7. 如图，$AD$是$\triangle ABC$中$\angle BAC$的平分线，$DF\perp AB$，垂足为$F$，$DE = DG$，$\triangle ADG$，$\triangle AED$的面积分别为50，39，则$\triangle DEF$的面积为(
A.11
B.5.5
C.7
D.3.5
B
)A.11
B.5.5
C.7
D.3.5
答案
7.B 解析:如图，在AC上截取AM=AE，连接DM,过点D作DN⊥AC于点N.由△AED≌△AMD(SAS),得DE=DM,S△AED=S△AMD = 39,
∴S△MDG=S△ADG−S△ADM=50−39=11.由Rt△DMN≌Rt△DGN(HL),得S△DMN=S△DGN=5.5.由△AFD≌△AND(AAS),得S△AFD=S△AND,
∴S△AFD−S△AED=S△AND−S△AMD,
∴S△DEF=S△DMN=5.5.
8. 如图，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 20$，$BC = 10$，$PQ = AB$，$P$，$Q$两点分别在线段$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AX$上运动，且点$P$不与点$A$，$C$重合。当$CP$的长为
10
时，$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle QPA$。答案
8.10
解析
解：在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle QPA$中，
$\angle C = \angle QAP = 90°$，$PQ = AB$。
要使$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle QPA$，则需$AP = BC$或$AP = AC$。
情况1：当$AP = BC$时，
$BC = 10$，$AC = 20$，
$CP = AC - AP = 20 - 10 = 10$。
情况2：当$AP = AC$时，
$AP = 20$，则点$P$与点$C$重合，不符合题意（点$P$不与点$C$重合）。
综上，$CP = 10$。
10
$\angle C = \angle QAP = 90°$，$PQ = AB$。
要使$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle QPA$，则需$AP = BC$或$AP = AC$。
情况1：当$AP = BC$时，
$BC = 10$，$AC = 20$，
$CP = AC - AP = 20 - 10 = 10$。
情况2：当$AP = AC$时，
$AP = 20$，则点$P$与点$C$重合，不符合题意（点$P$不与点$C$重合）。
综上，$CP = 10$。
10
9. 如图，$AD$是$\triangle ABC$的高，$AD = BD$，$BE = AC$，$\angle BAC = 70^{\circ}$，则$\angle DBE$的度数为
25°
。答案
9.25°
解析
解：
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
$\begin{cases} BD=AD \\ BE=AC \end{cases}$，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE=∠DAC。
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°。
∵∠BAC=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°-45°=25°，
∴∠DBE=25°。
25°
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
$\begin{cases} BD=AD \\ BE=AC \end{cases}$，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），
∴∠DBE=∠DAC。
∵AD=BD，∠ADB=90°，
∴∠BAD=45°。
∵∠BAC=70°，
∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°-45°=25°，
∴∠DBE=25°。
25°
10. 如图，$AB = AD$，$CB\perp AB$，$CD\perp AD$，$E$，$F$分别是$BC$，$DC$的中点，连接$AE$，$AF$。求证：$AE = AF$。
答案
10.连接AC.
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC和△ADC均是直角三角形.在Rt△ABC和Rt△ADC中,$\begin{cases}AC = AC,\\AB = AD,\end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴BC=DC.
∵E,F分别是BC，DC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC,DF=$\frac{1}{2}$DC,
∴BE=DF.在△ABE和△ADF中,$\begin{cases}AB = AD,\\∠B = ∠D,\\BE = DF,\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF
∵CB⊥AB,CD⊥AD,
∴∠B=∠D=90°,
∴△ABC和△ADC均是直角三角形.在Rt△ABC和Rt△ADC中,$\begin{cases}AC = AC,\\AB = AD,\end{cases}$
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL),
∴BC=DC.
∵E,F分别是BC，DC的中点,
∴BE=$\frac{1}{2}$BC,DF=$\frac{1}{2}$DC,
∴BE=DF.在△ABE和△ADF中,$\begin{cases}AB = AD,\\∠B = ∠D,\\BE = DF,\end{cases}$
∴△ABE≌△ADF(SAS),
∴AE=AF
11. (新考法·过程性学习)我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(简称‘HL’定理)”是判定直角三角形全等的特有方法。
(1)如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上。若$CE = BD$，则线段$AE$和线段$AD$之间的数量关系是
(2)如图②，在$\triangle ABC$中，$90^{\circ}＜\angle BAC＜180^{\circ}$，$AB = AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上。若$CE = BD$，则线段$AE$与线段$AD$相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。
]
(1)如图①，在$\triangle ABC$中，$\angle BAC = 90^{\circ}$，$AB = AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上。若$CE = BD$，则线段$AE$和线段$AD$之间的数量关系是
AE=AD
。(2)如图②，在$\triangle ABC$中，$90^{\circ}＜\angle BAC＜180^{\circ}$，$AB = AC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$AB$上。若$CE = BD$，则线段$AE$与线段$AD$相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由。
]答案
11.(1)AE=AD (2)相等 如图，过点C作CM⊥BA交BA的延长线于点M，过点B作BN⊥CA交CA的延长线于点N，则∠M=∠N=90°.在△CAM和△BAN中,$\begin{cases}∠M = ∠N,\\∠CAM = ∠BAN,\\CA = BA,\end{cases}$
∴△CAM≌△BAN(AAS),
∴CM=BN,AM=AN.在Rt△CME和Rt△BND中,$\begin{cases}CE = BD,\\CM = BN,\end{cases}$
∴Rt△CME≌Rt△BND(HL),
∴EM=DN,
∴EM−AM=DN−AN,即AE=AD
