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17. 给出以下方程组：①$\begin{cases}x+y=-2z, \\ y+z=3,\end{cases}$②$\begin{cases}2x+\dfrac{1}{y}=1, \\ x-3y=0,\end{cases}$③$\begin{cases}3x-y=4, \\ y=4-x,\end{cases}$其中是二元一次方程组的为（ ）
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
A.①②
B.②③
C.①③
D.③
答案
17.D
解析
【分析】
要判断给出的方程组是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的三个核心判定条件：一是方程组中总共仅含有2个不同的未知数；二是方程组中的每个方程都是整式方程（未知数不能出现在分母位置）；三是每个方程中含未知数的项的次数均为1。我们按照这三个条件逐一验证三个方程组，即可得出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
我们对三个方程组逐一分析：
1. 分析方程组①：第一个方程含有x、y、z三个未知数，第二个方程含有y、z两个未知数，整个方程组共含3个未知数，不满足“二元”的要求，因此①不是二元一次方程组。
2. 分析方程组②：第一个方程中的$\frac{1}{y}$分母含有未知数y，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，因此②不是二元一次方程组。
3. 分析方程组③：两个方程都只含有x、y两个未知数，均为整式方程，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，因此③是二元一次方程组。
综上，只有③是二元一次方程组，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的定义；整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略统计方程组的总未知数个数，或者误将含未知数在分母的分式方程判定为整式方程，只要紧扣二元一次方程组的三个判定要点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断给出的方程组是否为二元一次方程组，首先要明确二元一次方程组的三个核心判定条件：一是方程组中总共仅含有2个不同的未知数；二是方程组中的每个方程都是整式方程（未知数不能出现在分母位置）；三是每个方程中含未知数的项的次数均为1。我们按照这三个条件逐一验证三个方程组，即可得出正确答案。
【解析】
首先明确二元一次方程组的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的整式方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
我们对三个方程组逐一分析：
1. 分析方程组①：第一个方程含有x、y、z三个未知数，第二个方程含有y、z两个未知数，整个方程组共含3个未知数，不满足“二元”的要求，因此①不是二元一次方程组。
2. 分析方程组②：第一个方程中的$\frac{1}{y}$分母含有未知数y，属于分式方程，不满足“整式方程”的要求，因此②不是二元一次方程组。
3. 分析方程组③：两个方程都只含有x、y两个未知数，均为整式方程，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，因此③是二元一次方程组。
综上，只有③是二元一次方程组，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
二元一次方程组的定义；整式方程的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易忽略统计方程组的总未知数个数，或者误将含未知数在分母的分式方程判定为整式方程，只要紧扣二元一次方程组的三个判定要点即可快速解题。
【难度系数】
0.8
18. 已知方程组$\begin{cases}4x + y = 4, \quad ① \\2x - 3y = -6, \quad ②\end{cases}$ 下列步骤可以消去未知数$y$的是（ ）
A.①$-$②$× 2$
B.①$× 3 +$②
C.①$+$②$× 2$
D.①$× 3 -$②
A.①$-$②$× 2$
B.①$× 3 +$②
C.①$+$②$× 2$
D.①$× 3 -$②
答案
18.B
解析
【分析】
这道题考查用加减消元法消去二元一次方程组中指定未知数的方法。解题思路如下：首先明确消元目标是消去y，先观察两个方程中y的系数：方程①中y的系数是1，方程②中y的系数是-3，要消去y，需要让两个方程中y的系数变成互为相反数或者相等，再通过加减运算抵消y。要让①中y的系数变成和②中y的系数绝对值相等，可将①乘3，此时①的y系数变为3，和②中y的系数-3互为相反数，将变形后的①和②相加即可消去y，最后逐一验证选项即可找到正确答案。
【解析】
我们根据加减消元法的规则逐一判断选项：
1. 选项A：①$-$②$×2$
先计算②$×2$得$4x-6y=-12$，再用①减去该式：$(4x+y)-(4x-6y)=4-(-12)$，化简得$7y=16$，未消去y，该选项错误。
2. 选项B：①$×3+$②
先计算①$×3$得$12x+3y=12$，再和②相加：$(12x+3y)+(2x-3y)=12+(-6)$，化简得$14x=6$，y项完全抵消，成功消去y，该选项正确。
3. 选项C：①$+$②$×2$
先计算②$×2$得$4x-6y=-12$，再和①相加：$(4x+y)+(4x-6y)=4+(-12)$，化简得$8x-5y=-8$，未消去y，该选项错误。
4. 选项D：①$×3-$②
先计算①$×3$得$12x+3y=12$，再减去②：$(12x+3y)-(2x-3y)=12-(-6)$，化简得$10x+6y=18$，未消去y，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用，解题核心是根据要消去的未知数的系数特征，合理调整对应方程的系数，使该未知数的系数绝对值相等后再进行加减运算即可完成消元。
【难度系数】
0.8
这道题考查用加减消元法消去二元一次方程组中指定未知数的方法。解题思路如下：首先明确消元目标是消去y，先观察两个方程中y的系数：方程①中y的系数是1，方程②中y的系数是-3，要消去y，需要让两个方程中y的系数变成互为相反数或者相等，再通过加减运算抵消y。要让①中y的系数变成和②中y的系数绝对值相等，可将①乘3，此时①的y系数变为3，和②中y的系数-3互为相反数，将变形后的①和②相加即可消去y，最后逐一验证选项即可找到正确答案。
【解析】
我们根据加减消元法的规则逐一判断选项：
1. 选项A：①$-$②$×2$
先计算②$×2$得$4x-6y=-12$，再用①减去该式：$(4x+y)-(4x-6y)=4-(-12)$，化简得$7y=16$，未消去y，该选项错误。
2. 选项B：①$×3+$②
先计算①$×3$得$12x+3y=12$，再和②相加：$(12x+3y)+(2x-3y)=12+(-6)$，化简得$14x=6$，y项完全抵消，成功消去y，该选项正确。
3. 选项C：①$+$②$×2$
先计算②$×2$得$4x-6y=-12$，再和①相加：$(4x+y)+(4x-6y)=4+(-12)$，化简得$8x-5y=-8$，未消去y，该选项错误。
4. 选项D：①$×3-$②
先计算①$×3$得$12x+3y=12$，再减去②：$(12x+3y)-(2x-3y)=12-(-6)$，化简得$10x+6y=18$，未消去y，该选项错误。
【答案】
B
【知识点】
加减消元法；二元一次方程组的解法
【点评】
本题是加减消元法的基础应用，解题核心是根据要消去的未知数的系数特征，合理调整对应方程的系数，使该未知数的系数绝对值相等后再进行加减运算即可完成消元。
【难度系数】
0.8
19. 已知$\begin{cases}a + 2b = 5, \\ 2a + b = 4\end{cases}$是关于a，b的二元一次方程组，则$5a + 5b$的值是（ ）
A.15
B.3
C.9
D.12
A.15
B.3
C.9
D.12
答案
19.A
解析
【分析】
解题时可以有两种思路：思路一：先求解二元一次方程组得到a、b的具体值，再代入代数式5a+5b计算结果；思路二：观察所求代数式可变形为5(a+b)，因此可尝试将两个方程相加，直接得到a+b的整体值，用整体代入法计算更简便。
【解析】
方法一（整体代入法）：
记$\begin{cases}a + 2b = 5&① \\ 2a + b = 4&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$a+2b+2a+b=3a+3b$，右边相加得：$5+4=9$
即$3a+3b=9$，两边同时除以3得：$a+b=3$
对$5a+5b$提取公因式得：$5a+5b=5(a+b)$，将$a+b=3$代入得：$5×3=15$。
方法二（求解后代入法）：
记$\begin{cases}a + 2b = 5&① \\ 2a + b = 4&②\end{cases}$
由①得：$a=5-2b$，将其代入②得：$2(5-2b)+b=4$
展开计算：$10-4b+b=4$，合并同类项得：$10-3b=4$
移项得：$-3b=4-10=-6$，解得$b=2$
将$b=2$代入$a=5-2b$得：$a=5-2×2=1$
将$a=1,b=2$代入$5a+5b$得：$5×1+5×2=5+10=15$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组求解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，既可以通过常规解方程组的方法计算，也可以观察代数式和方程组的特征，用整体代入的方法简化运算，解题时可多观察题干特征，选择更高效的解法。
【难度系数】
0.8
解题时可以有两种思路：思路一：先求解二元一次方程组得到a、b的具体值，再代入代数式5a+5b计算结果；思路二：观察所求代数式可变形为5(a+b)，因此可尝试将两个方程相加，直接得到a+b的整体值，用整体代入法计算更简便。
【解析】
方法一（整体代入法）：
记$\begin{cases}a + 2b = 5&① \\ 2a + b = 4&②\end{cases}$
将①+②，左边相加得：$a+2b+2a+b=3a+3b$，右边相加得：$5+4=9$
即$3a+3b=9$，两边同时除以3得：$a+b=3$
对$5a+5b$提取公因式得：$5a+5b=5(a+b)$，将$a+b=3$代入得：$5×3=15$。
方法二（求解后代入法）：
记$\begin{cases}a + 2b = 5&① \\ 2a + b = 4&②\end{cases}$
由①得：$a=5-2b$，将其代入②得：$2(5-2b)+b=4$
展开计算：$10-4b+b=4$，合并同类项得：$10-3b=4$
移项得：$-3b=4-10=-6$，解得$b=2$
将$b=2$代入$a=5-2b$得：$a=5-2×2=1$
将$a=1,b=2$代入$5a+5b$得：$5×1+5×2=5+10=15$。
【答案】
A
【知识点】
二元一次方程组求解；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题属于基础题，既可以通过常规解方程组的方法计算，也可以观察代数式和方程组的特征，用整体代入的方法简化运算，解题时可多观察题干特征，选择更高效的解法。
【难度系数】
0.8
20. 甲、乙两地相距880 km，小轿车从甲地出发2 h后，大客车从乙地出发相向而行，又经过4 h两车相遇。已知小轿车比大客车每小时多行20 km，设大客车每小时行x km，小轿车每小时行y km，则可列方程组为（
A.$\begin{cases} x - y = 20, \\ 6x + 4y = 880 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y - x = 20, \\ 6y + 4x = 880 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 880, \\ 6y + 4x = 20 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y - x = 20, \\ 4y + 6x = 880 \end{cases}$
B
）A.$\begin{cases} x - y = 20, \\ 6x + 4y = 880 \end{cases}$
B.$\begin{cases} y - x = 20, \\ 6y + 4x = 880 \end{cases}$
C.$\begin{cases} y - x = 880, \\ 6y + 4x = 20 \end{cases}$
D.$\begin{cases} y - x = 20, \\ 4y + 6x = 880 \end{cases}$
答案
20.B
解析
【分析】
要列二元一次方程组，需先从题干中提取两个核心等量关系：一是两车的速度差关系，二是两车行驶总路程等于甲乙两地的距离。首先处理速度关系：已知小轿车比大客车每小时多行20km，可直接得到速度的等量式。再处理路程关系：先明确两车各自的行驶时间，小轿车先出发2小时，之后共同行驶4小时相遇，因此小轿车总行驶时间是2+4=6小时，大客车从出发到相遇仅行驶了4小时，再根据“路程=速度×时间”，两车行驶路程之和等于总路程880km，即可得到第二个等量式，最后对应选项判断即可。
【解析】
第一步：根据速度差列第一个方程
已知小轿车比大客车每小时多行20 km，大客车速度为x km/h，小轿车速度为y km/h，因此可得：
$y - x = 20$，由此可排除速度差写反的A选项、数值对应完全错误的C选项。
第二步：计算两车行驶时间，根据总路程列第二个方程
小轿车先出发2h，之后又经过4h相遇，因此小轿车一共行驶了$2+4=6$h，行驶的路程为$6y$ km；
大客车从出发到相遇共行驶了4h，行驶的路程为$4x$ km；
两车相向而行总路程为880km，因此路程和满足：$6y + 4x = 880$，可排除两车路程对应错误的D选项。
第三步：联立两个方程，得到方程组为$\begin{cases} y - x = 20, \\ 6y + 4x = 880 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组应用 2. 相遇行程问题 3. 路程公式
【点评】
本题是行程相遇类的方程组列法基础题，解题核心是准确找到两个等量关系，尤其注意不要混淆两车的行驶时间和速度的大小关系，细心审题即可得分。
【难度系数】
0.7
要列二元一次方程组，需先从题干中提取两个核心等量关系：一是两车的速度差关系，二是两车行驶总路程等于甲乙两地的距离。首先处理速度关系：已知小轿车比大客车每小时多行20km，可直接得到速度的等量式。再处理路程关系：先明确两车各自的行驶时间，小轿车先出发2小时，之后共同行驶4小时相遇，因此小轿车总行驶时间是2+4=6小时，大客车从出发到相遇仅行驶了4小时，再根据“路程=速度×时间”，两车行驶路程之和等于总路程880km，即可得到第二个等量式，最后对应选项判断即可。
【解析】
第一步：根据速度差列第一个方程
已知小轿车比大客车每小时多行20 km，大客车速度为x km/h，小轿车速度为y km/h，因此可得：
$y - x = 20$，由此可排除速度差写反的A选项、数值对应完全错误的C选项。
第二步：计算两车行驶时间，根据总路程列第二个方程
小轿车先出发2h，之后又经过4h相遇，因此小轿车一共行驶了$2+4=6$h，行驶的路程为$6y$ km；
大客车从出发到相遇共行驶了4h，行驶的路程为$4x$ km；
两车相向而行总路程为880km，因此路程和满足：$6y + 4x = 880$，可排除两车路程对应错误的D选项。
第三步：联立两个方程，得到方程组为$\begin{cases} y - x = 20, \\ 6y + 4x = 880 \end{cases}$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 二元一次方程组应用 2. 相遇行程问题 3. 路程公式
【点评】
本题是行程相遇类的方程组列法基础题，解题核心是准确找到两个等量关系，尤其注意不要混淆两车的行驶时间和速度的大小关系，细心审题即可得分。
【难度系数】
0.7
21. 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x - 2y = ak, \\ 2x + y = k + 1,\end{cases}$不论$k$取什么实数，$3x + 4y$的值始终不变，则$a$的值为（ ）
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$2$
答案
21.D 【解析】$\because \begin{cases} x - 2y = ak, \quad ① \\ 2x + y = k + 1, \quad ② \end{cases}$
$\therefore ②×2 - ①,得 3x + 4y = 2k + 2 - ak = (2 - a)k + 2.$
$\because$ 不论$k$取什么实数，$3x + 4y$的值始终不变，$\therefore 2 - a = 0$，解得$a = 2$，故选D.
$\therefore ②×2 - ①,得 3x + 4y = 2k + 2 - ak = (2 - a)k + 2.$
$\because$ 不论$k$取什么实数，$3x + 4y$的值始终不变，$\therefore 2 - a = 0$，解得$a = 2$，故选D.
解析
【分析】
解题目标是求a的值，已知条件为无论k取何实数，3x+4y的值固定不变。首先我们需要通过已知的方程组，用加减消元的方法构造出3x+4y的表达式，将其用含k和a的式子表示。由于3x+4y的值与k无关，说明表达式中k的系数必须为0，这样无论k如何变化，整个式子的值都不会改变，最后据此列方程求解a即可。
【解析】
记方程组中的两个方程为：
$\begin{cases} x - 2y = ak \quad ① \\ 2x + y = k + 1 \quad ② \end{cases}$
将②式两边同时乘2，得：$4x + 2y = 2k + 2$ ③
用③式减去①式，左边化简得$3x+4y$，右边化简得$(2-a)k+2$，因此可得：
$3x+4y=(2-a)k+2$
因为不论k取任何实数，$3x+4y$的值始终不变，即式子的值与k无关，所以k的系数为0，列方程得：
$2-a=0$
解得$a=2$。
【答案】
D
【知识点】
1.加减消元法 2.代数式恒值条件
【点评】
本题属于二元一次方程组的变形应用题，解题核心是通过加减消元凑出目标代数式，再利用“代数式值与某参数无关则该参数的系数为0”的性质求解参数，掌握这两个要点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题目标是求a的值，已知条件为无论k取何实数，3x+4y的值固定不变。首先我们需要通过已知的方程组，用加减消元的方法构造出3x+4y的表达式，将其用含k和a的式子表示。由于3x+4y的值与k无关，说明表达式中k的系数必须为0，这样无论k如何变化，整个式子的值都不会改变，最后据此列方程求解a即可。
【解析】
记方程组中的两个方程为：
$\begin{cases} x - 2y = ak \quad ① \\ 2x + y = k + 1 \quad ② \end{cases}$
将②式两边同时乘2，得：$4x + 2y = 2k + 2$ ③
用③式减去①式，左边化简得$3x+4y$，右边化简得$(2-a)k+2$，因此可得：
$3x+4y=(2-a)k+2$
因为不论k取任何实数，$3x+4y$的值始终不变，即式子的值与k无关，所以k的系数为0，列方程得：
$2-a=0$
解得$a=2$。
【答案】
D
【知识点】
1.加减消元法 2.代数式恒值条件
【点评】
本题属于二元一次方程组的变形应用题，解题核心是通过加减消元凑出目标代数式，再利用“代数式值与某参数无关则该参数的系数为0”的性质求解参数，掌握这两个要点即可快速解题。
【难度系数】
0.7
二、填空题
22. 若$3x^{|a-1|}+(a-2)y=-1$是关于x，y的二元一次方程，则$a=$
22. 若$3x^{|a-1|}+(a-2)y=-1$是关于x，y的二元一次方程，则$a=$
0
。答案
22.0
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是方程需含有2个不同的未知数，因此两个未知数的系数都不能为0；二是所有含未知数的项的次数都为1。我们可以先根据x的次数为1列出关于a的绝对值方程，求出a的可能取值，再根据y的系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
已知$3x^{|a-1|}+(a-2)y=-1$是关于x，y的二元一次方程，需同时满足以下条件：
1. 含未知数的项的次数为1：即x的次数$|a-1|=1$，
解绝对值方程可得：$a-1=1$或$a-1=-1$，
解得$a=2$或$a=0$；
2. 方程含有两个未知数，即y的系数不能为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合上述条件，排除$a=2$，最终得$a=0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题主要考查对二元一次方程概念的掌握，解题时容易遗漏“未知数的系数不能为0”的隐含条件，导致错填2，牢记概念的全部限制要求是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先要明确二元一次方程的核心要求：一是方程需含有2个不同的未知数，因此两个未知数的系数都不能为0；二是所有含未知数的项的次数都为1。我们可以先根据x的次数为1列出关于a的绝对值方程，求出a的可能取值，再根据y的系数不为0的要求排除不符合的取值，即可得到正确的a值。
【解析】
已知$3x^{|a-1|}+(a-2)y=-1$是关于x，y的二元一次方程，需同时满足以下条件：
1. 含未知数的项的次数为1：即x的次数$|a-1|=1$，
解绝对值方程可得：$a-1=1$或$a-1=-1$，
解得$a=2$或$a=0$；
2. 方程含有两个未知数，即y的系数不能为0：$a-2≠0$，解得$a≠2$。
综合上述条件，排除$a=2$，最终得$a=0$。
【答案】
0
【知识点】
二元一次方程的定义，绝对值的性质
【点评】
本题主要考查对二元一次方程概念的掌握，解题时容易遗漏“未知数的系数不能为0”的隐含条件，导致错填2，牢记概念的全部限制要求是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.6
23. 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}2x + y = 5, \\x + 2y = 4,\end{cases}$则$x - y$的值为 ______ 。
答案
23.1
解析
【分析】
要计算x-y的值，有两种常用思路：思路一，先解给定的二元一次方程组，分别求出x、y的具体值，再代入计算x-y；思路二，观察两个方程的系数特征，发现将第一个方程减去第二个方程，左边化简后直接可以得到x-y的形式，用整体思想直接计算，过程更简便。
【解析】
我们先将方程组的两个方程分别标记：
$\begin{cases}2x + y = 5&① \\x + 2y = 4&②\end{cases}$
方法一（整体法）：用①式减去②式，左右两边分别相减得：
$(2x + y) - (x + 2y) = 5 - 4$
去括号合并同类项得：$x - y = 1$。
方法二（常规求解法）：由①式变形得$y = 5 - 2x$，将其代入②式：
$x + 2×(5 - 2x) = 4$
展开计算：$x + 10 - 4x = 4$
合并同类项：$-3x = -6$，解得$x = 2$。
将$x=2$代入$y = 5 - 2x$，得$y = 5 - 2×2 = 1$。
所以$x - y = 2 - 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值，整体思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，既可以用常规方法解方程组后代入求值，也可以通过观察系数特点用整体法快速得到结果，熟练运用整体思想能简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
要计算x-y的值，有两种常用思路：思路一，先解给定的二元一次方程组，分别求出x、y的具体值，再代入计算x-y；思路二，观察两个方程的系数特征，发现将第一个方程减去第二个方程，左边化简后直接可以得到x-y的形式，用整体思想直接计算，过程更简便。
【解析】
我们先将方程组的两个方程分别标记：
$\begin{cases}2x + y = 5&① \\x + 2y = 4&②\end{cases}$
方法一（整体法）：用①式减去②式，左右两边分别相减得：
$(2x + y) - (x + 2y) = 5 - 4$
去括号合并同类项得：$x - y = 1$。
方法二（常规求解法）：由①式变形得$y = 5 - 2x$，将其代入②式：
$x + 2×(5 - 2x) = 4$
展开计算：$x + 10 - 4x = 4$
合并同类项：$-3x = -6$，解得$x = 2$。
将$x=2$代入$y = 5 - 2x$，得$y = 5 - 2×2 = 1$。
所以$x - y = 2 - 1 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
二元一次方程组求解，代数式求值，整体思想
【点评】
本题考查二元一次方程组的相关计算，既可以用常规方法解方程组后代入求值，也可以通过观察系数特点用整体法快速得到结果，熟练运用整体思想能简化计算步骤，提升解题速度。
【难度系数】
0.9
24. 某同学家离学校4 km，他每天骑自行车上学和放学. 有一天上学时顺风，从家到学校共用12 min，放学时逆风，从学校回家共用20 min，已知该同学在无风时骑自行车的速度为x km/h，风速为y km/h. 根据题意，可列方程组为.
答案
24.$\begin{cases}\dfrac{12}{60}(x + y) = 4 \\ \dfrac{20}{60}(x - y) = 4\end{cases}$
解析
【分析】
这是行程类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间。其次要注意两个关键：一是单位统一，题目中时间单位是分钟，速度单位是km/h，需先把分钟换算为小时；二是明确顺风、逆风的实际速度：顺风时实际速度=无风速度+风速，逆风时实际速度=无风速度-风速。最后结合往返路程都是4km的条件，分别根据上学、放学的路程关系列方程，联立即可得到方程组。
【解析】
第一步，单位换算：将分钟换算为小时，$12\ \mathrm{min}=\frac{12}{60}\ \mathrm{h}$，$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}$。
第二步，分析实际骑行速度：上学顺风时，实际速度为$(x+y)\ \mathrm{km/h}$；放学逆风时，实际速度为$(x-y)\ \mathrm{km/h}$。
第三步，根据路程=速度×时间列方程：
上学时家到学校路程为4km，可得$\frac{12}{60}(x+y)=4$；
放学时学校到家路程为4km，可得$\frac{20}{60}(x-y)=4$。
联立两个方程得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}\dfrac{12}{60}(x + y) = 4 \\ \dfrac{20}{60}(x - y) = 4\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用、行程问题公式、顺风逆风速度关系
【点评】
本题考查用二元一次方程组解决行程实际问题，解题的核心是正确表示顺风、逆风的实际速度，同时要注意单位统一，避免因时间、速度单位不匹配导致列方程错误。
【难度系数】
0.7
这是行程类的二元一次方程组应用题，解题思路如下：首先回忆行程问题核心公式：路程=速度×时间。其次要注意两个关键：一是单位统一，题目中时间单位是分钟，速度单位是km/h，需先把分钟换算为小时；二是明确顺风、逆风的实际速度：顺风时实际速度=无风速度+风速，逆风时实际速度=无风速度-风速。最后结合往返路程都是4km的条件，分别根据上学、放学的路程关系列方程，联立即可得到方程组。
【解析】
第一步，单位换算：将分钟换算为小时，$12\ \mathrm{min}=\frac{12}{60}\ \mathrm{h}$，$20\ \mathrm{min}=\frac{20}{60}\ \mathrm{h}$。
第二步，分析实际骑行速度：上学顺风时，实际速度为$(x+y)\ \mathrm{km/h}$；放学逆风时，实际速度为$(x-y)\ \mathrm{km/h}$。
第三步，根据路程=速度×时间列方程：
上学时家到学校路程为4km，可得$\frac{12}{60}(x+y)=4$；
放学时学校到家路程为4km，可得$\frac{20}{60}(x-y)=4$。
联立两个方程得到所求方程组。
【答案】
$\begin{cases}\dfrac{12}{60}(x + y) = 4 \\ \dfrac{20}{60}(x - y) = 4\end{cases}$
【知识点】
二元一次方程组应用、行程问题公式、顺风逆风速度关系
【点评】
本题考查用二元一次方程组解决行程实际问题，解题的核心是正确表示顺风、逆风的实际速度，同时要注意单位统一，避免因时间、速度单位不匹配导致列方程错误。
【难度系数】
0.7
25. 小明问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这么大时你才出生，你到我这么大时我已经39岁了。”老师现在的年龄为
26
岁，小明现在的年龄为13
岁。答案
25.26 13
解析
【分析】
解决这道题的核心是抓住年龄问题中“年龄差始终不变”的规律，用方程思想求解。首先可设小明现在年龄为x岁，老师现在年龄为y岁，先确定两人的年龄差为(y-x)岁；再根据“老师像小明这么大时小明才出生”，可知时间退回(y-x)年时小明年龄为0，列第一个等量关系；根据“小明到老师这么大时老师39岁”，可知时间过(y-x)年后老师年龄为39，列第二个等量关系，联立求解方程组即可得到结果。
【解析】
设小明现在的年龄为x岁，老师现在的年龄为y岁，两人的年龄差为(y-x)岁，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x-(y-x)=0 \\y+(y-x)=39\end{cases}$
化简第一个方程得：$2x-y=0$，即$y=2x$ ①
化简第二个方程得：$2y-x=39$ ②
将①代入②得：$2×2x -x=39$，解得$3x=39$，$x=13$
把$x=13$代入①得$y=2×13=26$
【答案】
26；13
【知识点】
二元一次方程组应用，年龄差不变规律
【点评】
本题是年龄类实际应用的典型题型，解题关键是抓住年龄差不变的特点，准确提炼等量关系建立方程，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解决这道题的核心是抓住年龄问题中“年龄差始终不变”的规律，用方程思想求解。首先可设小明现在年龄为x岁，老师现在年龄为y岁，先确定两人的年龄差为(y-x)岁；再根据“老师像小明这么大时小明才出生”，可知时间退回(y-x)年时小明年龄为0，列第一个等量关系；根据“小明到老师这么大时老师39岁”，可知时间过(y-x)年后老师年龄为39，列第二个等量关系，联立求解方程组即可得到结果。
【解析】
设小明现在的年龄为x岁，老师现在的年龄为y岁，两人的年龄差为(y-x)岁，根据题意列方程组：
$\begin{cases}x-(y-x)=0 \\y+(y-x)=39\end{cases}$
化简第一个方程得：$2x-y=0$，即$y=2x$ ①
化简第二个方程得：$2y-x=39$ ②
将①代入②得：$2×2x -x=39$，解得$3x=39$，$x=13$
把$x=13$代入①得$y=2×13=26$
【答案】
26；13
【知识点】
二元一次方程组应用，年龄差不变规律
【点评】
本题是年龄类实际应用的典型题型，解题关键是抓住年龄差不变的特点，准确提炼等量关系建立方程，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
26. 如图所示的两台天平均能保持平衡，已知每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则每块巧克力和每个果冻的质量分别为
20 g，30 g
。答案
26.20 g，30 g
解析
【分析】
解题的关键是从天平平衡的状态中提取等量关系：天平平衡时左右托盘的物体总质量相等。首先观察第一个天平，可得3块巧克力的总质量=2个果冻的总质量；观察第二个天平，可得1块巧克力的质量+1个果冻的质量=50g。我们可以通过设未知数，将等量关系转化为方程（组）求解即可。
【解析】
设每块巧克力的质量为$x\ \mathrm{g}$，每个果冻的质量为$y\ \mathrm{g}$，根据天平平衡的等量关系列方程组：
$\begin{cases}3x = 2y \\x + y = 50\end{cases}$
由第二个方程变形得$y = 50 - x$，将其代入第一个方程：
$\begin{aligned}3x&=2(50 - x)\\3x&=100 - 2x\\5x&=100\\x&=20\end{aligned}$
把$x=20$代入$y=50-x$，得$y=50-20=30$。
【答案】
20 g，30 g
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系提取，方程求解
【点评】
本题结合天平场景出题，核心是利用天平平衡的特点找到质量相等关系，再通过方程求解，属于基础的方程应用类题目，解题时注意不要混淆两个等量关系即可。
【难度系数】
0.7
解题的关键是从天平平衡的状态中提取等量关系：天平平衡时左右托盘的物体总质量相等。首先观察第一个天平，可得3块巧克力的总质量=2个果冻的总质量；观察第二个天平，可得1块巧克力的质量+1个果冻的质量=50g。我们可以通过设未知数，将等量关系转化为方程（组）求解即可。
【解析】
设每块巧克力的质量为$x\ \mathrm{g}$，每个果冻的质量为$y\ \mathrm{g}$，根据天平平衡的等量关系列方程组：
$\begin{cases}3x = 2y \\x + y = 50\end{cases}$
由第二个方程变形得$y = 50 - x$，将其代入第一个方程：
$\begin{aligned}3x&=2(50 - x)\\3x&=100 - 2x\\5x&=100\\x&=20\end{aligned}$
把$x=20$代入$y=50-x$，得$y=50-20=30$。
【答案】
20 g，30 g
【知识点】
二元一次方程组应用，等量关系提取，方程求解
【点评】
本题结合天平场景出题，核心是利用天平平衡的特点找到质量相等关系，再通过方程求解，属于基础的方程应用类题目，解题时注意不要混淆两个等量关系即可。
【难度系数】
0.7
