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31. 宜良烤鸭是云南省昆明市宜良县的传统美食，有着肥瘦相宜、外酥脆、内香嫩、色泽红艳等特点，地方风味显著. 某餐馆销售A，B两种类型的烤鸭，购买3只A种烤鸭和2只B种烤鸭共需180元；购买1只A种烤鸭和4只B种烤鸭共需160元.
（1）A种烤鸭、B种烤鸭每只价格分别是多少元？
（2）若某公司员工聚餐需购买A，B两种烤鸭共30只，且A种的数量至少比B种的数量多5只，又不超过B种的2倍，请问有哪几种购买方案？请列举出来.
（1）A种烤鸭、B种烤鸭每只价格分别是多少元？
（2）若某公司员工聚餐需购买A，B两种烤鸭共30只，且A种的数量至少比B种的数量多5只，又不超过B种的2倍，请问有哪几种购买方案？请列举出来.
答案
31.解：(1)设A种烤鸭每只价格为$x$元，B种烤鸭每只价格为$y$元.
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 180, \\ x + 4y = 160,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 40, \\ y = 30.\end{cases}$
答：A种烤鸭每只价格为40元，B种烤鸭每只价格为30元.
(2)设购买A种烤鸭$m$只，则购买B种烤鸭$(30 - m)$只.
根据题意，得$\begin{cases}m ≥ (30 - m) + 5, \\ m ≤ 2(30 - m),\end{cases}$
解得$\dfrac{35}{2} ≤ m ≤ 20.$
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为18,19,20，
$\therefore$ 共有3种购买方案.
方案1：购买A种烤鸭18只，B种烤鸭12只；
方案2：购买A种烤鸭19只，B种烤鸭11只；
方案3：购买A种烤鸭20只，B种烤鸭10只.
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 180, \\ x + 4y = 160,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 40, \\ y = 30.\end{cases}$
答：A种烤鸭每只价格为40元，B种烤鸭每只价格为30元.
(2)设购买A种烤鸭$m$只，则购买B种烤鸭$(30 - m)$只.
根据题意，得$\begin{cases}m ≥ (30 - m) + 5, \\ m ≤ 2(30 - m),\end{cases}$
解得$\dfrac{35}{2} ≤ m ≤ 20.$
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为18,19,20，
$\therefore$ 共有3种购买方案.
方案1：购买A种烤鸭18只，B种烤鸭12只；
方案2：购买A种烤鸭19只，B种烤鸭11只；
方案3：购买A种烤鸭20只，B种烤鸭10只.
解析
【分析】
（1）第一问求两种烤鸭的单价，可分别设A、B两种烤鸭的单价为未知数，根据题干给出的两种购买组合的总费用，找到两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可。
（2）第二问求购买方案，可设购买A种烤鸭的数量为$m$只，那么B种烤鸭的数量就是总数量减去$m$，再根据“A种数量至少比B种多5只”“A种数量不超过B种的2倍”两个不等关系列出一元一次不等式组，解出$m$的取值范围，结合烤鸭数量为正整数的实际要求，筛选出符合条件的$m$值，对应得到所有购买方案。
【解析】
(1)设A种烤鸭每只价格为$x$元，B种烤鸭每只价格为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 180, \\ x + 4y = 160,\end{cases}$
将第一个方程乘2得$6x+4y=360$，再减去第二个方程得$5x=200$，解得$x=40$，把$x=40$代入$x + 4y = 160$，得$40+4y=160$，解得$y=30$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 40, \\ y = 30.\end{cases}$
答：A种烤鸭每只价格为40元，B种烤鸭每只价格为30元。
(2)设购买A种烤鸭$m$只，则购买B种烤鸭$(30 - m)$只。
根据题意，得$\begin{cases}m ≥ (30 - m) + 5, \\ m ≤ 2(30 - m),\end{cases}$
解第一个不等式：$m≥35-m$，移项得$2m≥35$，解得$m≥17.5$；
解第二个不等式：$m≤60-2m$，移项得$3m≤60$，解得$m≤20$。
所以不等式组的解集为$\dfrac{35}{2} ≤ m ≤ 20$。
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为18、19、20，对应B种烤鸭的数量分别为12只、11只、10只，
$\therefore$ 共有3种购买方案：
方案1：购买A种烤鸭18只，B种烤鸭12只；
方案2：购买A种烤鸭19只，B种烤鸭11只；
方案3：购买A种烤鸭20只，B种烤鸭10只。
【答案】
(1)A种烤鸭每只40元，B种烤鸭每只30元；
(2)共3种购买方案：①购买A种18只，B种12只；②购买A种19只，B种11只；③购买A种20只，B种10只。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的方程与不等式综合应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，正确列式求解，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，这类题是应用题板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问求两种烤鸭的单价，可分别设A、B两种烤鸭的单价为未知数，根据题干给出的两种购买组合的总费用，找到两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可。
（2）第二问求购买方案，可设购买A种烤鸭的数量为$m$只，那么B种烤鸭的数量就是总数量减去$m$，再根据“A种数量至少比B种多5只”“A种数量不超过B种的2倍”两个不等关系列出一元一次不等式组，解出$m$的取值范围，结合烤鸭数量为正整数的实际要求，筛选出符合条件的$m$值，对应得到所有购买方案。
【解析】
(1)设A种烤鸭每只价格为$x$元，B种烤鸭每只价格为$y$元。
根据题意，得$\begin{cases}3x + 2y = 180, \\ x + 4y = 160,\end{cases}$
将第一个方程乘2得$6x+4y=360$，再减去第二个方程得$5x=200$，解得$x=40$，把$x=40$代入$x + 4y = 160$，得$40+4y=160$，解得$y=30$。
所以方程组的解为$\begin{cases}x = 40, \\ y = 30.\end{cases}$
答：A种烤鸭每只价格为40元，B种烤鸭每只价格为30元。
(2)设购买A种烤鸭$m$只，则购买B种烤鸭$(30 - m)$只。
根据题意，得$\begin{cases}m ≥ (30 - m) + 5, \\ m ≤ 2(30 - m),\end{cases}$
解第一个不等式：$m≥35-m$，移项得$2m≥35$，解得$m≥17.5$；
解第二个不等式：$m≤60-2m$，移项得$3m≤60$，解得$m≤20$。
所以不等式组的解集为$\dfrac{35}{2} ≤ m ≤ 20$。
又$\because m$为正整数，
$\therefore m$可以为18、19、20，对应B种烤鸭的数量分别为12只、11只、10只，
$\therefore$ 共有3种购买方案：
方案1：购买A种烤鸭18只，B种烤鸭12只；
方案2：购买A种烤鸭19只，B种烤鸭11只；
方案3：购买A种烤鸭20只，B种烤鸭10只。
【答案】
(1)A种烤鸭每只40元，B种烤鸭每只30元；
(2)共3种购买方案：①购买A种18只，B种12只；②购买A种19只，B种11只；③购买A种20只，B种10只。
【知识点】
二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用
【点评】
本题是典型的方程与不等式综合应用题，解题关键是准确提取题干中的等量关系和不等关系，正确列式求解，同时要注意实际问题中未知数的取值要符合现实意义，这类题是应用题板块的常考题型。
【难度系数】
0.7
32. 为拓宽学生视野，促进书本知识和生活经验的深度融合，某中学决定组织部分班级开展研学旅行活动. 在参加此次活动的师生中，若每位老师带17个学生，则还剩12个学生没人带；若每位老师带18个学生，则有一位老师少带4个学生. 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师.
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.
学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，为了安全，每辆客车上至少要有2名老师.
（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？
（2）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.
答案
32.解：(1)设参加此次研学旅行活动的老师有$x$名，学生有$y$名.
依题意，得$\begin{cases}17x = y - 12, \\ 18x = y + 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 16, \\ y = 284.\end{cases}$
答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名.
(2)设租用$x$辆乙种客车，则甲种客车的租用数为$(8 - x)$辆.
$\because$ 租车总费用不超过3100元，
$\therefore 400x + 300(8 - x) ≤ 3100$，解得$x ≤ 7$，
为使300名师生都有座，
$\therefore 42x + 30(8 - x) ≥ 300$，解得$x ≥ 5$，
$\therefore 5 ≤ x ≤ 7$($x$为整数)，
$\therefore$ 共有3种租车方案.
方案1：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为$300×3 + 400×5 = 2900$元；
方案2：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为$300×2 + 400×6 = 3000$元；
方案3：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为$300×1 + 400×7 = 3100$元.
故最省钱的租车方案是租用甲种客车3辆，乙种客车5辆.
依题意，得$\begin{cases}17x = y - 12, \\ 18x = y + 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 16, \\ y = 284.\end{cases}$
答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名.
(2)设租用$x$辆乙种客车，则甲种客车的租用数为$(8 - x)$辆.
$\because$ 租车总费用不超过3100元，
$\therefore 400x + 300(8 - x) ≤ 3100$，解得$x ≤ 7$，
为使300名师生都有座，
$\therefore 42x + 30(8 - x) ≥ 300$，解得$x ≥ 5$，
$\therefore 5 ≤ x ≤ 7$($x$为整数)，
$\therefore$ 共有3种租车方案.
方案1：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为$300×3 + 400×5 = 2900$元；
方案2：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为$300×2 + 400×6 = 3000$元；
方案3：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为$300×1 + 400×7 = 3100$元.
故最省钱的租车方案是租用甲种客车3辆，乙种客车5辆.
解析
【分析】
（1）第一问为二元一次方程组的实际应用，我们可以分别设老师、学生人数为未知数，根据题干中两种老师带学生的情况，找到两个等量关系：①每位老师带17名学生时，学生总数=17×老师数+剩余12名学生；②每位老师带18名学生时，学生总数=18×老师数-缺少的4名学生，联立方程即可求解师生人数。
（2）第二问首先计算总师生人数，再根据“每辆车至少2名老师”得最多可租车16÷2=8辆，验证可知租少于8辆车时最大载客量不足以承载所有师生，因此确定租车总数为8辆。设租用乙种客车x辆，则甲种客车为(8-x)辆，根据“租车总费用不超过3100元”“载客量可容纳所有师生”两个限制条件列一元一次不等式组，求出x的整数取值即可得到所有租车方案，再分别计算各方案的费用，比较得出最省钱的方案。
【解析】
(1)设参加此次研学旅行活动的老师有$x$名，学生有$y$名.
依题意，得$\begin{cases}17x = y - 12, \\ 18x = y + 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 16, \\ y = 284.\end{cases}$
答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名.
(2)总师生人数为$16+284=300$名，因每车至少2名老师，最多可租车$16÷2=8$辆，且7辆车最大载客量为$42×7=294＜300$，故确定租车总数为8辆。
设租用$x$辆乙种客车，则甲种客车的租用数为$(8 - x)$辆.
$\because$ 租车总费用不超过3100元，
$\therefore 400x + 300(8 - x) ≤ 3100$，解得$x ≤ 7$，
为使300名师生都有座，
$\therefore 42x + 30(8 - x) ≥ 300$，解得$x ≥ 5$，
$\therefore 5 ≤ x ≤ 7$($x$为整数)，
$\therefore$ 共有3种租车方案：
方案1：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为$300×3 + 400×5 = 2900$元；
方案2：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为$300×2 + 400×6 = 3000$元；
方案3：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为$300×1 + 400×7 = 3100$元.
比较费用可知最省钱的租车方案是租用甲种客车3辆，乙种客车5辆。
【答案】
(1)老师有16名，学生有284名；
(2)共有3种租车方案：方案1租用甲种客车3辆、乙种客车5辆；方案2租用甲种客车2辆、乙种客车6辆；方案3租用甲种客车1辆、乙种客车7辆。最省钱的是租用甲种客车3辆、乙种客车5辆的方案。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案优化选择
【点评】
本题结合研学旅行的实际场景设计问题，需要学生准确提取题干中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，解题时要注意挖掘隐含的租车总数限制条件，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）第一问为二元一次方程组的实际应用，我们可以分别设老师、学生人数为未知数，根据题干中两种老师带学生的情况，找到两个等量关系：①每位老师带17名学生时，学生总数=17×老师数+剩余12名学生；②每位老师带18名学生时，学生总数=18×老师数-缺少的4名学生，联立方程即可求解师生人数。
（2）第二问首先计算总师生人数，再根据“每辆车至少2名老师”得最多可租车16÷2=8辆，验证可知租少于8辆车时最大载客量不足以承载所有师生，因此确定租车总数为8辆。设租用乙种客车x辆，则甲种客车为(8-x)辆，根据“租车总费用不超过3100元”“载客量可容纳所有师生”两个限制条件列一元一次不等式组，求出x的整数取值即可得到所有租车方案，再分别计算各方案的费用，比较得出最省钱的方案。
【解析】
(1)设参加此次研学旅行活动的老师有$x$名，学生有$y$名.
依题意，得$\begin{cases}17x = y - 12, \\ 18x = y + 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 16, \\ y = 284.\end{cases}$
答：参加此次研学旅行活动的老师有16名，学生有284名.
(2)总师生人数为$16+284=300$名，因每车至少2名老师，最多可租车$16÷2=8$辆，且7辆车最大载客量为$42×7=294＜300$，故确定租车总数为8辆。
设租用$x$辆乙种客车，则甲种客车的租用数为$(8 - x)$辆.
$\because$ 租车总费用不超过3100元，
$\therefore 400x + 300(8 - x) ≤ 3100$，解得$x ≤ 7$，
为使300名师生都有座，
$\therefore 42x + 30(8 - x) ≥ 300$，解得$x ≥ 5$，
$\therefore 5 ≤ x ≤ 7$($x$为整数)，
$\therefore$ 共有3种租车方案：
方案1：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆，租车费用为$300×3 + 400×5 = 2900$元；
方案2：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆，租车费用为$300×2 + 400×6 = 3000$元；
方案3：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆，租车费用为$300×1 + 400×7 = 3100$元.
比较费用可知最省钱的租车方案是租用甲种客车3辆，乙种客车5辆。
【答案】
(1)老师有16名，学生有284名；
(2)共有3种租车方案：方案1租用甲种客车3辆、乙种客车5辆；方案2租用甲种客车2辆、乙种客车6辆；方案3租用甲种客车1辆、乙种客车7辆。最省钱的是租用甲种客车3辆、乙种客车5辆的方案。
【知识点】
二元一次方程组应用，一元一次不等式组应用，方案优化选择
【点评】
本题结合研学旅行的实际场景设计问题，需要学生准确提取题干中的等量关系和不等关系，建立对应的数学模型求解，解题时要注意挖掘隐含的租车总数限制条件，能有效锻炼学生运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
