7. (2023·常州)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ A = 90° $，点 $ D $ 在边 $ AB $ 上，连接 $ CD $。若 $ BD = CD $，$ \frac{AD}{BD} = \frac{1}{3} $，则 $ \tan B = $。

7. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

解：设 $AD = x$，则 $BD = 3x$，$AB = AD + BD = 4x$。
因为 $BD = CD$，所以 $CD = 3x$。
在 $Rt△ACD$ 中，$AC = \sqrt{CD^2 - AD^2} = \sqrt{(3x)^2 - x^2} = \sqrt{9x^2 - x^2} = \sqrt{8x^2} = 2\sqrt{2}x$。
在 $Rt△ABC$ 中，$\tan B = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}x}{4x} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

8. 如果方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的两个根分别是 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 的两条边长，$ △ ABC $ 最小的角为 $ A $，那么 $ \tan A $ 的值为。

8. $\frac{1}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{2}}{4}$

解方程$x^2 - 4x + 3 = 0$，得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
情况一：1和3为直角边。
最小角$A$所对边为1，$\tan A = \frac{1}{3}$。
情况二：3为斜边，1为直角边。
另一直角边为$\sqrt{3^2 - 1^2} = 2\sqrt{2}$，最小角$A$所对边为1，$\tan A = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$。
综上，$\tan A$的值为$\frac{1}{3}$或$\frac{\sqrt{2}}{4}$。

9. (2024·锡山区模拟)等边 $ △ ABC $ 中，点 $ D $ 在射线 $ CA $ 上，且 $ AB = 2AD $，则 $ \tan ∠ DBC $ 的值为。

9. $3\sqrt{3}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

设等边$△ABC$的边长$AB = 2$，则$AD = 1$，过点$D$作$DE⊥BC$于点$E$。
情况一：点$D$在$CA$延长线上
此时$CD = CA + AD = 2 + 1 = 3$，$∠DCE = 60°$。
在$Rt△CDE$中，$CE = CD·\cos60° = 3×\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，$DE = CD·\sin60° = 3×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$。
$BE = BC - CE = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$，
$\tan∠DBC = \frac{DE}{BE} = \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 3\sqrt{3}$。
情况二：点$D$在$CA$线段上
此时$CD = CA - AD = 2 - 1 = 1$，$∠DCE = 60°$。
在$Rt△CDE$中，$CE = CD·\cos60° = 1×\frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，$DE = CD·\sin60° = 1×\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
$BE = BC - CE = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$，
$\tan∠DBC = \frac{DE}{BE} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$。
综上，$\tan∠DBC$的值为$3\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$。

10. 在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ △ ABC $ 的面积为 6，斜边长为 6，则 $ \tan A + \tan B $ 的值为。

10. 3

解：设 $AC = b$，$BC = a$，$AB = c$。
在 $△ABC$ 中，$∠C = 90°$，面积为 6，斜边长 $c = 6$。
由面积公式得：$\frac{1}{2}ab = 6$，即 $ab = 12$。
由勾股定理得：$a^2 + b^2 = c^2 = 36$。
$\tan A + \tan B = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{36}{12} = 3$。
答案：3

11. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ B = 90° $，$ AB = 5 $，$ BC = 12 $，将 $ △ ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转得到 $ △ ADE $，使得点 $ D $ 落在 $ AC $ 上，则 $ \tan ∠ ECD $ 的值为。

11. $\frac{3}{2}$

在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90°$，$AB = 5$，$BC = 12$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{5^2 + 12^2}=13$。
因为$△ ABC$绕点$A$逆时针旋转得到$△ ADE$，所以$AD = AB = 5$，$DE = BC = 12$，$AE = AC = 13$，$∠ ADE=∠ B = 90°$。
则$CD=AC - AD=13 - 5 = 8$。
过点$E$作$EF⊥ AC$于点$F$，因为$∠ ADE = 90°$，$∠ AFE = 90°$，$∠ DAE=∠ FAE$，所以$△ ADE∼△ AFE$。
所以$\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}$，即$\frac{AF}{5}=\frac{13}{13}=1$，得$AF = 5$，则$EF=\sqrt{AE^2 - AF^2}=\sqrt{13^2 - 5^2}=12$。
所以$CF=AC - AF=13 - 5 = 8$，$DF=AD - AF=5 - 5 = 0$（说明点$F$与点$D$重合），则$EF = DE = 12$。
在$\mathrm{Rt}△ EFC$中，$\tan∠ ECD=\frac{EF}{CF}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}$。
$\frac{3}{2}$

12. 如图，在矩形 $ ABCD $ 中，$ AB = 10 $，$ BC = 8 $，$ E $ 为 $ AD $ 边上一点，沿 $ CE $ 将 $ △ CDE $ 对折，使点 $ D $ 正好落在 $ AB $ 边上的点 $ F $ 处，求 $ \tan ∠ AFE $ 的值。

12. 解: 根据折叠的性质可知 $∠ EFC = ∠ EDC = 90^{\circ}$,
$\therefore ∠ AFE + ∠ BFC = 90^{\circ}$.
在 $Rt△ BCF$ 中, $∠ BCF + ∠ BFC = 90^{\circ}$,
$\therefore ∠ AFE = ∠ BCF$.
$\because$ 四边形ABCD是矩形, $AB = 10,\therefore CD = 10$.
在 $Rt△ BFC$ 中, $BC = 8,CF = CD = 10$,
由勾股定理, 得 $BF = 6,\therefore \tan∠ BCF = \frac{BF}{BC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$,
$\therefore \tan∠ AFE = \tan∠ BCF = \frac{3}{4}$.

13. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ABC = 90° $，$ AB ＜ BC $，$ D $ 是 $ AC $ 的中点，过点 $ D $ 作 $ DE ⊥ AC $ 交 $ BC $ 于点 $ E $。延长 $ ED $ 至点 $ F $，使得 $ DF = DE $，连接 $ AE $，$ AF $，$ CF $。
(1) 求证：四边形 $ AECF $ 是菱形；
(2) 若 $ \frac{BE}{EC} = \frac{1}{4} $，则 $ \tan ∠ BCF $ 的值为。

13. (1) 证明: $\because D$ 是AC的中点, $\therefore AD = CD$.
$\because DF = DE,\therefore$ 四边形AECF是平行四边形.
又 $\because DE ⊥ AC,\therefore$ 平行四边形AECF是菱形.
(2) $\sqrt{15}$