登录
6. 如图①,用4个全等的正八边形进行拼接,使相邻的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,用n个全等的正五边形按这种方式拼接,如图②,若围成一圈后中间也形成一个正多边形,则n的值为(
A.6
B.8
C.10
D.12
C
)A.6
B.8
C.10
D.12
答案
6.C
解析
【分析】
解决这类正多边形拼接问题的核心是：公共拼接顶点处的各角度数之和为周角360°。解题思路如下：首先利用正多边形内角公式计算正五边形的单个内角度数；再用360°减去两个正五边形的内角和，得到中间围成的正多边形的单个内角度数；最后结合正多边形内角公式，求出中间正多边形的边数，也就是正五边形的个数n（n个正多边形围成一圈时，中间正多边形的边数与n相等）。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
正多边形内角和公式为$\boldsymbol{(m-2)×180°}$（$m$为正多边形的边数，$m≥3$且为整数），因此正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 计算中间正多边形的每个内角度数：
拼接处的公共顶点处，两个正五边形的内角与中间正多边形的一个内角之和为$360°$，因此中间正多边形的单个内角为：
$360°-108°×2=144°$
3. 设中间正多边形的边数为$n$，列方程求解：
根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解方程：
两边同乘$n$得：$(n-2)×180=144n$
展开整理得：$36n=360$
解得：$n=10$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，周角的性质，方程思想应用
【点评】
本题是多边形拼接类的典型基础题，将正多边形内角的计算和周角的性质结合考查，解题的关键是找准拼接点处的角度和关系，结合公式列方程求解即可，需要熟练掌握正多边形内角的计算方法。
【难度系数】
0.7
解决这类正多边形拼接问题的核心是：公共拼接顶点处的各角度数之和为周角360°。解题思路如下：首先利用正多边形内角公式计算正五边形的单个内角度数；再用360°减去两个正五边形的内角和，得到中间围成的正多边形的单个内角度数；最后结合正多边形内角公式，求出中间正多边形的边数，也就是正五边形的个数n（n个正多边形围成一圈时，中间正多边形的边数与n相等）。
【解析】
1. 计算正五边形的每个内角度数：
正多边形内角和公式为$\boldsymbol{(m-2)×180°}$（$m$为正多边形的边数，$m≥3$且为整数），因此正五边形每个内角的度数为：
$\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$
2. 计算中间正多边形的每个内角度数：
拼接处的公共顶点处，两个正五边形的内角与中间正多边形的一个内角之和为$360°$，因此中间正多边形的单个内角为：
$360°-108°×2=144°$
3. 设中间正多边形的边数为$n$，列方程求解：
根据正多边形内角公式可得：
$\frac{(n-2)×180°}{n}=144°$
解方程：
两边同乘$n$得：$(n-2)×180=144n$
展开整理得：$36n=360$
解得：$n=10$
【答案】
C
【知识点】
正多边形内角计算，周角的性质，方程思想应用
【点评】
本题是多边形拼接类的典型基础题，将正多边形内角的计算和周角的性质结合考查，解题的关键是找准拼接点处的角度和关系，结合公式列方程求解即可，需要熟练掌握正多边形内角的计算方法。
【难度系数】
0.7
二、填空题
1. 如图是一款儿童小推车的示意图，若$AB// CD$，$∠ 1=30°$，$∠ 2=70°$，则$∠ 3$的度数为
1. 如图是一款儿童小推车的示意图，若$AB// CD$，$∠ 1=30°$，$∠ 2=70°$，则$∠ 3$的度数为
40°
。答案
1.40°
解析
【分析】
解题时先结合已知AB//CD的条件，想到利用平行线的性质转化角的数量关系，再观察∠1、∠2、∠3的位置关系，可通过作辅助线构造平行关系，或者利用三角形外角的性质，找到三个角之间的和差关系，进而计算出∠3的度数。
【解析】
我们可以利用三角形外角性质求解：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠BAC=∠1=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠2是对应三角形的外角，
∴ ∠2=∠BAC + ∠3（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
代入已知角度得：∠3=∠2 - ∠BAC=70°-30°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过平行线的性质完成角的等量转化，再结合角的和差关系即可求解，是平行线和三角形性质综合考查的常见题型。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知AB//CD的条件，想到利用平行线的性质转化角的数量关系，再观察∠1、∠2、∠3的位置关系，可通过作辅助线构造平行关系，或者利用三角形外角的性质，找到三个角之间的和差关系，进而计算出∠3的度数。
【解析】
我们可以利用三角形外角性质求解：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠BAC=∠1=30°（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠2是对应三角形的外角，
∴ ∠2=∠BAC + ∠3（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
代入已知角度得：∠3=∠2 - ∠BAC=70°-30°=40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行线的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础计算题，核心是通过平行线的性质完成角的等量转化，再结合角的和差关系即可求解，是平行线和三角形性质综合考查的常见题型。
【难度系数】
0.8
2. 将边长相等的正五边形和正六边形如图所示拼接在一起，则∠ABC的度数为
24°
.答案
2.24°
解析
【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：首先回忆多边形内角和公式，分别计算正五边形、正六边形的单个内角度数；再观察拼接位置的角度关系，两个正多边形的内角与∠ABC共同构成周角（和为360°），用周角度数减去两个正多边形的内角度数，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（n为≥3的整数）：
1. 求正五边形的单个内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
正五边形各内角相等，因此单个内角为$540°÷5=108°$。
2. 求正六边形的单个内角度数：
正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，
正六边形各内角相等，因此单个内角为$720°÷6=120°$。
3. 求∠ABC的度数：
拼接点处三个角的和为周角$360°$，因此：
$∠ ABC=360°-108°-120°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
多边形内角和公式；正多边形内角计算；周角性质
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握正多边形内角度数的计算方法，结合周角的性质即可求解，易错点是记错多边形内角和公式导致内角度数计算错误。
【难度系数】
0.8
要解决本题，可按以下思路推导：首先回忆多边形内角和公式，分别计算正五边形、正六边形的单个内角度数；再观察拼接位置的角度关系，两个正多边形的内角与∠ABC共同构成周角（和为360°），用周角度数减去两个正多边形的内角度数，即可求出∠ABC的度数。
【解析】
根据多边形内角和公式：n边形内角和为$\boldsymbol{(n-2)×180°}$（n为≥3的整数）：
1. 求正五边形的单个内角度数：
正五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，
正五边形各内角相等，因此单个内角为$540°÷5=108°$。
2. 求正六边形的单个内角度数：
正六边形内角和为$(6-2)×180°=720°$，
正六边形各内角相等，因此单个内角为$720°÷6=120°$。
3. 求∠ABC的度数：
拼接点处三个角的和为周角$360°$，因此：
$∠ ABC=360°-108°-120°=24°$。
【答案】
$24°$
【知识点】
多边形内角和公式；正多边形内角计算；周角性质
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础题型，解题关键是熟练掌握正多边形内角度数的计算方法，结合周角的性质即可求解，易错点是记错多边形内角和公式导致内角度数计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图，$∠ AOB=90°$,在射线$OB$上取一点$C$,以点$O$为圆心,$OC$长为半径画弧,再以点$C$为圆心,$OC$长为半径画弧,两弧在$∠ AOB$内部相交于点$D$,连接$CD$并延长,交射线$OA$于点$E$.若$OC=1$,则$OE$的长是
√3
.答案
3.√3
解析
【分析】
解题时先结合题目中的尺规作图特征，确定线段的等量关系：由两次作弧的半径均为OC，可得OD=OC、CD=OC，因此可判定△OCD为等边三角形，得到∠OCD的度数；再结合∠AOB=90°的条件，可得到Rt△EOC中锐角的度数，利用直角三角形的性质得到斜边EC的长度，最后用勾股定理即可计算出OE的长度。
【解析】
连接OD，由作图可知：
$OD=OC$，$CD=OC$，
∴ $OD=OC=CD$，
∴ $△ OCD$是等边三角形，
∴ $∠ OCD=60°$。
∵ $∠ AOB=90°$，即$∠ EOC=90°$，
∴ 在$Rt△ EOC$中，$∠ OEC=90°-∠ OCD=90°-60°=30°$，
∴ $EC=2OC=2×1=2$。
根据勾股定理，在$Rt△ EOC$中：
$OE=\sqrt{EC^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形相关性质的应用，解题的关键是先根据作图条件判断出等边三角形，再结合直角三角形的特殊性质和勾股定理求解，是几何基础类的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合题目中的尺规作图特征，确定线段的等量关系：由两次作弧的半径均为OC，可得OD=OC、CD=OC，因此可判定△OCD为等边三角形，得到∠OCD的度数；再结合∠AOB=90°的条件，可得到Rt△EOC中锐角的度数，利用直角三角形的性质得到斜边EC的长度，最后用勾股定理即可计算出OE的长度。
【解析】
连接OD，由作图可知：
$OD=OC$，$CD=OC$，
∴ $OD=OC=CD$，
∴ $△ OCD$是等边三角形，
∴ $∠ OCD=60°$。
∵ $∠ AOB=90°$，即$∠ EOC=90°$，
∴ 在$Rt△ EOC$中，$∠ OEC=90°-∠ OCD=90°-60°=30°$，
∴ $EC=2OC=2×1=2$。
根据勾股定理，在$Rt△ EOC$中：
$OE=\sqrt{EC^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$。
【答案】
$\sqrt{3}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理
【点评】
本题结合尺规作图考查三角形相关性质的应用，解题的关键是先根据作图条件判断出等边三角形，再结合直角三角形的特殊性质和勾股定理求解，是几何基础类的典型题型。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=80°$,$∠ B=40°$,$BC$的垂直平分线交$AB$于点$D$,连接$DC$,过点$C$作$CE ⊥ AB$于点$E$.如果$AD=3$,$BD=8$,那么$△ ADC$的周长为
19
.答案
4.19
解析
【分析】
解题时首先从已知的BC垂直平分线入手，根据线段垂直平分线的性质可得DC=BD，先求出DC的长度；接下来通过等腰三角形等边对等角的性质得到∠DCB=∠B，再结合三角形外角的性质求出∠ADC的度数，对比∠A的度数可发现△ADC是等腰三角形，得到AC=DC；最后将△ADC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 因为点D在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$DC=BD=8$。
2. 由$DC=BD$，根据等边对等角，可得$∠DCB=∠B=40°$。
3. $∠ADC$是$△BCD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ADC=∠B+∠DCB=40°+40°=80°$。
4. 已知$∠A=80°$，所以$∠A=∠ADC$，根据等角对等边，可得$AC=DC=8$。
5. $△ADC$的周长为$AD+DC+AC$，代入$AD=3$、$DC=8$、$AC=8$，计算得周长为$3+8+8=19$。
【答案】
19
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线和等腰三角形的相关性质，通过角度推导得到边的等量关系，进而计算周长。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知的BC垂直平分线入手，根据线段垂直平分线的性质可得DC=BD，先求出DC的长度；接下来通过等腰三角形等边对等角的性质得到∠DCB=∠B，再结合三角形外角的性质求出∠ADC的度数，对比∠A的度数可发现△ADC是等腰三角形，得到AC=DC；最后将△ADC三边长度相加即可得到周长。
【解析】
1. 因为点D在BC的垂直平分线上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得$DC=BD=8$。
2. 由$DC=BD$，根据等边对等角，可得$∠DCB=∠B=40°$。
3. $∠ADC$是$△BCD$的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得$∠ADC=∠B+∠DCB=40°+40°=80°$。
4. 已知$∠A=80°$，所以$∠A=∠ADC$，根据等角对等边，可得$AC=DC=8$。
5. $△ADC$的周长为$AD+DC+AC$，代入$AD=3$、$DC=8$、$AC=8$，计算得周长为$3+8+8=19$。
【答案】
19
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题的关键是熟练运用线段垂直平分线和等腰三角形的相关性质，通过角度推导得到边的等量关系，进而计算周长。
【难度系数】
0.7
三、解答题
已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的 3 倍多 $20°$.
(1)求这个正多边形一个内角的度数.
(2)求这个正多边形的内角和.
已知某正多边形的一个内角比与它相邻外角的 3 倍多 $20°$.
(1)求这个正多边形一个内角的度数.
(2)求这个正多边形的内角和.
答案
解：
(1) 设这个正多边形的一个外角的度数为$x$，则与其相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补，列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$
则这个正多边形一个内角的度数为：$3×40° +20°=140°$。
(2) 任意多边形的外角和为$360°$，该正多边形每个外角都等于$40°$，
因此这个正多边形的边数为：$\frac{360°}{40°}=9$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，得该正多边形的内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
答：(1) 这个正多边形一个内角的度数为$140°$；(2) 这个正多边形的内角和为$1260°$。
(1) 设这个正多边形的一个外角的度数为$x$，则与其相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补，列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$
则这个正多边形一个内角的度数为：$3×40° +20°=140°$。
(2) 任意多边形的外角和为$360°$，该正多边形每个外角都等于$40°$，
因此这个正多边形的边数为：$\frac{360°}{40°}=9$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，得该正多边形的内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
答：(1) 这个正多边形一个内角的度数为$140°$；(2) 这个正多边形的内角和为$1260°$。
解析
【分析】
(1) 解题时首先明确正多边形的一个内角与其相邻外角互补，即和为180°，结合题目给出的内角与外角的数量关系，我们可以设外角度数为未知数，根据互补关系列方程求解，先得到外角度数，再计算对应的内角度数即可。
(2) 第二问先利用任意多边形外角和恒为360°的性质，结合第一问求出的外角度数，计算出正多边形的边数，再代入多边形内角和公式即可求出内角和。
【解析】
(1) 设这个正多边形的一个外角的度数为$x$，则与其相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补，列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$
则这个正多边形一个内角的度数为：$3×40° +20°=140°$。
(2) 任意多边形的外角和为$360°$，该正多边形每个外角都等于$40°$，
因此这个正多边形的边数为：$\frac{360°}{40°}=9$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，得该正多边形的内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
【答案】
(1) $140°$；(2) $1260°$
【知识点】
多边形内外角互补、多边形外角和定理、多边形内角和公式
【点评】
本题是正多边形相关性质的基础应用题，解题的关键是抓住正多边形内外角互补、外角和固定为360°的性质，通过设未知数列方程的方式逐步推导，计算量小，掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1) 解题时首先明确正多边形的一个内角与其相邻外角互补，即和为180°，结合题目给出的内角与外角的数量关系，我们可以设外角度数为未知数，根据互补关系列方程求解，先得到外角度数，再计算对应的内角度数即可。
(2) 第二问先利用任意多边形外角和恒为360°的性质，结合第一问求出的外角度数，计算出正多边形的边数，再代入多边形内角和公式即可求出内角和。
【解析】
(1) 设这个正多边形的一个外角的度数为$x$，则与其相邻的内角的度数为$3x+20°$。
根据内角与相邻外角互补，列方程得：
$x + 3x + 20° = 180°$
解得：$x=40°$
则这个正多边形一个内角的度数为：$3×40° +20°=140°$。
(2) 任意多边形的外角和为$360°$，该正多边形每个外角都等于$40°$，
因此这个正多边形的边数为：$\frac{360°}{40°}=9$。
根据多边形内角和公式$(n-2)×180°$，得该正多边形的内角和为：
$(9-2)×180°=1260°$
【答案】
(1) $140°$；(2) $1260°$
【知识点】
多边形内外角互补、多边形外角和定理、多边形内角和公式
【点评】
本题是正多边形相关性质的基础应用题，解题的关键是抓住正多边形内外角互补、外角和固定为360°的性质，通过设未知数列方程的方式逐步推导，计算量小，掌握相关公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
