9.「2026 江苏宿迁泗洪期末」如图,点 D 是△ABC 中∠BAC 的平分线和边 BC 的垂直平分线 DE 的交点,DG⊥AB 于点 G,DH⊥AC 交 AC 的延长线于点 H.
(1)求证:BG=CH.
(2)若AB=12,AC=8,求AG 的长.

(1)如图,连接 BD,CD,
∵ D 是线段 BC 垂直平分线上的点,
∴ BD=CD,
∵ D 是∠BAC 平分线上的点,DG⊥AB,DH⊥AC,
∴ DG=DH,∠DGB=∠H=90°,
在Rt△BDG 和 Rt△CDH 中,{BD=CD,DG=DH,
∴ Rt△BDG≌Rt△CDH(HL),
∴ BG=CH.
(2)在Rt△ADG 和 Rt△ADH 中,{AD=AD,DG=DH,
∴ Rt△ADG≌Rt△ADH(HL),
∴ AG=AH,
∵ BG=CH,
∴ AB-AG=AH-AC,
∴ 2AG=AB+AC=12+8=20,
∴ AG=10.

10.「2026浙江台州期末」如图,在等边△ABC中,若BC边上的中线AD与AC边上的中线BE交于点F,则∠AFB的度数为 ()

A.110°
B.120°
C.135°
D.150°

B

∵ △ABC 是等边三角形,
∴ ∠BAC=∠ABC=60°,
∵ AD,BE 均是等边△ABC 的中线,
∴ ∠BAD=1/2 ∠BAC=30°,∠ABE=1/2 ∠ABC=30°,
∴ ∠AFB=180°-∠BAD-∠ABE=180°-30°-30°=120°.

11.「2026江苏连云港赣榆期末」如图,在$△ ABC$中,$AC=6$,以$A$为圆心,$AB$的长为半径画弧,交$BC$于点$D$.若$M,N$分别是$BD,AC$的中点,则$MN$的长为.

答案 3
解析 连接 AD,AM(图略),由作图可知 AD=AB,
∵ M 是 BD 的中点,
∴ AM⊥BD,
∴ △AMC 为直角三角形.
∵ N 是 AC 的中点,
∴ MN=1/2 AC=3.

12.「2026江苏南京联合体期末」如图，以线段AB为斜边向同侧作$Rt △ ABC$和$Rt △ ABD$，$∠ ACB = ∠ ADB=90°$，$AD$，$BC$交于点$O$，$P$是线段$AB$的中点，连接$PC$，$PD$。若$∠ CPD=76°$，则$∠ AOB=$°。

答案 128
解析

∵ P 是 Rt△ABC 与 Rt△ABD 的公共斜边 AB 的中点,
∴ PC = PD = PA = PB = 1/2 AB,
∴ ∠PAD = ∠PDA,
∴ ∠BPD = 2∠DAP, 同理可得 ∠APC = 2∠CBP,
∵ ∠CPD = 76°,
∴ ∠APC+∠BPD = 180°-∠CPD=180°-76°=104°,
∴ ∠CBP+∠DAP=52°,
∴ ∠AOB=180°-(∠CBP+∠DAP)=180°-52°=128°.

13.「2026江苏苏州昆山期末」如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=2∠ C$,点D是边AC的中点,点E在边AB的延长线上,连接DE交BC于点F,连接AF,且$BE=BF$.
(1)若$∠ C=28°$,求$∠ E$的度数.
(2)证明:$AF⊥ BC$.

(1)
∵ ∠ABC=2∠C,∠C=28°,
∴ ∠ABC=56°,
∵ BE=BF,
∴ ∠E=∠BFE,
∵ ∠ABC=∠E+∠BFE,
∴ ∠E=1/2 ∠ABC=28°.
(2)证明:
∵ BE=BF,
∴ ∠E=∠BFE,
∵ ∠ABC=2∠C,∠ABC=∠E+∠BFE,
∴ ∠E=∠BFE=∠C,
∵ ∠DFC=∠BFE,
∴ ∠DFC=∠C,
∴ DF=DC,
∵ 点 D 为 AC 的中点,
∴ DF=DC=AD,
∴ ∠DAF=∠AFD,
∵ ∠AFD+∠DFC+∠DAF+∠C=180°,
∴ ∠AFD+∠DFC=∠DAF+∠C=1/2×180°=90°,
∴ ∠AFC=∠AFD+∠DFC=90°,
∴ AF⊥BC.

14.在等腰$△ ABC$中，$AB=BC$，高$AD$，$BE$所在的直线相交于点$F$，将$△ ACD$沿直线$AD$翻折，点$C$的对应点$C'$落在直线$BC$上，连接$FC'$。
(1)如图1，当$∠ ABC=45°$时。
①求证：$BF=AC$。
②求$∠ FC'D$的度数。
(2)当$∠ ABC=135°$时，补全图2，并证明$C'F // AB$。

(1)①证明:
∵ AD 是△ABC 的高,∠ABC=45°,
∴ ∠BDF=90°=∠ADC,∠BAD=45°,
∴ BD=AD,
∵ BE 是△ABC 的高,
∴ ∠DBF=90°-∠C=∠DAC,
在△BDF 和△ADC 中,{∠DBF=∠DAC,BD=AD,∠BDF=∠ADC,
∴ △BDF≌△ADC(ASA).
∴ BF=AC.
②由①知△BDF≌△ADC,
∴ DF=DC,
∵ 将△ACD 沿直线 AD 翻折,点 C 的对应点 C'落在直线 BC 上,
∴ DC=DC',
∴ DF=DC',
∴ △DFC'是等腰直角三角形,
∴ ∠FC'D=45°.
(2)补全图形如下.
证明:
∵ ∠ABC=135°,
∴ ∠ABD=45°,
∵ AD 是△ABC 的高,
∴ △ABD 是等腰直角三角形,
∴ AD=BD,
∵ AD,BE 是△ABC 的高,
∴ ∠ADC=∠BDF=∠BEC=90°,
∵ ∠EBC=∠DBF,
∴ ∠DFB=∠ACD,
∴ △DBF≌△DAC(AAS),
∴ DF=DC,
∵ 将△ACD 沿直线 AD 翻折,点 C 的对应点 C'落在直线 BC 上,
∴ DC=DC',
∴ DF=DC',
∴ ∠DC'F=45°,
∴ ∠DC'F=∠ABD,
∴ C'F//AB.