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27. 已知二元一次方程组$\begin{cases}2x + y = 5 - m, \\x + 2y = 4 + m,\end{cases}$则$x + y$的值为 ______ 。
答案
27.3
解析
【分析】
本题求x+y的整体值，无需单独求解x和y。观察方程组系数可发现：两个方程中x的系数和为3，y的系数和也为3，且方程右侧含m的项相加后会相互抵消。因此我们可以直接将两个方程左右两边分别相加，得到含x+y的等式，再化简计算即可，比分别解x、y更简便。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}2x + y = 5 - m&① \\x + 2y = 4 + m&② \end{cases}$
将①和②左右两边同时相加，得：
$(2x+y)+(x+2y)=(5-m)+(4+m)$
左边合并同类项得$3x+3y$，右边计算得$9$（$-m$和$+m$抵消），即：
$3(x+y)=9$
等式两边同时除以3，得：
$x+y=3$
【答案】
3
【知识点】
加减消元法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组求值的典型题型，核心是观察方程系数特征，运用整体思想简化计算，避免硬解方程组浪费时间，能很好地检验学生的观察能力和灵活解题能力。
【难度系数】
0.7
本题求x+y的整体值，无需单独求解x和y。观察方程组系数可发现：两个方程中x的系数和为3，y的系数和也为3，且方程右侧含m的项相加后会相互抵消。因此我们可以直接将两个方程左右两边分别相加，得到含x+y的等式，再化简计算即可，比分别解x、y更简便。
【解析】
解：记方程组为$\begin{cases}2x + y = 5 - m&① \\x + 2y = 4 + m&② \end{cases}$
将①和②左右两边同时相加，得：
$(2x+y)+(x+2y)=(5-m)+(4+m)$
左边合并同类项得$3x+3y$，右边计算得$9$（$-m$和$+m$抵消），即：
$3(x+y)=9$
等式两边同时除以3，得：
$x+y=3$
【答案】
3
【知识点】
加减消元法，整体思想
【点评】
本题是二元一次方程组求值的典型题型，核心是观察方程系数特征，运用整体思想简化计算，避免硬解方程组浪费时间，能很好地检验学生的观察能力和灵活解题能力。
【难度系数】
0.7
三、解答题
28. 用加减消元法解方程组：$\begin{cases}3x + y = 2, \\x - 2y = 3.\end{cases}$
28. 用加减消元法解方程组：$\begin{cases}3x + y = 2, \\x - 2y = 3.\end{cases}$
答案
28.解：$\begin{cases}3x + y = 2, \quad ① \\ x - 2y = 3, \quad ②\end{cases}$
$①×2$，可得$6x + 2y = 4 \quad ③.$
$②+③$，可得$7x = 7$，解得$x = 1.$
把$x = 1$代入①，可得$3×1 + y = 2$，解得$y = -1.$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\ y = -1.\end{cases}$
$①×2$，可得$6x + 2y = 4 \quad ③.$
$②+③$，可得$7x = 7$，解得$x = 1.$
把$x = 1$代入①，可得$3×1 + y = 2$，解得$y = -1.$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 1, \\ y = -1.\end{cases}$
解析
【分析】
本题要求用加减消元法解二元一次方程组，核心思路是通过消去一个未知数，将二元方程组转化为一元一次方程求解。首先观察两个方程中未知数的系数，y的系数分别为1和-2，因此将第一个方程乘2，可使y的系数变为2，与第二个方程中y的系数-2互为相反数，将两个方程相加即可消去y，先求出x的值，再将x代入原方程求出y的值即可。
【解析】
$\begin{cases}3x + y = 2, \quad ① \\ x - 2y = 3. \quad ②\end{cases}$
$①×2$，可得$6x + 2y = 4 \quad ③$
$②+③$，可得$7x = 7$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入①，可得$3×1 + y = 2$，解得$y = -1$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，解二元一次方程组，代入求值
【点评】
本题是解二元一次方程组的基础常规题型，重点考查加减消元法的应用，解题关键是观察未知数的系数特点，选择合适的倍数乘方程实现消元，将陌生的二元问题转化为已掌握的一元一次方程求解，掌握消元逻辑是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
本题要求用加减消元法解二元一次方程组，核心思路是通过消去一个未知数，将二元方程组转化为一元一次方程求解。首先观察两个方程中未知数的系数，y的系数分别为1和-2，因此将第一个方程乘2，可使y的系数变为2，与第二个方程中y的系数-2互为相反数，将两个方程相加即可消去y，先求出x的值，再将x代入原方程求出y的值即可。
【解析】
$\begin{cases}3x + y = 2, \quad ① \\ x - 2y = 3. \quad ②\end{cases}$
$①×2$，可得$6x + 2y = 4 \quad ③$
$②+③$，可得$7x = 7$，解得$x = 1$
把$x = 1$代入①，可得$3×1 + y = 2$，解得$y = -1$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = 1 \\ y = -1\end{cases}$
【知识点】
加减消元法，解二元一次方程组，代入求值
【点评】
本题是解二元一次方程组的基础常规题型，重点考查加减消元法的应用，解题关键是观察未知数的系数特点，选择合适的倍数乘方程实现消元，将陌生的二元问题转化为已掌握的一元一次方程求解，掌握消元逻辑是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
29. 解方程组：$\begin{cases} 3x + 2y = 8, \\ y = x - 1. \end{cases}$
答案
29.解：$\begin{cases}3x + 2y = 8, \quad ① \\ y = x - 1, \quad ②\end{cases}$
把②代入①，得$3x + 2(x - 1) = 8$，解得$x = 2.$
把$x = 2$代入②，得$y = 2 - 1 = 1.$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1.\end{cases}$
把②代入①，得$3x + 2(x - 1) = 8$，解得$x = 2.$
把$x = 2$代入②，得$y = 2 - 1 = 1.$
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1.\end{cases}$
解析
【分析】
观察该二元一次方程组的结构，第二个方程已经直接给出了y关于x的表达式，因此选择代入消元法求解最为简便。解题思路为：首先将第二个方程代入第一个方程，消去未知数y，得到仅含x的一元一次方程，求解得到x的值；再将x的值代入第二个方程求出y的值，最终写出方程组的解即可。
【解析】
先对两个方程标注序号：
$\begin{cases}3x + 2y = 8, \quad ① \\ y = x - 1, \quad ②\end{cases}$
把②代入①，得$3x + 2(x - 1) = 8$，
展开括号、合并同类项后得$5x = 10$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入②，得$y = 2 - 1 = 1$。
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，解一元一次方程，二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查代入消元法的应用，解题核心是先观察方程组的特征选择合适的消元方法，本题运算量小，只要计算过程细心就能得到正确结果。
【难度系数】
0.9
观察该二元一次方程组的结构，第二个方程已经直接给出了y关于x的表达式，因此选择代入消元法求解最为简便。解题思路为：首先将第二个方程代入第一个方程，消去未知数y，得到仅含x的一元一次方程，求解得到x的值；再将x的值代入第二个方程求出y的值，最终写出方程组的解即可。
【解析】
先对两个方程标注序号：
$\begin{cases}3x + 2y = 8, \quad ① \\ y = x - 1, \quad ②\end{cases}$
把②代入①，得$3x + 2(x - 1) = 8$，
展开括号、合并同类项后得$5x = 10$，解得$x = 2$。
把$x = 2$代入②，得$y = 2 - 1 = 1$。
$\therefore$ 方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1.\end{cases}$
【答案】
$\begin{cases}x = 2, \\ y = 1.\end{cases}$
【知识点】
代入消元法，解一元一次方程，二元一次方程组的解
【点评】
本题是二元一次方程组求解的基础题型，重点考查代入消元法的应用，解题核心是先观察方程组的特征选择合适的消元方法，本题运算量小，只要计算过程细心就能得到正确结果。
【难度系数】
0.9
30. 某水务公司准备购进 A 型和 B 型两种设备，用于雨水和生产用水的收集与重复使用. 若购进 A 型设备 3 台、B 型设备 1 台，则共需 97 万元；若购进 A 型设备 2 台、B 型设备 3 台，则共需 116 万元. A 型设备和 B 型设备每台各多少万元?
答案
30.解：设A型设备每台$x$万元，B型设备每台$y$万元.
根据题意，得$\begin{cases}3x + y = 97, \\ 2x + 3y = 116,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 25, \\ y = 22.\end{cases}$
答：A型设备每台25万元，B型设备每台22万元.
根据题意，得$\begin{cases}3x + y = 97, \\ 2x + 3y = 116,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 25, \\ y = 22.\end{cases}$
答：A型设备每台25万元，B型设备每台22万元.
解析
【分析】
这道题是利用二元一次方程组解决实际购买费用的问题，解题时首先明确有两个未知量：A型设备和B型设备的单价，因此可以分别设两个未知数表示这两个单价。接下来从题干给出的两种购买方案中提取等量关系：①3台A型设备的总费用+1台B型设备的总费用=97万元；②2台A型设备的总费用+3台B型设备的总费用=116万元，根据这两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法或加减消元法解方程组即可得到两种设备的单价。
【解析】
解：设A型设备每台$x$万元，B型设备每台$y$万元。
根据题意，得：
$\begin{cases}3x + y = 97&① \\ 2x + 3y = 116&②\end{cases}$
由①式得：$y=97-3x$ ③
将③代入②式：
$2x+3×(97-3x)=116$
$2x+291-9x=116$
$-7x=-175$
$x=25$
把$x=25$代入③式，得$y=97-3×25=22$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=25 \\ y=22\end{cases}$
答：A型设备每台25万元，B型设备每台22万元。
【答案】
A型设备每台25万元，B型设备每台22万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的方程类实际应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找到对应的等量关系列出方程组，计算过程简单，掌握基础的方程组解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
这道题是利用二元一次方程组解决实际购买费用的问题，解题时首先明确有两个未知量：A型设备和B型设备的单价，因此可以分别设两个未知数表示这两个单价。接下来从题干给出的两种购买方案中提取等量关系：①3台A型设备的总费用+1台B型设备的总费用=97万元；②2台A型设备的总费用+3台B型设备的总费用=116万元，根据这两个等量关系列出二元一次方程组，再用代入消元法或加减消元法解方程组即可得到两种设备的单价。
【解析】
解：设A型设备每台$x$万元，B型设备每台$y$万元。
根据题意，得：
$\begin{cases}3x + y = 97&① \\ 2x + 3y = 116&②\end{cases}$
由①式得：$y=97-3x$ ③
将③代入②式：
$2x+3×(97-3x)=116$
$2x+291-9x=116$
$-7x=-175$
$x=25$
把$x=25$代入③式，得$y=97-3×25=22$
所以方程组的解为$\begin{cases}x=25 \\ y=22\end{cases}$
答：A型设备每台25万元，B型设备每台22万元。
【答案】
A型设备每台25万元，B型设备每台22万元。
【知识点】
二元一次方程组的应用，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础的方程类实际应用题，解题核心是准确梳理题干中的数量关系，找到对应的等量关系列出方程组，计算过程简单，掌握基础的方程组解法即可顺利作答。
【难度系数】
0.8
