7. 如图，矩形 OABC 的顶点 A，C 分别在 x 轴、y 轴上，双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 过 P(4，3)和 B(m，n)(0 ＜ m ＜ 4).
(1)求 k 的值；
(2)连接 PA，PB，若 $ S_{△ABP} = 6 $，求直线 BP 对应的函数解析式.

7. (1) $ k = 12 $ (2) $ y = -\frac{3}{2}x + 9 $

(1)解：因为双曲线$y = \frac{k}{x}$过点$P(4,3)$，所以将$x = 4$，$y = 3$代入$y = \frac{k}{x}$，得$3=\frac{k}{4}$，解得$k = 12$。
(2)解：因为四边形$OABC$是矩形，点$B(m,n)$，所以$A(m,0)$，$C(0,n)$。又因为点$B(m,n)$在双曲线$y=\frac{12}{x}$上，所以$n=\frac{12}{m}$。
$AP$的长度为$4 - m$，$AB$的长度为$n$，$△ ABP$的面积$S_{△ ABP}=\frac{1}{2}×(4 - m)× n = 6$，即$\frac{1}{2}(4 - m)n=6$，$(4 - m)n = 12$。
将$n=\frac{12}{m}$代入$(4 - m)n = 12$，得$(4 - m)×\frac{12}{m}=12$，$4 - m = m$，$2m = 4$，$m = 2$，则$n=\frac{12}{2}=6$，所以$B(2,6)$。
设直线$BP$的解析式为$y = ax + b$，将$B(2,6)$，$P(4,3)$代入，得$\begin{cases}2a + b = 6 \\4a + b = 3\end{cases}$，两式相减得$2a=-3$，$a=-\frac{3}{2}$，将$a = -\frac{3}{2}$代入$2a + b = 6$，得$2×(-\frac{3}{2}) + b = 6$，$-3 + b = 6$，$b = 9$，所以直线$BP$的解析式为$y=-\frac{3}{2}x + 9$。

8. 如图①，△ABC 与△ABD 的面积相等，试判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由；在此基础上，请探讨如下问题：
(1)如图②，点 M，N 在反比例函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，过点 M 作 ME⊥y 轴，过点 N 作 NF⊥x 轴，垂足分别为 E，F，求证：MN//EF；
(2)如图③，若(1)中的其他条件不变，只改变 M，N 的位置，请判断 MN 与 EF 是否平行.

AB//CD；(1)MN//EF；(2)MN//EF。

解：AB与CD的位置关系是平行，理由如下：
过点C作CG⊥AB于G，过点D作DH⊥AB于H，
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴$\frac{1}{2}AB· CG=\frac{1}{2}AB· DH$，
∴CG=DH，
∵CG⊥AB，DH⊥AB，
∴CG//DH，
∴四边形CGHD是平行四边形，
∴AB//CD；
(1)证明：连接MF，NE，
设点M的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，点N的坐标为$(b,\frac{k}{b})$，
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴E$(0,\frac{k}{a})$，F$(b,0)$，
$S_{△ MEF}=\frac{1}{2}· a· \frac{k}{a}=\frac{k}{2}$，
$S_{△ NEF}=\frac{1}{2}· b· \frac{k}{b}=\frac{k}{2}$，
∴$S_{△ MEF}=S_{△ NEF}$，
∵△MEF与△NEF同底EF，
∴点M，N到直线EF的距离相等，且点M，N在EF同侧，
∴MN//EF；
(2)MN与EF平行，理由如下：
连接MF，NE，
设点M的坐标为$(a,\frac{k}{a})$，点N的坐标为$(b,\frac{k}{b})$（$a＞0$，$b＜0$，$\frac{k}{a}＞0$，$\frac{k}{b}＜0$），
∵ME⊥y轴，NF⊥x轴，
∴E$(0,\frac{k}{a})$，F$(b,0)$，
$S_{△ MEF}=\frac{1}{2}· |b|· \frac{k}{a}+\frac{1}{2}· |b|· |\frac{k}{b}|-\frac{1}{2}· a· \frac{k}{a}=\frac{k}{2}$（过程略），
$S_{△ NEF}=\frac{1}{2}· |b|· |\frac{k}{b}|=\frac{k}{2}$，
∴$S_{△ MEF}=S_{△ NEF}$，
∵△MEF与△NEF同底EF，
∴点M，N到直线EF的距离相等，且点M，N在EF两侧，
∴MN//EF.