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1.关于线段的垂直平分线有以下说法:①一条线段的垂直平分线与该线段的交点是这条线段的中点;②线段的垂直平分线是一条直线;③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴。其中正确的说法有 （）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案
C
解析
逐一判断三个说法：
1. 根据线段垂直平分线的定义，线段垂直平分线平分该线段，因此它和线段的交点就是这条线段的中点，①说法正确；
2. 线段垂直平分线的定义就是垂直于一条线段且平分它的直线，因此线段的垂直平分线是一条直线，②说法正确；
3. 线段的对称轴共有2条，分别是线段的垂直平分线、线段自身所在的直线，因此线段的垂直平分线不是这条线段的唯一对称轴，③说法错误。
综上正确的说法共有2个。
1. 根据线段垂直平分线的定义，线段垂直平分线平分该线段，因此它和线段的交点就是这条线段的中点，①说法正确；
2. 线段垂直平分线的定义就是垂直于一条线段且平分它的直线，因此线段的垂直平分线是一条直线，②说法正确；
3. 线段的对称轴共有2条，分别是线段的垂直平分线、线段自身所在的直线，因此线段的垂直平分线不是这条线段的唯一对称轴，③说法错误。
综上正确的说法共有2个。
2.如图,已知直线MN是线段AB的垂直平分线,垂足为N,AM=5 cm,△MAB的周长为16 cm,那么AN=（）
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
A
解析
根据线段垂直平分线的性质，可得BM=AM=5cm，且AN=BN=½AB。已知△MAB的周长为16cm，即AM+BM+AB=16cm，代入数值计算得5+5+AB=16，解得AB=6cm，因此AN=½AB=3cm。
3. 如图，在已知的$△ ABC$中，按以下步骤作图：①分别以点$B$，$C$为圆心，以大于$\frac{1}{2}BC$的长为半径作弧，两弧相交于$M$，$N$两点；②作直线$MN$交$AB$于点$D$，连接$CD$。若$CD=AC$，$∠ B=25°$，则$∠ ACB$的度数为 （）
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
A.$90°$
B.$95°$
C.$100°$
D.$105°$
答案
D
解析
由作图步骤可知，直线MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，得CD=BD，因此∠BCD=∠B=25°。
根据三角形外角性质，∠CDA=∠B+∠BCD=25°+25°=50°。
已知CD=AC，故△ACD为等腰三角形，∠A=∠CDA=50°，计算得∠ACD=180°-2×50°=80°。
因此∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°。
根据三角形外角性质，∠CDA=∠B+∠BCD=25°+25°=50°。
已知CD=AC，故△ACD为等腰三角形，∠A=∠CDA=50°，计算得∠ACD=180°-2×50°=80°。
因此∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°。
4. 如图是一块三角形草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息。若要使凉亭到草坪三条边的距离都相等，则凉亭应建在三角形草坪 （）
A.三条角平分线的交点处
B.三条中线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条边的垂直平分线的交点处
A.三条角平分线的交点处
B.三条中线的交点处
C.三条高的交点处
D.三条边的垂直平分线的交点处
答案
A
解析
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可得三角形三条角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等，满足凉亭到草坪三条边距离都相等的要求。三条中线的交点是三角形重心，三条高的交点是三角形垂心，三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，均不符合要求。因此凉亭应建在三条角平分线的交点处。
5.已知$∠ AOB=60°$，以$O$为圆心，以任意长为半径作弧，分别交$OA$，$OB$于点$M$，$N$，分别以点$M$，$N$为圆心，以大于$\frac{1}{2}MN$的长度为半径作弧，两弧在$∠ AOB$内交于点$P$，以$OP$为边作$∠ POC=15°$，则$∠ BOC$的度数为（）
A.$15°$
B.$45°$
C.$15°$或$30°$
D.$15°$或$45°$
A.$15°$
B.$45°$
C.$15°$或$30°$
D.$15°$或$45°$
答案
D
解析
由题中的尺规作图步骤可知，OP是∠AOB的角平分线。已知∠AOB=60°，因此∠POB=½∠AOB=30°。分两种情况计算：①当OC落在∠POB内部时，∠BOC=∠POB - ∠POC=30°-15°=15°；②当OC落在∠POA内部时，∠BOC=∠POB + ∠POC=30°+15°=45°。因此∠BOC的度数为15°或45°。
