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8. (2024·溧阳模拟)如图，在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$BC = 2$，点$D$在$AC$上，连接$BD$，使得$BD = AC$，以$AC$为边向外作$△ ACE$，若$CE// BD$，$\tan E = 2$，则$AE$的长为
$\sqrt{5}$
.答案
8.$\sqrt{5}$
解析
解：设 $AC = BD = x$，$CD = y$，则 $AD = AC - CD = x - y$。
在 $Rt△ BCD$ 中，$∠ BCD = 90°$，$BC = 2$，由勾股定理得：$BD^2 = BC^2 + CD^2$，即 $x^2 = 2^2 + y^2$，$x^2 - y^2 = 4$ ①。
过点 $A$ 作 $AF ⊥ CE$ 于点 $F$。因为 $CE // BD$，$∠ ACB = 90°$，所以 $∠ ACE = ∠ BDC$，则 $\tan ∠ ACE = \tan ∠ BDC = \frac{BC}{CD} = \frac{2}{y}$。
在 $Rt△ AFE$ 中，$\tan E = 2 = \frac{AF}{EF}$，设 $EF = m$，则 $AF = 2m$。
在 $Rt△ AFC$ 中，$\tan ∠ ACE = \frac{AF}{CF} = \frac{2m}{CF} = \frac{2}{y}$，得 $CF = my$，所以 $CE = CF + EF = my + m = m(y + 1)$。
又因为 $AC = x$，在 $Rt△ AFC$ 中，$AF^2 + CF^2 = AC^2$，即 $(2m)^2 + (my)^2 = x^2$，$m^2(4 + y^2) = x^2$ ②。
由①知 $x^2 = y^2 + 4$，代入②得 $m^2x^2 = x^2$，所以 $m = 1$（$m ＞ 0$）。
则 $AF = 2$，$EF = 1$，$CF = y$，$CE = y + 1$。
因为 $AE^2 = AF^2 + EF^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，所以 $AE = \sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
在 $Rt△ BCD$ 中，$∠ BCD = 90°$，$BC = 2$，由勾股定理得：$BD^2 = BC^2 + CD^2$，即 $x^2 = 2^2 + y^2$，$x^2 - y^2 = 4$ ①。
过点 $A$ 作 $AF ⊥ CE$ 于点 $F$。因为 $CE // BD$，$∠ ACB = 90°$，所以 $∠ ACE = ∠ BDC$，则 $\tan ∠ ACE = \tan ∠ BDC = \frac{BC}{CD} = \frac{2}{y}$。
在 $Rt△ AFE$ 中，$\tan E = 2 = \frac{AF}{EF}$，设 $EF = m$，则 $AF = 2m$。
在 $Rt△ AFC$ 中，$\tan ∠ ACE = \frac{AF}{CF} = \frac{2m}{CF} = \frac{2}{y}$，得 $CF = my$，所以 $CE = CF + EF = my + m = m(y + 1)$。
又因为 $AC = x$，在 $Rt△ AFC$ 中，$AF^2 + CF^2 = AC^2$，即 $(2m)^2 + (my)^2 = x^2$，$m^2(4 + y^2) = x^2$ ②。
由①知 $x^2 = y^2 + 4$，代入②得 $m^2x^2 = x^2$，所以 $m = 1$（$m ＞ 0$）。
则 $AF = 2$，$EF = 1$，$CF = y$，$CE = y + 1$。
因为 $AE^2 = AF^2 + EF^2 = 2^2 + 1^2 = 5$，所以 $AE = \sqrt{5}$。
$\sqrt{5}$
9. (2023·梁溪区月考)如图，点$A$，$B$分别在$x$轴负半轴和$y$轴正半轴上，点$C$在$OB$上，$OC:OB = 1:3$，连接$AC$，过点$O$作$OP// AB$交$AC$的延长线于点$P$.若$P(1,1)$，则$\tan∠ ACO$的值是
3
.答案
9.3
解析
解：设点$B(0,3b)$，则$OC = b$，$C(0,b)$。
设直线$AC$的解析式为$y = kx + b$，将$P(1,1)$代入得$k + b = 1$，即$k = 1 - b$，所以$y=(1 - b)x + b$。
令$y = 0$，得$x=\frac{b}{b - 1}$，故$A(\frac{b}{b - 1},0)$。
直线$AB$的斜率为$\frac{3b - 0}{0 - \frac{b}{b - 1}}=3(1 - b)$，直线$OP$的斜率为$\frac{1 - 0}{1 - 0}=1$。
因为$OP// AB$，所以$3(1 - b)=1$，解得$b=\frac{2}{3}$。
则$A(-2,0)$，$C(0,\frac{2}{3})$。
$\tan∠ ACO=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$。
3
设直线$AC$的解析式为$y = kx + b$，将$P(1,1)$代入得$k + b = 1$，即$k = 1 - b$，所以$y=(1 - b)x + b$。
令$y = 0$，得$x=\frac{b}{b - 1}$，故$A(\frac{b}{b - 1},0)$。
直线$AB$的斜率为$\frac{3b - 0}{0 - \frac{b}{b - 1}}=3(1 - b)$，直线$OP$的斜率为$\frac{1 - 0}{1 - 0}=1$。
因为$OP// AB$，所以$3(1 - b)=1$，解得$b=\frac{2}{3}$。
则$A(-2,0)$，$C(0,\frac{2}{3})$。
$\tan∠ ACO=\frac{OA}{OC}=\frac{2}{\frac{2}{3}}=3$。
3
10. 如图，$△ ABC$的顶点都是正方形网格中的格点，则$\tan∠ BAC$等于
$\frac{1}{3}$
.答案
10.$\frac{1}{3}$
解析
解：过点C作CD⊥AB于点D。
设网格中每个小正方形的边长为1。
由勾股定理得：AB = √[(4)² + (2)²] = √20 = 2√5，AC = √[(2)² + (2)²] = √8 = 2√2，BC = 2。
S△ABC = 1/2 × BC × 2 = 1/2 × 2 × 2 = 2。
又S△ABC = 1/2 × AB × CD，即2 = 1/2 × 2√5 × CD，解得CD = 2√5/5。
在Rt△ACD中，AD = √(AC² - CD²) = √[(2√2)² - (2√5/5)²] = √(8 - 4/5) = √(36/5) = 6√5/5。
tan∠BAC = CD/AD = (2√5/5)/(6√5/5) = 1/3。
$\frac{1}{3}$
设网格中每个小正方形的边长为1。
由勾股定理得：AB = √[(4)² + (2)²] = √20 = 2√5，AC = √[(2)² + (2)²] = √8 = 2√2，BC = 2。
S△ABC = 1/2 × BC × 2 = 1/2 × 2 × 2 = 2。
又S△ABC = 1/2 × AB × CD，即2 = 1/2 × 2√5 × CD，解得CD = 2√5/5。
在Rt△ACD中，AD = √(AC² - CD²) = √[(2√2)² - (2√5/5)²] = √(8 - 4/5) = √(36/5) = 6√5/5。
tan∠BAC = CD/AD = (2√5/5)/(6√5/5) = 1/3。
$\frac{1}{3}$
11. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$BC$边上的点，$AE = BC$，$DF⊥ AE$，垂足为$F$，连接$DE$.
（1）求证：$AB = DF$；
（2）若$AD = 10$，$AB = 6$，求$\tan∠ EDF$的值.
（1）求证：$AB = DF$；
（2）若$AD = 10$，$AB = 6$，求$\tan∠ EDF$的值.
答案
11.(1)证明:在矩形ABCD中，
∵AD//BC,
∴∠DAF = ∠AEB.
∵DF⊥AE,AE = BC,
∴∠AFD = 90° = ∠B,AE = AD,
∴△ABE≌△DFA,
∴AB = DF;
(2)解:由(1)知△ABE≌△DFA,
∴AB = DF = 6.
在Rt△ADF中,AF = $\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8,
∴EF = AE−AF = AD−AF = 2,
∴tan∠EDF = $\frac{EF}{DF}$ = $\frac{1}{3}$.
∵AD//BC,
∴∠DAF = ∠AEB.
∵DF⊥AE,AE = BC,
∴∠AFD = 90° = ∠B,AE = AD,
∴△ABE≌△DFA,
∴AB = DF;
(2)解:由(1)知△ABE≌△DFA,
∴AB = DF = 6.
在Rt△ADF中,AF = $\sqrt{AD^{2}-DF^{2}}$ = $\sqrt{10^{2}-6^{2}}$ = 8,
∴EF = AE−AF = AD−AF = 2,
∴tan∠EDF = $\frac{EF}{DF}$ = $\frac{1}{3}$.
12. （2023·宁夏）如图，$AB$是$\odot O$的直径，直线$DC$是$\odot O$的切线，切点为$C$，$AE⊥ DC$，垂足为$E$.连接$AC$.
（1）求证：$AC$平分$∠ BAE$；
（2）若$AC = 5$，$\tan∠ ACE = \frac{3}{4}$，求$\odot O$的半径.
（1）求证：$AC$平分$∠ BAE$；
（2）若$AC = 5$，$\tan∠ ACE = \frac{3}{4}$，求$\odot O$的半径.
答案
12.(1)证明:连接
OC,如答图.∵直线DC是⊙O的切线,
∴OC⊥DC.
∵AE⊥DC,
∴OC//AE,
∴∠EAC = ∠ACO.
∵OC = OA,
∴∠ACO = ∠OAC,
∴∠EAC = ∠OAC,
∴AC平分∠BAE;
(2)解:连接BC,如答图.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB = 90°,∠CAB + ∠ABC = 90°.
∵AE⊥DC,
∴∠EAC + ∠ACE = 90°.
由(1)得∠EAC = ∠OAC,
∴∠ABC = ∠ACE;
在Rt△ABC中,tan∠ABC = tan∠ACE = $\frac{3}{4}$,
∴$\frac{AC}{BC}$ = $\frac{5}{BC}$ = $\frac{3}{4}$,
∴BC = $\frac{20}{3}$,
在Rt△ABC中,AB = $\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$ = $\frac{25}{3}$,
∴OA = $\frac{25}{6}$,即⊙O的半径为$\frac{25}{6}$.
