4. 如图，$ △ ABO $ 为等边三角形，点 $ A $ 的坐标为 $ (4\sqrt{3}, 0) $. 若双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0, k $ 为常数$) $ 经过 $ AB $ 的中点 $ D $，交 $ OB $ 于点 $ E $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 若第一象限的双曲线 $ y = \dfrac{m}{x}(x ＞ 0) $ 与 $ △ BDE $ 没有交点，求 $ m $ 的取值范围；
(3) 将 $ △ AOB $ 向左平移 $ n $ 个单位，使点 $ B $ 恰好落在题目中的双曲线上，求 $ n $ 的值.

4. (1) $ k = 9 \sqrt { 3 } $ (2) $ m ＞ 12 \sqrt { 3 } $ 或 $ 0 ＜ m ＜ 9 \sqrt { 3 } $ (3) $ n = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } $

(1) 解：
∵△ABO为等边三角形，点A的坐标为$(4\sqrt{3},0)$，
∴OA=$4\sqrt{3}$，点O为坐标原点，
∴点B的横坐标为$\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$，纵坐标为$\sqrt{(4\sqrt{3})^2-(2\sqrt{3})^2}=6$，即B$(2\sqrt{3},6)$，
∵D为AB的中点，A$(4\sqrt{3},0)$，B$(2\sqrt{3},6)$，
∴D点坐标为$(\frac{4\sqrt{3}+2\sqrt{3}}{2},\frac{0+6}{2})=(3\sqrt{3},3)$，
∵双曲线$y=\frac{k}{x}$经过点D，
∴$3=\frac{k}{3\sqrt{3}}$，解得$k=9\sqrt{3}$。
(2) 解：设直线OB的解析式为$y=kx$，将B$(2\sqrt{3},6)$代入得$6=2\sqrt{3}k$，解得$k=\sqrt{3}$，即$y=\sqrt{3}x$，
联立$\begin{cases}y=\sqrt{3}x\\y=\frac{9\sqrt{3}}{x}\end{cases}$，解得$x=3$，$y=3\sqrt{3}$，即E$(3,3\sqrt{3})$，
设直线BD的解析式为$y=ax+b$，将B$(2\sqrt{3},6)$，D$(3\sqrt{3},3)$代入得$\begin{cases}2\sqrt{3}a+b=6\\3\sqrt{3}a+b=3\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\sqrt{3}\\b=12\end{cases}$，即$y=-\sqrt{3}x+12$，
联立$\begin{cases}y=-\sqrt{3}x+12\\y=\frac{m}{x}\end{cases}$，得$-\sqrt{3}x^2+12x-m=0$，
当$\Delta=144-4×(-\sqrt{3})×(-m)=144-4\sqrt{3}m=0$时，$m=12\sqrt{3}$，
∵双曲线$y=\frac{m}{x}(x＞0)$与△BDE没有交点，
∴$0＜m＜9\sqrt{3}$或$m＞12\sqrt{3}$。
(3) 解：△AOB向左平移n个单位，点B$(2\sqrt{3},6)$平移后坐标为$(2\sqrt{3}-n,6)$，
∵平移后点B落在双曲线$y=\frac{9\sqrt{3}}{x}$上，
∴$6=\frac{9\sqrt{3}}{2\sqrt{3}-n}$，解得$n=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

5. 如图，$ P_1 $ 是反比例函数 $ y = \dfrac{k}{x}(k ＞ 0) $ 在第一象限图象上的一点，点 $ A_1 $ 的坐标为 $ (2, 0) $.
(1) 当点 $ P_1 $ 的横坐标逐渐增大时，$ △ P_1OA_1 $ 的面积将如何变化？
(2) 若 $ △ P_1OA_1 $ 与 $ △ P_2A_1A_2 $ 均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及点 $ A_2 $ 的坐标.

5. (1)逐渐减小 (2)反比例函数为 $ y = \frac { \sqrt { 3 } } { x } $，$ A _ { 2 } ( 2 \sqrt { 2 } , 0 ) $

(1) 设点$ P_1 $的坐标为$ (x, \frac{k}{x}) $（$ x ＞ 0 $），$ OA_1 = 2 $。$ S_{△ P_1OA_1} = \frac{1}{2} × OA_1 × \frac{k}{x} = \frac{1}{2} × 2 × \frac{k}{x} = \frac{k}{x} $。因为$ k ＞ 0 $，当$ x $增大时，$ \frac{k}{x} $减小，所以$ △ P_1OA_1 $的面积逐渐减小。
(2) 过$ P_1 $作$ P_1C ⊥ OA_1 $于$ C $，$ △ P_1OA_1 $为等边三角形，$ OA_1 = 2 $，则$ OC = 1 $，$ P_1C = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3} $，所以$ P_1(1, \sqrt{3}) $。代入$ y = \frac{k}{x} $，得$ k = 1 × \sqrt{3} = \sqrt{3} $，反比例函数解析式为$ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $。
设$ A_1A_2 = a $，过$ P_2 $作$ P_2D ⊥ A_1A_2 $于$ D $，则$ A_1D = \frac{a}{2} $，$ P_2D = \frac{\sqrt{3}}{2}a $，点$ P_2 $的坐标为$ (2 + \frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a) $。代入$ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $，得$ \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{2 + \frac{a}{2}} $，化简得$ \frac{a}{2} = \frac{1}{2 + \frac{a}{2}} $，$ a(2 + \frac{a}{2}) = 2 $，$ 2a + \frac{a^2}{2} = 2 $，$ a^2 + 4a - 4 = 0 $，解得$ a = -2 + 2\sqrt{2} $（负根舍去）。$ OA_2 = OA_1 + A_1A_2 = 2 + (-2 + 2\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} $，所以$ A_2(2\sqrt{2}, 0) $。
综上，反比例函数解析式为$ y = \frac{\sqrt{3}}{x} $，$ A_2 $的坐标为$ (2\sqrt{2}, 0) $。