6. 直线 $ y = \dfrac{3}{2}x $ 与双曲线 $ y = \dfrac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的交点 $ A $ 的横坐标为 $ 2 $.
(1) 求 $ k $ 的值；
(2) 过 $ P(m, 3)(m ＞ 2) $ 作 $ x $ 轴的垂线交双曲线于点 $ M $，交直线 $ OA $ 于点 $ N $.
① 连接 $ OM $，若 $ OA = OM $，直接写出 $ PN - PM $ 的值；
② 试比较 $ PM $ 与 $ PN $ 的大小，并证明你的结论.

6. (1) $ k = 6 $ (2)① $ \frac { 1 } { 2 } $ ② $ P N ＞ P M $

(1) 解：因为点$A$在直线$y = \dfrac{3}{2}x$上，且横坐标为$2$，所以当$x = 2$时，$y=\dfrac{3}{2}×2 = 3$，则点$A$的坐标为$(2,3)$。又因为点$A$在双曲线$y=\dfrac{k}{x}$上，所以$3=\dfrac{k}{2}$，解得$k = 6$。
(2)① $ \dfrac{1}{2} $
② 解：因为$P(m,3)(m＞2)$，过$P$作$x$轴的垂线交双曲线$y = \dfrac{6}{x}$于点$M$，交直线$OA$（即$y=\dfrac{3}{2}x$）于点$N$，所以点$M$的横坐标为$m$，则$M(m,\dfrac{6}{m})$；点$N$的横坐标为$m$，则$N(m,\dfrac{3}{2}m)$。
$PM = 3-\dfrac{6}{m}$，$PN=\dfrac{3}{2}m - 3$。
$PN - PM=(\dfrac{3}{2}m - 3)-(3-\dfrac{6}{m})=\dfrac{3}{2}m - 3 - 3+\dfrac{6}{m}=\dfrac{3}{2}m+\dfrac{6}{m}-6=\dfrac{3m^{2}+12 - 12m}{2m}=\dfrac{3(m^{2}-4m + 4)}{2m}=\dfrac{3(m - 2)^{2}}{2m}$。
因为$m＞2$，所以$(m - 2)^{2}＞0$，$2m＞0$，则$PN - PM＞0$，即$PN＞PM$。

7. 如图，点 $ A $ 在反比例函数 $ y = -\dfrac{4}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，点 $ B $，$ C $ 都在反比例函数 $ y = -\dfrac{2}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，且 $ AB // x $ 轴，点 $ C $ 在 $ AB $ 下方. 设点 $ B $ 的横坐标为 $ a(a ＜ 0) $.
(1) 点 $ A $ 的坐标为 (用含 $ a $ 的代数式表示)；
(2) 当 $ ∠ CAB = ∠ ABC = 45° $ 时，求 $ a $ 的值.

7. (1) $ A ( 2 a , - \frac { 2 } { a } ) $ (2) $ - \frac { 2 } { 3 } $

(1) $ A ( 2a , -\dfrac{2}{a} ) $
(2) 解：由题意得，点$ B $坐标为$ (a, -\dfrac{2}{a}) $，$ AB = 2a - a = a $（$ a ＜ 0 $，实际长度为$ -a $）。
因为$ ∠ CAB = ∠ ABC = 45° $，所以$ △ ABC $是等腰直角三角形，$ AC = BC $，且$ AB $边上的高等于$ \dfrac{1}{2}AB $。
设点$ C $坐标为$ (x, y) $，$ y = -\dfrac{2}{x} $。
$ AB $的长度为$ -a $，则高为$ -\dfrac{a}{2} $，点$ C $的纵坐标为$ -\dfrac{2}{a} - (-\dfrac{a}{2}) = -\dfrac{2}{a} + \dfrac{a}{2} $。
$ AB $中点横坐标为$ \dfrac{2a + a}{2} = \dfrac{3a}{2} $，所以$ x = \dfrac{3a}{2} $，则$ y = -\dfrac{2}{\dfrac{3a}{2}} = -\dfrac{4}{3a} $。
因此$ -\dfrac{4}{3a} = -\dfrac{2}{a} + \dfrac{a}{2} $，解得$ a = -\dfrac{2}{3} $（$ a = \dfrac{2}{3} $舍去）。
综上，$ a $的值为$ -\dfrac{2}{3} $。