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1. 如图，在$△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AD$是$BC$边上的中线，$BD = 4$，$AD = 2\sqrt{5}$，则$\tan∠ CAD$的值是(
A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
A
)A.2
B.$\sqrt{2}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{5}$
答案
1.A
解析
解：
∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，BC=2BD=8。
∵∠C=90°，AD=2√5，
∴在Rt△ACD中，AC=√(AD²-CD²)=√[(2√5)²-4²]=√(20-16)=√4=2。
∴tan∠CAD=CD/AC=4/2=2。
答案：A
∵AD是BC边上的中线，BD=4，
∴CD=BD=4，BC=2BD=8。
∵∠C=90°，AD=2√5，
∴在Rt△ACD中，AC=√(AD²-CD²)=√[(2√5)²-4²]=√(20-16)=√4=2。
∴tan∠CAD=CD/AC=4/2=2。
答案：A
2. 如图，以点$O$为圆心的两个圆中，大圆的弦$AB$切小圆于点$C$，$OA$交小圆于点$D$，若$OD = 2$，$\tan∠ OAB = \frac{1}{2}$，则$AB$的长是(
A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.8
D.$4\sqrt{3}$
C
)A.4
B.$2\sqrt{3}$
C.8
D.$4\sqrt{3}$
答案
2.C
解析
解：连接 $OC$。
因为 $AB$ 切小圆于点 $C$，所以 $OC ⊥ AB$，$OC = OD = 2$。
在 $Rt△ AOC$ 中，$\tan∠ OAB = \frac{OC}{AC} = \frac{1}{2}$，
即 $\frac{2}{AC} = \frac{1}{2}$，解得 $AC = 4$。
因为 $OC ⊥ AB$，$O$ 为圆心，所以 $AB = 2AC = 8$。
答案：C
因为 $AB$ 切小圆于点 $C$，所以 $OC ⊥ AB$，$OC = OD = 2$。
在 $Rt△ AOC$ 中，$\tan∠ OAB = \frac{OC}{AC} = \frac{1}{2}$，
即 $\frac{2}{AC} = \frac{1}{2}$，解得 $AC = 4$。
因为 $OC ⊥ AB$，$O$ 为圆心，所以 $AB = 2AC = 8$。
答案：C
3. $∠α$，$∠β$如图所示，则$\tanα$与$\tanβ$的大小关系是
tanα＜tanβ
.(用“$＜$”连接)答案
3.tanα＜tanβ
解析
$\tanα ＜ \tanβ$
4. （2024·惠山区期中）在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，已知$3b = 2c$，斜边上的高$CD = \sqrt{3}$.
求：（1）$\tan A$的值；
（2）$BD$的长.
求：（1）$\tan A$的值；
（2）$BD$的长.
答案
4.解:(1)
∵3b = 2c,
∴c = $\frac{3}{2}$b,
∴a = $\sqrt{c^{2}-b^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}b$,
∴tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
(2)
∵CD⊥AB,
∴∠ADC = 90° = ∠ACB,
∴∠A + ∠ACD = ∠ACD + ∠BCD = 90°,
∴∠A = ∠BCD,
∴tanA = tan∠BCD,
∴$\frac{BD}{CD}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
∵CD = $\sqrt{3}$,
∴BD = $\frac{\sqrt{15}}{2}$.
∵3b = 2c,
∴c = $\frac{3}{2}$b,
∴a = $\sqrt{c^{2}-b^{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}b$,
∴tanA = $\frac{a}{b}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
(2)
∵CD⊥AB,
∴∠ADC = 90° = ∠ACB,
∴∠A + ∠ACD = ∠ACD + ∠BCD = 90°,
∴∠A = ∠BCD,
∴tanA = tan∠BCD,
∴$\frac{BD}{CD}$ = $\frac{\sqrt{5}}{2}$.
∵CD = $\sqrt{3}$,
∴BD = $\frac{\sqrt{15}}{2}$.
5. (2023·宝应期末)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$BC = \sqrt{5}$，$D$是$AC$上一点，连接$BD$.若$\tan A = \frac{1}{3}$，$\tan∠ CDB = 0.5$，则$AD$的长为(
A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$2\sqrt{5}$
B
)A.2
B.$\sqrt{5}$
C.3
D.$2\sqrt{5}$
答案
5.B
解析
解：在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{3}$，$BC=\sqrt{5}$，则$\frac{\sqrt{5}}{AC}=\frac{1}{3}$，解得$AC=3\sqrt{5}$。
在$Rt△ CDB$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}=0.5=\frac{1}{2}$，$BC=\sqrt{5}$，则$\frac{\sqrt{5}}{CD}=\frac{1}{2}$，解得$CD=2\sqrt{5}$。
$AD=AC - CD=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
答案：B
在$Rt△ CDB$中，$∠ C=90^{\circ}$，$\tan∠ CDB=\frac{BC}{CD}=0.5=\frac{1}{2}$，$BC=\sqrt{5}$，则$\frac{\sqrt{5}}{CD}=\frac{1}{2}$，解得$CD=2\sqrt{5}$。
$AD=AC - CD=3\sqrt{5}-2\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
答案：B
6. 如图，点$E(0,4)$，$O(0,0)$，点$C$在$\odot A$上，$BE$是$\odot A$的一条弦.若$\tan∠ OBE = \frac{4}{5}$，则$\odot A$的直径为
$\sqrt{41}$
.答案
6.$\sqrt{41}$
7. 已知$α$，$β$为锐角，若$\tanα = \frac{1}{2}$，$\tanβ = \frac{3}{4}$，利用边长均为$1$的小正方形组成的网格图(如图)，可求得$\tan(α + β) =$
2
.答案
7.2
