1.(2023·福建)如图，根据尺规作图的痕迹作射线OM，连接CM，DM.根据以上作图，一定可以推得的结论是()

A.$ \angle 1 = \angle 2 $且$ CM = DM $
B.$ \angle 1 = \angle 3 $且$ CM = DM $
C.$ \angle 1 = \angle 2 $且$ OD = DM $
D.$ \angle 2 = \angle 3 $且$ OD = DM $

1.A

解：由尺规作图痕迹可知，射线OM是∠AOB的平分线，点M是线段CD的垂直平分线上的点。
∴∠1=∠2，CM=DM。
结论：A

2. 根据下列条件，能画出且只能画出一个$ \triangle ABC $的是()

A.$ AB = 3 $，$ BC = 4 $，$ AC = 8 $
B.$ AB = 4 $，$ BC = 3 $，$ \angle A = 30 ^ { \circ } $
C.$ \angle A = 60 ^ { \circ } $，$ \angle B = 45 ^ { \circ } $，$ AB = 4 $
D.$ \angle C = 90 ^ { \circ } $，$ AB = 6 $

2.C

A. $AB=3$，$BC=4$，$AC=8$，$3+4=7\lt8$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形。
B. $AB=4$，$BC=3$，$\angle A=30°$，根据“SSA”条件，可画出两个不同三角形。
C. $\angle A=60°$，$\angle B=45°$，$AB=4$，根据“ASA”条件，能画出且只能画出一个三角形。
D. $\angle C=90°$，$AB=6$，仅知道斜边，直角边长度不确定，可画出无数个直角三角形。
C

3. 若三个全等三角形按如图所示的方式摆放，则$ \angle 1 + \angle 2 + \angle 3 $的度数为()

A.$ 160 ^ { \circ } $
B.$ 180 ^ { \circ } $
C.$ 200 ^ { \circ } $
D.$ 240 ^ { \circ } $

3.B　解析:如图，由全等三角形的性质，得∠5=∠10,∠6=∠11.
∵∠4+∠10+∠11=180°,
∴∠4+∠5+∠6=180°.
∵(∠1+∠4+∠7)+(∠3+∠5+∠8)+(∠2+∠6+∠9)=3×180°,∠7+∠8+∠9=180°,
∴∠1+∠2+∠3=180°.
　　　　　　　　　

4. 如图，AC，DF相交于点G，且$ AC = DF $，D，C是BE上两点，$ \angle B = \angle E = \angle 1 $.若$ BE = 1 $，$ AB = m $，$ EF = n $，则CD的长为()

A.$ 1 - m $
B.$ 1 - n $
C.$ m + n - 1 $
D.$ m - n + 1 $

4.C

5. 如图，$ \triangle ABD \cong \triangle CBD $.若$ \angle A = 80 ^ { \circ } $，$ \angle ABC = 70 ^ { \circ } $，则$ \angle ADC $的度数为.

5.130°

证明：
∵△ABD≌△CBD，
∴∠A=∠C=80°，∠ABD=∠CBD，∠ADB=∠CDB。
∵∠ABC=70°，
∴∠ABD=∠CBD=35°。
在△ABD中，∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-80°-35°=65°。
∴∠ADC=∠ADB+∠CDB=65°+65°=130°。
130°

6. 如图，在$ \triangle ACB $中，$ AD \perp BC $，$ CE \perp AB $，垂足分别是D，E，CE交AD于点F，且$ DF = DB $，则$ CD - DB = $.

6.AF

证明：
∵ $AD \perp BC$，$CE \perp AB$，
∴ $\angle ADC = \angle ADB = \angle CEB = 90°$．
∵ $\angle CFD = \angle AFE$，
∴ $\angle DCF = \angle DAB$（等角的余角相等）．
在 $\triangle CDF$ 和 $\triangle ADB$ 中：
$\begin{cases} \angle DCF = \angle DAB \\\angle CDF = \angle ADB = 90° \\DF = DB \end{cases}$
∴ $\triangle CDF \cong \triangle ADB$（AAS）．
∴ $CD = AD$．
∵ $AD = AF + FD$，且 $FD = DB$，
∴ $CD = AF + DB$，即 $CD - DB = AF$．
AF

7. 如图，$ AB \perp CD $，且$ AB = CD $，$ CE \perp AD $，$ BF \perp AD $，垂足分别为E，F，且满足$ CE = AF $，若$ BF = 3 $，$ AD = 5 $，则AE的长为.

7.2

解：设$AE = x$，则$DF=AD - AE - EF=5 - x - EF$。
因为$CE\perp AD$，$BF\perp AD$，所以$\angle CEA=\angle AFB = 90°$。
在$\triangle CEA$和$\triangle AFB$中，$\left\{\begin{array}{l}CE = AF\\\angle CEA=\angle AFB\\\angle CAE+\angle DCE = 90°\\\angle BAD+\angle ABF = 90°\end{array}\right.$，又因为$AB\perp CD$，所以$\angle DCE=\angle BAD$，故$\triangle CEA\cong\triangle AFB(AAS)$，则$AE = BF = 3$？（此处矛盾，重新分析）
应为：设$AE = x$，$AF = CE = y$，则$EF=AF - AE=y - x$，$DF=AD - AF=5 - y$。
在$\triangle CED$和$\triangle AFB$中，$\left\{\begin{array}{l}CD = AB\\CE = AF\\\angle CED=\angle AFB = 90°\end{array}\right.$，所以$\triangle CED\cong\triangle AFB(HL)$，则$DE = BF = 3$。
因为$AD=AE + DE$，即$x + 3=5$，解得$x = 2$。
$AE = 2$。
2

8.(分类讨论思想)如图，在长方形ABCD中，$ AB = 8 \mathrm { cm } $，$ AD = 12 \mathrm { cm } $，点P从点B出发，以$ 2 \mathrm { cm } / \mathrm { s } $的速度沿边BC向点C运动，到达点C停止.同时，点Q从点C出发，以$ v \mathrm { cm } / \mathrm { s } $的速度沿边CD向点D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动.当$ v = $时，$ \triangle ABP $与$ \triangle PCQ $全等.

8.2或$\frac{8}{3}$

解：在长方形$ABCD$中，$AB=8\, cm$，$AD=12\, cm$，则$BC=AD=12\, cm$，$CD=AB=8\, cm$，$\angle B=\angle C=90°$。
设运动时间为$t\, s$，则$BP=2t\, cm$，$PC=BC-BP=(12-2t)\, cm$，$CQ=vt\, cm$。
当$\triangle ABP\cong\triangle PCQ$时，分两种情况：
情况1： $AB=PC$且$BP=CQ$
$\begin{cases}8=12-2t \\2t=vt\end{cases}$
由$8=12-2t$得$t=2$，代入$2t=vt$（$t=2\neq0$），解得$v=2$。
情况2： $AB=CQ$且$BP=PC$
$\begin{cases}8=vt \\2t=12-2t\end{cases}$
由$2t=12-2t$得$t=3$，代入$8=vt$，解得$v=\frac{8}{3}$。
综上，$v=2$或$\frac{8}{3}$。
答案：$2$或$\frac{8}{3}$