登录
1. 双曲线 $ y = \dfrac{k}{x} $ 经过 $ P_1 $，$ P_2 $ 两点，$ △ AOP_1 $ 为等腰直角三角形，$ ∠ OP_1A = 90° $，$ AP_2 ⊥ x $ 轴，且 $ AP_2 = 1 $，求 $ k $ 的值.
答案
1. $ k = 4 $
解析
解：设点$P_1$的坐标为$(a,b)$，因为$△ AOP_1$为等腰直角三角形，$∠ OP_1A = 90°$，所以$OP_1 = P_1A$，且$P_1$到$x$轴和$y$轴的距离相等，即$a = b$。
过$P_1$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则$OM = a$，$P_1M = b = a$，所以点$A$的坐标为$(2a,0)$。
因为点$P_1(a,a)$在双曲线$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$a = \dfrac{k}{a}$，即$k = a^2$。
因为$AP_2 ⊥ x$轴，且$AP_2 = 1$，所以点$P_2$的坐标为$(2a,1)$。
又因为点$P_2$在双曲线$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$1 = \dfrac{k}{2a}$，即$k = 2a$。
由$k = a^2$和$k = 2a$，可得$a^2 = 2a$，解得$a = 2$（$a = 0$舍去）。
所以$k = a^2 = 2^2 = 4$。
$k = 4$
过$P_1$作$x$轴的垂线，垂足为$M$，则$OM = a$，$P_1M = b = a$，所以点$A$的坐标为$(2a,0)$。
因为点$P_1(a,a)$在双曲线$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$a = \dfrac{k}{a}$，即$k = a^2$。
因为$AP_2 ⊥ x$轴，且$AP_2 = 1$，所以点$P_2$的坐标为$(2a,1)$。
又因为点$P_2$在双曲线$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$1 = \dfrac{k}{2a}$，即$k = 2a$。
由$k = a^2$和$k = 2a$，可得$a^2 = 2a$，解得$a = 2$（$a = 0$舍去）。
所以$k = a^2 = 2^2 = 4$。
$k = 4$
2. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $，$ B $ 在反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ A $ 的坐标为 $ (m, 2) $. 连接 $ OA $，$ OB $，$ AB $，若 $ OA = AB $，$ ∠ OAB = 90° $，求 $ k $ 的值.
答案
2. $ 2 \sqrt { 5 } - 2 $
解析
解：过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$，过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$D$。
因为点$A(m,2)$在$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$k = 2m$，$OC = m$，$AC = 2$。
因为$∠ OAB = 90°$，所以$∠ OAC + ∠ BAD = 90°$。又因为$∠ AOC + ∠ OAC = 90°$，所以$∠ AOC = ∠ BAD$。
因为$OA = AB$，$∠ ACO = ∠ ADB = 90°$，所以$△ AOC ≌ △ BAD$。
所以$AD = OC = m$，$BD = AC = 2$，则点$B$的坐标为$(m + 2, 2 - m)$。
因为点$B$在$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$(m + 2)(2 - m) = k$。
又因为$k = 2m$，所以$(m + 2)(2 - m) = 2m$，即$4 - m^2 = 2m$，$m^2 + 2m - 4 = 0$。
解得$m = -1 \pm \sqrt{5}$，因为$m ＞ 0$，所以$m = -1 + \sqrt{5}$。
则$k = 2m = 2(-1 + \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 2$。
$2\sqrt{5} - 2$
因为点$A(m,2)$在$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$k = 2m$，$OC = m$，$AC = 2$。
因为$∠ OAB = 90°$，所以$∠ OAC + ∠ BAD = 90°$。又因为$∠ AOC + ∠ OAC = 90°$，所以$∠ AOC = ∠ BAD$。
因为$OA = AB$，$∠ ACO = ∠ ADB = 90°$，所以$△ AOC ≌ △ BAD$。
所以$AD = OC = m$，$BD = AC = 2$，则点$B$的坐标为$(m + 2, 2 - m)$。
因为点$B$在$y = \dfrac{k}{x}$上，所以$(m + 2)(2 - m) = k$。
又因为$k = 2m$，所以$(m + 2)(2 - m) = 2m$，即$4 - m^2 = 2m$，$m^2 + 2m - 4 = 0$。
解得$m = -1 \pm \sqrt{5}$，因为$m ＞ 0$，所以$m = -1 + \sqrt{5}$。
则$k = 2m = 2(-1 + \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} - 2$。
$2\sqrt{5} - 2$
3. 如图，直线 $ y = 2x - 4 $ 分别交坐标轴于 $ B $，$ A $ 两点，交双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 于点 $ C $，且 $ S_{△ AOC} = 8 $.
(1) 求双曲线对应的函数解析式；
(2) 在点 $ C $ 右侧的双曲线上是否存在点 $ P $，使 $ ∠ PBC = 45° $？若存在，请求点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
(1) 求双曲线对应的函数解析式；
(2) 在点 $ C $ 右侧的双曲线上是否存在点 $ P $，使 $ ∠ PBC = 45° $？若存在，请求点 $ P $ 的坐标；若不存在，请说明理由.
答案
3. (1) $ y = \frac { 16 } { x } $ (2)存在，$ P ( 8,2 ) $ 提示：作 $ P C ⊥ B C $，且 $ P C = B C $
解析
(1)解：对于直线$y = 2x - 4$，令$x = 0$，得$y=-4$，则$A(0,-4)$；令$y = 0$，得$2x-4=0$，$x = 2$，则$B(2,0)$。
设$C(m,n)$，$m＞0$，$n＞0$。$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× m=\frac{1}{2}×4× m = 8$，解得$m = 4$。
将$C(4,n)$代入$y = 2x - 4$，得$n=2×4-4=4$，所以$C(4,4)$。
把$C(4,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{4}$，$k = 16$，双曲线解析式为$y=\frac{16}{x}$。
(2)解：存在。过点$C$作$CD⊥ BC$，且$CD = BC$，设$D(x,y)$。
$B(2,0)$，$C(4,4)$，$\overrightarrow{BC}=(2,4)$，$\overrightarrow{CD}=(x - 4,y - 4)$。
因为$CD⊥ BC$且$CD = BC$，所以$\begin{cases}2(x - 4)+4(y - 4)=0\\(x - 4)^{2}+(y - 4)^{2}=2^{2}+4^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8\\y = 2\end{cases}$（另一解舍去），即$D(8,2)$。
将$x = 8$代入$y=\frac{16}{x}$，得$y = 2$，所以$P(8,2)$。
设$C(m,n)$，$m＞0$，$n＞0$。$S_{△ AOC}=\frac{1}{2}× OA× m=\frac{1}{2}×4× m = 8$，解得$m = 4$。
将$C(4,n)$代入$y = 2x - 4$，得$n=2×4-4=4$，所以$C(4,4)$。
把$C(4,4)$代入$y=\frac{k}{x}$，得$4=\frac{k}{4}$，$k = 16$，双曲线解析式为$y=\frac{16}{x}$。
(2)解：存在。过点$C$作$CD⊥ BC$，且$CD = BC$，设$D(x,y)$。
$B(2,0)$，$C(4,4)$，$\overrightarrow{BC}=(2,4)$，$\overrightarrow{CD}=(x - 4,y - 4)$。
因为$CD⊥ BC$且$CD = BC$，所以$\begin{cases}2(x - 4)+4(y - 4)=0\\(x - 4)^{2}+(y - 4)^{2}=2^{2}+4^{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 8\\y = 2\end{cases}$（另一解舍去），即$D(8,2)$。
将$x = 8$代入$y=\frac{16}{x}$，得$y = 2$，所以$P(8,2)$。
