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1. (2024·广东)长江是中华民族的母亲河,长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化.若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习,则选中“巴蜀文化”的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
1. A
2. (2024·福建)哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想,我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2、3、5中,随机选取两个不同的数,其和是偶数的概率是 (
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
B
)A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
2. B
解析
从质数2、3、5中随机选取两个不同的数，所有可能的结果有：(2,3)、(2,5)、(3,5)，共3种。
其中和是偶数的情况：3+5=8，只有1种。
所以概率为$\frac{1}{3}$。
B
其中和是偶数的情况：3+5=8，只有1种。
所以概率为$\frac{1}{3}$。
B
3. 在一个不透明的袋子中装有四个小球,小球上分别标有6、7、8、9四个数字,这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏,甲先从袋子中任意摸出一个小球,将小球上的数字记为m,再由乙猜这个小球上的数字,记为n.如果m、n满足$|m-n| \leqslant 1$,那么就称甲、乙两人“心领神会”.两人“心领神会”的概率是 (
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
B
)A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
3. B
解析
所有可能的结果有：(6,6)、(6,7)、(6,8)、(6,9)、(7,6)、(7,7)、(7,8)、(7,9)、(8,6)、(8,7)、(8,8)、(8,9)、(9,6)、(9,7)、(9,8)、(9,9)，共16种。
满足$|m - n| \leq 1$的结果有：(6,6)、(6,7)、(7,6)、(7,7)、(7,8)、(8,7)、(8,8)、(8,9)、(9,8)、(9,9)，共10种。
两人“心领神会”的概率是$\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。
B
满足$|m - n| \leq 1$的结果有：(6,6)、(6,7)、(7,6)、(7,7)、(7,8)、(8,7)、(8,8)、(8,9)、(9,8)、(9,9)，共10种。
两人“心领神会”的概率是$\frac{10}{16} = \frac{5}{8}$。
B
4. 从数-2、1、2、5、8中任取一个数记为k,则正比例函数$y=kx$的图像经过第二、四象限的概率是
$\frac{1}{5}$
.答案
4. $\frac{1}{5}$
解析
从数$-2$、$1$、$2$、$5$、$8$中任取一个数，共有$5$种等可能的结果。
要使正比例函数$y = kx$的图像经过第二、四象限，则$k ＜ 0$。在这$5$个数中，只有$-2$满足$k ＜ 0$，即符合条件的结果有$1$种。
所以概率$P=\frac{1}{5}$。
$\frac{1}{5}$
要使正比例函数$y = kx$的图像经过第二、四象限，则$k ＜ 0$。在这$5$个数中，只有$-2$满足$k ＜ 0$，即符合条件的结果有$1$种。
所以概率$P=\frac{1}{5}$。
$\frac{1}{5}$
5. (2024·资阳)一个不透明的袋中装有6个白球和m个红球,这些球除颜色外无其他差别.充分搅匀后,从袋中随机取出一个球是白球的概率为$\frac{2}{5}$,则m的值为
9
.答案
5. 9
解析
由题意得，袋中球的总数为$6 + m$个，白球有6个，随机取出一个球是白球的概率为$\frac{2}{5}$，则$\frac{6}{6 + m} = \frac{2}{5}$。
交叉相乘得：$2(6 + m) = 5×6$
化简得：$12 + 2m = 30$
移项得：$2m = 30 - 12$
计算得：$2m = 18$
解得：$m = 9$
9
交叉相乘得：$2(6 + m) = 5×6$
化简得：$12 + 2m = 30$
移项得：$2m = 30 - 12$
计算得：$2m = 18$
解得：$m = 9$
9
6. 如图,一张圆桌共有3个座位,甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位上,则甲和乙相邻的概率为
1
.答案
6. 1
7. (2023·常州)如图,飞镖游戏板中每一块小正方形的面积都相等.任意投掷飞镖1次且击中游戏板,则击中涂色部分的概率是
$\frac{5}{9}$
.答案
7. $\frac{5}{9}$
8. (2023·自贡)端午节早上,小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽,3个鲜肉粽,她从中随机挑选了2个孝敬爷爷奶奶,则爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是
$\frac{2}{5}$
.答案
8. $\frac{2}{5}$
解析
步骤1：计算总情况数
共有 $2+3=5$ 个粽子，随机挑选2个，总组合数为：
$\binom{5}{2} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10$
步骤2：计算同类粽子的情况数
蛋黄粽（2个）：同类组合数为 $\binom{2}{2} = 1$
鲜肉粽（3个）：同类组合数为 $\binom{3}{2} = 3$
同类粽子总情况数：$1 + 3 = 4$
步骤3：计算概率
$P( 同类粽子) = \frac{ 同类情况数}{ 总情况数} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$\frac{2}{5}$
共有 $2+3=5$ 个粽子，随机挑选2个，总组合数为：
$\binom{5}{2} = \frac{5 × 4}{2 × 1} = 10$
步骤2：计算同类粽子的情况数
蛋黄粽（2个）：同类组合数为 $\binom{2}{2} = 1$
鲜肉粽（3个）：同类组合数为 $\binom{3}{2} = 3$
同类粽子总情况数：$1 + 3 = 4$
步骤3：计算概率
$P( 同类粽子) = \frac{ 同类情况数}{ 总情况数} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
$\frac{2}{5}$
9. 如图,A、B是由边长为1的小正方形组成的网格的两个格点,在其余格点中选一点C使其与点A、B构成$\triangle ABC$,则恰好能使$\triangle ABC$的面积为1的概率为
$\frac{4}{15}$
.答案
9. $\frac{4}{15}$ 解析:网格内共有 36 个格点，能构成$\triangle ABC$的格点有 30 个，而符合条件的格点有 8 个，故概率为$\frac{8}{30}=\frac{4}{15}$.
10. (2024·绵阳)如图,电路上有$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$、$S_{4}$四个断开的开关和一个正常的小灯泡L,将这些开关随机闭合至少两个,能让灯泡发光的概率为
$\frac{9}{11}$
.答案
10. $\frac{9}{11}$ 解析:将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有:$(S_{1},S_{2}),(S_{1},S_{3}),(S_{1},S_{4}),(S_{2},S_{3}),(S_{2},S_{4}),(S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3}),(S_{1},S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{3},S_{4}),(S_{2},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})$共 11 种.其中能让灯泡发光的结果有:$(S_{1},S_{3}),(S_{1},S_{4}),(S_{2},S_{3}),(S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3}),(S_{1},S_{2},S_{4}),(S_{1},S_{3},S_{4}),(S_{2},S_{3},S_{4}),(S_{1},S_{2},S_{3},S_{4})$共 9 种.
∴将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为$\frac{9}{11}$.
∴将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为$\frac{9}{11}$.
