：
(1) 作图：
① 以点C为旋转中心，将点A绕C旋转180°得A₁(3,2)，将点B绕C旋转180°得B₁(0,0)，连接A₁B₁、A₁C、B₁C，即可得到△A₁B₁C；
② 由A(-3,2)平移到A₂(0,-4)，可得平移规则为向右平移3个单位，向下平移6个单位，据此得到B₂(3,-2)，C₂(3,-4)，连接A₂B₂、B₂C₂、A₂C₂，即可得到△A₂B₂C₂。
(2) 点P的坐标为$(-2,0)$。
(1) 作图：
① 以点C为旋转中心，将点A绕C旋转180°得A₁(3,2)，将点B绕C旋转180°得B₁(0,0)，连接A₁B₁、A₁C、B₁C，即可得到△A₁B₁C；
② 由A(-3,2)平移到A₂(0,-4)，可得平移规则为向右平移3个单位，向下平移6个单位，据此得到B₂(3,-2)，C₂(3,-4)，连接A₂B₂、B₂C₂、A₂C₂，即可得到△A₂B₂C₂。
(2) 点P的坐标为$(-2,0)$。
解析
【分析】
(1) 旋转180°属于中心对称变换，旋转中心C是对应点连线的中点，据此可算出A、B绕C旋转180°后的对应点坐标，描点连线即可得到旋转后的三角形；平移变换需先根据A和A₂的坐标差确定平移规则，再将B、C按相同规则平移得到对应点，描点连线得到平移后的三角形。
(2) 属于“将军饮马”最短路径问题，利用轴对称的性质，作其中一个点关于x轴的对称点，连接对称点与另一个点，该直线与x轴的交点即为所求P点，通过求一次函数解析式即可算出交点坐标。
【解析】
(1) ① 旋转作图：已知旋转中心为C(0,2)，旋转180°后，对应点与C的中点为C：
点A(-3,2)的对应点A₁：横坐标为$0×2 - (-3)=3$，纵坐标为$2×2 - 2=2$，即A₁(3,2)；
点B(0,4)的对应点B₁：横坐标为$0×2 - 0=0$，纵坐标为$2×2 - 4=0$，即B₁(0,0)；
依次连接A₁、B₁、C三点，即得△A₁B₁C。
② 平移作图：由A(-3,2)平移到A₂(0,-4)，横坐标变化为$0 - (-3)=3$，纵坐标变化为$-4 - 2=-6$，即平移规则为：向右平移3个单位，向下平移6个单位；
按规则得B的对应点B₂：$(0+3,4-6)=(3,-2)$，C的对应点C₂：$(0+3,2-6)=(3,-4)$；
依次连接A₂、B₂、C₂三点，即得△A₂B₂C₂。
(2) 求点P坐标：
作点A关于x轴的对称点A'，则A'坐标为(-3,-2)，连接A'B，A'B与x轴的交点即为使PA+PB最小的点P（两点之间线段最短，PA=PA'，故PA+PB=PA'+PB，最小值为A'B的长度）。
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$，将A'(-3,-2)、B(0,4)代入解析式：
$\begin{cases}b=4 \\ -3k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2 \\ b=4\end{cases}$，即直线解析式为$y=2x+4$。
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，故P点坐标为(-2,0)。
【答案】
(1) 按上述步骤作图即可（△A₁B₁C顶点为A₁(3,2)、B₁(0,0)、C(0,2)；△A₂B₂C₂顶点为A₂(0,-4)、B₂(3,-2)、C₂(3,-4)）；
(2) $P(-2,0)$
【知识点】
中心对称变换，平移变换，轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的旋转、平移作图，以及利用轴对称性质解决最短路径问题，解题的核心是熟练掌握几何变换的坐标变化规律，以及“将军饮马”模型的应用方法。
【难度系数】
0.7
(1) 旋转180°属于中心对称变换，旋转中心C是对应点连线的中点，据此可算出A、B绕C旋转180°后的对应点坐标，描点连线即可得到旋转后的三角形；平移变换需先根据A和A₂的坐标差确定平移规则，再将B、C按相同规则平移得到对应点，描点连线得到平移后的三角形。
(2) 属于“将军饮马”最短路径问题，利用轴对称的性质，作其中一个点关于x轴的对称点，连接对称点与另一个点，该直线与x轴的交点即为所求P点，通过求一次函数解析式即可算出交点坐标。
【解析】
(1) ① 旋转作图：已知旋转中心为C(0,2)，旋转180°后，对应点与C的中点为C：
点A(-3,2)的对应点A₁：横坐标为$0×2 - (-3)=3$，纵坐标为$2×2 - 2=2$，即A₁(3,2)；
点B(0,4)的对应点B₁：横坐标为$0×2 - 0=0$，纵坐标为$2×2 - 4=0$，即B₁(0,0)；
依次连接A₁、B₁、C三点，即得△A₁B₁C。
② 平移作图：由A(-3,2)平移到A₂(0,-4)，横坐标变化为$0 - (-3)=3$，纵坐标变化为$-4 - 2=-6$，即平移规则为：向右平移3个单位，向下平移6个单位；
按规则得B的对应点B₂：$(0+3,4-6)=(3,-2)$，C的对应点C₂：$(0+3,2-6)=(3,-4)$；
依次连接A₂、B₂、C₂三点，即得△A₂B₂C₂。
(2) 求点P坐标：
作点A关于x轴的对称点A'，则A'坐标为(-3,-2)，连接A'B，A'B与x轴的交点即为使PA+PB最小的点P（两点之间线段最短，PA=PA'，故PA+PB=PA'+PB，最小值为A'B的长度）。
设直线A'B的解析式为$y=kx+b$，将A'(-3,-2)、B(0,4)代入解析式：
$\begin{cases}b=4 \\ -3k + b = -2\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=2 \\ b=4\end{cases}$，即直线解析式为$y=2x+4$。
令$y=0$，得$2x+4=0$，解得$x=-2$，故P点坐标为(-2,0)。
【答案】
(1) 按上述步骤作图即可（△A₁B₁C顶点为A₁(3,2)、B₁(0,0)、C(0,2)；△A₂B₂C₂顶点为A₂(0,-4)、B₂(3,-2)、C₂(3,-4)）；
(2) $P(-2,0)$
【知识点】
中心对称变换，平移变换，轴对称最短路径
【点评】
本题综合考查了平面直角坐标系中图形的旋转、平移作图，以及利用轴对称性质解决最短路径问题，解题的核心是熟练掌握几何变换的坐标变化规律，以及“将军饮马”模型的应用方法。
【难度系数】
0.7
2. 如图,在△ABC中,点E在AB上,点D在BC上,BD=BE,∠BAD=∠BCE,AD与CE相交于点F.
求证:(1)△BAD≌△BCE.
(2)△AFC是等腰三角形.
求证:(1)△BAD≌△BCE.
(2)△AFC是等腰三角形.
答案
证明：
(1) 在$△ BAD$和$△ BCE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAD = ∠ BCE \\∠ B = ∠ B \\BD = BE\end{array} $
$\therefore △ BAD ≌ △ BCE$（AAS）
(2) $\because △ BAD ≌ △ BCE$，
$\therefore BA = BC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$，
又$\because ∠ BAD = ∠ BCE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$，
即$∠ FAC = ∠ FCA$，
$\therefore AF = CF$，
$\therefore △ AFC$是等腰三角形。
(1) 在$△ BAD$和$△ BCE$中，
$\{\begin{array}{l}∠ BAD = ∠ BCE \\∠ B = ∠ B \\BD = BE\end{array} $
$\therefore △ BAD ≌ △ BCE$（AAS）
(2) $\because △ BAD ≌ △ BCE$，
$\therefore BA = BC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$，
又$\because ∠ BAD = ∠ BCE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$，
即$∠ FAC = ∠ FCA$，
$\therefore AF = CF$，
$\therefore △ AFC$是等腰三角形。
解析
【分析】
（1）要证明$△ BAD≌△ BCE$，先梳理已知条件：题目给出$∠ BAD=∠ BCE$、$BD=BE$，且两个三角形共享公共角$∠ B$，刚好符合AAS的全等判定条件，可直接证明全等。
（2）要证明$△ AFC$是等腰三角形，核心是证明两条边相等或两个底角相等。首先利用第（1）问的全等结论得到$BA=BC$，根据等边对等角得$∠ BAC=∠ BCA$，再结合已知的$∠ BAD=∠ BCE$，通过角的差运算即可推出$∠ FAC=∠ FCA$，最后根据等角对等边就能判定$△ AFC$是等腰三角形。
【解析】
(1) 证明$△ BAD≌△ BCE$：
在$△ BAD$和$△ BCE$中，有3组对应相等的元素：已知$∠ BAD = ∠ BCE$，$∠ B$是两个三角形的公共角故相等，还有已知条件$BD = BE$，满足角角边（AAS）的全等判定规则，因此可证明两个三角形全等。
(2) 证明$△ AFC$是等腰三角形：
由全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，可得$BA=BC$，再由等边对等角可知$∠ BAC=∠ BCA$；已知$∠ BAD=∠ BCE$，根据等式的性质，两个相等的角分别减去相等的角，差仍相等，因此$∠ BAC-∠ BAD=∠ BCA-∠ BCE$，即$∠ FAC=∠ FCA$，最后由等角对等边得$AF=CF$，因此$△ AFC$是等腰三角形。
【答案】
证明：
(1) 在$△ BAD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ BCE \\∠ B = ∠ B \\BD = BE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ BCE$（AAS）
(2) $\because △ BAD ≌ △ BCE$，
$\therefore BA = BC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$，
又$\because ∠ BAD = ∠ BCE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$，
即$∠ FAC = ∠ FCA$，
$\therefore AF = CF$，
$\therefore △ AFC$是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察三角形全等和等腰三角形的相关基础定理，解题的关键是合理利用公共角、全等性质完成角的等量代换，对锻炼基础逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.85
（1）要证明$△ BAD≌△ BCE$，先梳理已知条件：题目给出$∠ BAD=∠ BCE$、$BD=BE$，且两个三角形共享公共角$∠ B$，刚好符合AAS的全等判定条件，可直接证明全等。
（2）要证明$△ AFC$是等腰三角形，核心是证明两条边相等或两个底角相等。首先利用第（1）问的全等结论得到$BA=BC$，根据等边对等角得$∠ BAC=∠ BCA$，再结合已知的$∠ BAD=∠ BCE$，通过角的差运算即可推出$∠ FAC=∠ FCA$，最后根据等角对等边就能判定$△ AFC$是等腰三角形。
【解析】
(1) 证明$△ BAD≌△ BCE$：
在$△ BAD$和$△ BCE$中，有3组对应相等的元素：已知$∠ BAD = ∠ BCE$，$∠ B$是两个三角形的公共角故相等，还有已知条件$BD = BE$，满足角角边（AAS）的全等判定规则，因此可证明两个三角形全等。
(2) 证明$△ AFC$是等腰三角形：
由全等三角形的性质，全等三角形对应边相等，可得$BA=BC$，再由等边对等角可知$∠ BAC=∠ BCA$；已知$∠ BAD=∠ BCE$，根据等式的性质，两个相等的角分别减去相等的角，差仍相等，因此$∠ BAC-∠ BAD=∠ BCA-∠ BCE$，即$∠ FAC=∠ FCA$，最后由等角对等边得$AF=CF$，因此$△ AFC$是等腰三角形。
【答案】
证明：
(1) 在$△ BAD$和$△ BCE$中，
$\begin{cases}∠ BAD = ∠ BCE \\∠ B = ∠ B \\BD = BE\end{cases}$
$\therefore △ BAD ≌ △ BCE$（AAS）
(2) $\because △ BAD ≌ △ BCE$，
$\therefore BA = BC$，
$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$，
又$\because ∠ BAD = ∠ BCE$，
$\therefore ∠ BAC - ∠ BAD = ∠ BCA - ∠ BCE$，
即$∠ FAC = ∠ FCA$，
$\therefore AF = CF$，
$\therefore △ AFC$是等腰三角形。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考察三角形全等和等腰三角形的相关基础定理，解题的关键是合理利用公共角、全等性质完成角的等量代换，对锻炼基础逻辑推理能力有很大帮助。
【难度系数】
0.85
