6.如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$CE$平分$∠ ACB$,$ED$垂直平分$BC$,$CE=4$,$ED=2$,则$AB$的长度为（）

A.5
B.6
C.10
D.12

B

1. 已知CE平分∠ACB，∠A=90°即EA⊥AC，且ED⊥BC，根据角平分线的性质，可得AE=ED=2。
2. 已知ED垂直平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BE=CE=4。
3. 因此AB=BE+AE=4+2=6。

7.如图，∠MON=50°，P为∠MON内一点，OM上有点A，ON上有点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为 （）

A.60°
B.70°
C.80°
D.100°

C

1. 作点P关于OM的对称点C，作点P关于ON的对称点D，连接CD，分别交OM、ON于点A、B，此时PA=CA，PB=DB，△PAB的周长=CA+AB+DB=CD，周长取得最小值。
2. 由轴对称性质得：OC=OP=OD，∠COP=2∠AOP，∠DOP=2∠BOP，因此∠COD=∠COP+∠DOP=2(∠AOP+∠BOP)=2∠MON=100°。
3. 等腰△OCP中，∠OPC=(180°-∠COP)/2=90°-∠AOP；等腰△ODP中，∠OPD=(180°-∠DOP)/2=90°-∠BOP，因此∠CPD=∠OPC+∠OPD=180°-(∠AOP+∠BOP)=180°-50°=130°。
4. 由AC=AP得∠ACP=∠APC，由BD=BP得∠BDP=∠BPD，在△CPD中，∠ACP+∠BDP=180°-∠CPD=50°，即∠APC+∠BPD=50°。
5. 因此∠APB=∠CPD-(∠APC+∠BPD)=130°-50°=80°。

8. 如图，在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$BC$的垂直平分线交$BD$于点$E$，连接$CE$。若$∠ A=60°$，$∠ ACE=24°$，则$∠ ABE$的度数为（）

A.$24°$
B.$30°$
C.$32°$
D.$48°$

C

∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE。
∵点E在BC的垂直平分线上，∴EB=EC，可得∠CBE=∠BCE。
因此∠ABE=∠CBE=∠BCE，设∠ABE=x，则∠ABC=2x，∠ACB=x+24°。
在△ABC中，由三角形内角和为180°，得：
∠A + ∠ABC + ∠ACB = 180°，代入∠A=60°，∠ACE=24°：
60° + 2x + x + 24° = 180°，解得3x=96°，x=32°，即∠ABE=32°。

9.如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,CE垂直平分线段AD于点E,且CD平分$∠ BCE$。若$AC=8\ \mathrm{cm}$,则$AB=$。

解：
∵ CE垂直平分线段AD，
∴ AC = CD，CE⊥AD，
∴ ∠ACE = ∠DCE。
∵ CD平分∠BCE，
∴ ∠DCE = ∠DCB。
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠ACE + ∠DCE + ∠DCB = 90°，
∴ 3∠ACE = 90°，即∠ACE = 30°，
∴ ∠A = 90° - ∠ACE = 60°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，
∴ ∠B = 30°，
∴ AB = 2AC。
∵ AC = 8 cm，
∴ AB = 16 cm。

10. 如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8，对角线BD⊥CD，点P是BC边上一动点，连接DP。若∠ADB=∠C，则DP长度的最小值为。

解：
过点D作DP⊥BC于点P，此时DP的长度取得最小值（垂线段最短）。
∵ BD⊥CD，∠A=90°
∴ ∠A = ∠DPB = 90°
∵ ∠ADB = ∠C
∠DBC + ∠C = 90°，∠ABD + ∠ADB = 90°
∴ ∠ABD = ∠DBC
即BD平分∠ABC
又∵ DA⊥AB，DP⊥BC
根据角平分线的性质，可得DP = AD = 8
故DP长度的最小值为$\boldsymbol{8}$。

11. 在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AB$的垂直平分线与$AC$所在直线相交所得的锐角为$40°$，则底角$∠ B$的度数为________。

解：分两种情况讨论：
① 当AB的垂直平分线与腰AC相交时，
设AB的垂直平分线为DE，D为垂足，交AC于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°，
∴ ∠A = 90° - 40° = 50°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = (180° - ∠A)÷2 = (180° - 50°)÷2 = 65°。
② 当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，
设AB的垂直平分线为DE，D为垂足，交CA的延长线于点E，
则∠ADE=90°，由题意得∠AED=40°，
∴ ∠EAD = 90° - 40° = 50°，
∴ ∠BAC = 180° - ∠EAD = 130°，
∵ AB=AC，
∴ ∠B = ∠C = (180° - ∠BAC)÷2 = (180° - 130°)÷2 = 25°。
综上，底角∠B的度数为65°或25°。

12. 如图，在$△ ABC$中，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，垂足分别是M，N。
(1)若$BC=10$，求$△ ADE$的周长；
(2)若$∠ BAC=100°$，求$∠ DAE$的度数。

解：
(1) ∵ DM是AB的垂直平分线，
∴ DA=DB。
∵ EN是AC的垂直平分线，
∴ EA=EC。
∴ △ADE的周长 = AD + DE + AE = BD + DE + EC = BC。
∵ BC=10，
∴ △ADE的周长为10。
(2) 在△ABC中，
∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 180° - 100° = 80°。
∵ DA=DB，
∴ ∠DAB=∠B。
∵ EA=EC，
∴ ∠EAC=∠C。
∴ ∠DAB + ∠EAC = ∠B + ∠C = 80°。
∴ ∠DAE = ∠BAC - (∠DAB + ∠EAC) = 100° - 80° = 20°。