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4. 如图,在平面直角坐标系中,直线$l:y=-\frac{3}{4}x + b$与x轴、y轴分别交于点A、点B,其中点B的坐标为$(0,-6)$,直线$x=-2$交AB于点C,交x轴于点E,点$D(-2,m)$在直线$x=-2$上,且在点C的下方.
(1)求直线l的函数表达式与点A的坐标.
(2)连接AD,BD,当四边形AOBD的面积为38时.
①求点D的坐标;
②在y轴上找一点M,使$△ AMD$的周长有最小值,请求出点M的坐标.
(1)求直线l的函数表达式与点A的坐标.
(2)连接AD,BD,当四边形AOBD的面积为38时.
①求点D的坐标;
②在y轴上找一点M,使$△ AMD$的周长有最小值,请求出点M的坐标.
答案
(1)$\because$ 直线$l:y = -\dfrac{3}{4}x + b$与$y$轴交于点$B(0,-6),$
$\therefore b = -6,$
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y = -\dfrac{3}{4}x - 6.$
当$y = 0$时,$-\dfrac{3}{4}x - 6 = 0$, 解得$x = -8, \therefore A(-8,0).$
(2)①$\because S_{\mathrm{四边形}AOBD} = S_{△ ADE} + S_{\mathrm{梯形}EDBO} = 38,$
$\therefore \dfrac{1}{2} × (8 - 2) × (-m) + \dfrac{1}{2}(-m + 6) × 2 = 38,$
解得$m = -8, \therefore D(-2,-8).$
②
,作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$,则点$A'$的坐标为$(8,0)$.连接$A'D$交$y$轴于点$M$,连接$AM$,此时$△ AMD$的周长最小.设$A'D$的函数表达式为$y = kx + n,$
把$D(-2,-8),A'(8,0)$分别代入,
得$\begin{cases} -2k + n = -8, \\ 8k + n = 0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{4}{5}, \\ n = -\dfrac{32}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$A'D$的函数表达式为$y = \dfrac{4}{5}x - \dfrac{32}{5}.$
当$x = 0$时,$y = -\dfrac{32}{5}, \therefore$ 点$M$的坐标为$(0,-\dfrac{32}{5}).$
解析
【分析】
(1) 求解直线l的解析式时，已知解析式含参数b，且直线过点B(0,-6)，将B点坐标代入解析式即可求出b，得到直线l的完整表达式；点A是直线l与x轴的交点，令解析式中y=0，解出对应的x值，即可得到点A的坐标。
(2) ①求点D的坐标，已知D点横坐标为-2，只需求出纵坐标m的值。四边形AOBD为不规则图形，可采用分割法，将其拆为△ADE和梯形EDBO两部分，分别用含m的式子表示两部分的面积，根据面积和为38列方程求解，即可得到m的值，确定D点坐标。
②△AMD的周长为AM+MD+AD，其中AD的长度是固定值，因此要使周长最小，只需保证AM+MD的和最小。这是典型的最短路径问题，可通过作对称点转化线段长度：作点A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质，AM=A'M，因此AM+MD=A'M+MD，当A'、M、D三点共线时，A'M+MD的和最小，此时△AMD周长最小。求出直线A'D的解析式，令x=0即可得到M点的纵坐标，进而确定M的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 直线$l:y = -\dfrac{3}{4}x + b$与$y$轴交于点$B(0,-6),$
$\therefore b = -6,$
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y = -\dfrac{3}{4}x - 6.$
当$y = 0$时,$-\dfrac{3}{4}x - 6 = 0$, 解得$x = -8, \therefore A(-8,0).$
(2) ① $\because S_{\mathrm{四边形}AOBD} = S_{△ ADE} + S_{\mathrm{梯形}EDBO} = 38,$
$\therefore \dfrac{1}{2} × (8 - 2) × (-m) + \dfrac{1}{2}(-m + 6) × 2 = 38,$
解得$m = -8, \therefore D(-2,-8).$
②作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$,则点$A'$的坐标为$(8,0)$.连接$A'D$交$y$轴于点$M$,连接$AM$,此时$△ AMD$的周长最小.
设$A'D$的函数表达式为$y = kx + n,$
把$D(-2,-8),A'(8,0)$分别代入,
得$\begin{cases} -2k + n = -8, \\ 8k + n = 0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{4}{5}, \\ n = -\dfrac{32}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$A'D$的函数表达式为$y = \dfrac{4}{5}x - \dfrac{32}{5}.$
当$x = 0$时,$y = -\dfrac{32}{5}, \therefore$ 点$M$的坐标为$(0,-\dfrac{32}{5}).$
【答案】
(1) 直线$l$的函数表达式为$\boldsymbol{y = -\dfrac{3}{4}x - 6}$，点$A$的坐标为$\boldsymbol{(-8,0)}$；
(2) ① 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-2,-8)}$；
②点$M$的坐标为$\boldsymbol{(0,-\dfrac{32}{5})}$。
【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 坐标系图形面积计算
3. 轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合题，考查了一次函数的基础性质、分割法求不规则图形面积、轴对称最短路径模型的应用，需要学生熟练掌握待定系数法求解析式的方法，具备一定的图形分析能力和方程思想，是一次函数章节的典型综合习题。
【难度系数】
0.6
(1) 求解直线l的解析式时，已知解析式含参数b，且直线过点B(0,-6)，将B点坐标代入解析式即可求出b，得到直线l的完整表达式；点A是直线l与x轴的交点，令解析式中y=0，解出对应的x值，即可得到点A的坐标。
(2) ①求点D的坐标，已知D点横坐标为-2，只需求出纵坐标m的值。四边形AOBD为不规则图形，可采用分割法，将其拆为△ADE和梯形EDBO两部分，分别用含m的式子表示两部分的面积，根据面积和为38列方程求解，即可得到m的值，确定D点坐标。
②△AMD的周长为AM+MD+AD，其中AD的长度是固定值，因此要使周长最小，只需保证AM+MD的和最小。这是典型的最短路径问题，可通过作对称点转化线段长度：作点A关于y轴的对称点A'，根据轴对称性质，AM=A'M，因此AM+MD=A'M+MD，当A'、M、D三点共线时，A'M+MD的和最小，此时△AMD周长最小。求出直线A'D的解析式，令x=0即可得到M点的纵坐标，进而确定M的坐标。
【解析】
(1) $\because$ 直线$l:y = -\dfrac{3}{4}x + b$与$y$轴交于点$B(0,-6),$
$\therefore b = -6,$
$\therefore$ 直线$l$的函数表达式为$y = -\dfrac{3}{4}x - 6.$
当$y = 0$时,$-\dfrac{3}{4}x - 6 = 0$, 解得$x = -8, \therefore A(-8,0).$
(2) ① $\because S_{\mathrm{四边形}AOBD} = S_{△ ADE} + S_{\mathrm{梯形}EDBO} = 38,$
$\therefore \dfrac{1}{2} × (8 - 2) × (-m) + \dfrac{1}{2}(-m + 6) × 2 = 38,$
解得$m = -8, \therefore D(-2,-8).$
②
作点$A$关于$y$轴的对称点$A'$,则点$A'$的坐标为$(8,0)$.连接$A'D$交$y$轴于点$M$,连接$AM$,此时$△ AMD$的周长最小.设$A'D$的函数表达式为$y = kx + n,$
把$D(-2,-8),A'(8,0)$分别代入,
得$\begin{cases} -2k + n = -8, \\ 8k + n = 0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{4}{5}, \\ n = -\dfrac{32}{5}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$A'D$的函数表达式为$y = \dfrac{4}{5}x - \dfrac{32}{5}.$
当$x = 0$时,$y = -\dfrac{32}{5}, \therefore$ 点$M$的坐标为$(0,-\dfrac{32}{5}).$
【答案】
(1) 直线$l$的函数表达式为$\boldsymbol{y = -\dfrac{3}{4}x - 6}$，点$A$的坐标为$\boldsymbol{(-8,0)}$；
(2) ① 点$D$的坐标为$\boldsymbol{(-2,-8)}$；
②
点$M$的坐标为$\boldsymbol{(0,-\dfrac{32}{5})}$。【知识点】
1. 待定系数法求一次函数解析式
2. 坐标系图形面积计算
3. 轴对称最短路径
【点评】
本题是一次函数与几何结合的综合题，考查了一次函数的基础性质、分割法求不规则图形面积、轴对称最短路径模型的应用，需要学生熟练掌握待定系数法求解析式的方法，具备一定的图形分析能力和方程思想，是一次函数章节的典型综合习题。
【难度系数】
0.6
5. [2026无锡积余实验学校月考]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$y=\frac{1}{2}x + 2$交$x$轴于点$A$、交$y$轴于点$B$,直线$y=-\frac{3}{4}x + b$经过点$A$,且与$y$轴交于点$C$.
(1)点$A$的坐标为
(2)若点$Q$为$y$轴上任意一点.
①连接$AQ$,当$∠ QAB=45°$时,请求出点$Q$的坐标;
②若$P$为射线$AO$上任意一点,过点$P$作$x$轴的垂线,分别交直线$AB$,$AC$于点$M$,$N$,当$△ QMN$为等腰直角三角形时,求出点$P$的坐标.
(1)点$A$的坐标为
(-4,0)
,$b=$-3
.(2)若点$Q$为$y$轴上任意一点.
①连接$AQ$,当$∠ QAB=45°$时,请求出点$Q$的坐标;
②若$P$为射线$AO$上任意一点,过点$P$作$x$轴的垂线,分别交直线$AB$,$AC$于点$M$,$N$,当$△ QMN$为等腰直角三角形时,求出点$P$的坐标.
答案
(1)对于$y = \dfrac{1}{2}x + 2$,令$y = 0$,得$\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$, 解得$x = -4, \therefore A(-4,0).$ 将$(-4,0)$代入$y = -\dfrac{3}{4}x + b$,得$-\dfrac{3}{4} × (-4) + b = 0$, 解得$b = -3.$
(2)①Ⅰ. 当点$Q$在点$B$下方时,
,过点$B$作$BE ⊥ AQ$于点$E$,过点$E$作$EF ⊥ y$轴于点$F$,过点$A$作$AD ⊥ EF$,交$FE$的延长线于点$D$,$\therefore ∠ D = ∠ BFE = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ AED + ∠ DAE = 90°, ∠ AED + ∠ BEF = 90°,$
$\therefore ∠ DAE = ∠ BEF.$
$\because ∠ BAQ = 45°,$
$\therefore ∠ ABE = 90° - ∠ BAQ = 45°,$
$\therefore ∠ ABE = ∠ BAQ, \therefore AE = BE,$
$\therefore △ ADE ≌ △ EFB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AD = EF, BF = DE.$
设点$E$的坐标为$(x,y), \therefore AD = -y, EF = -x, BF = 2 - y, DE = 4 - (-x) = 4 + x.$
$\therefore \begin{cases} -y = -x, \\ 2 - y = 4 + x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1, \end{cases}$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-1,-1).$
设直线$AQ$的函数表达式为$y = mx + n.$
将$(-4,0),(-1,-1)$分别代入,
得$\begin{cases} -4m + n = 0, \\ -m + n = -1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -\dfrac{1}{3}, \\ n = -\dfrac{4}{3}, \end{cases}$
$\therefore y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{4}{3}$, 令$x = 0$, 得$y = -\dfrac{4}{3},$
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(0,-\dfrac{4}{3}).$
Ⅱ. 当点$Q$在点$B$上方时,
,同理可得$DE = BF, AD = EF,$则$\begin{cases} x - (-4) = y - 2, \\ y = -x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = -3, \\ y = 3, \end{cases}$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-3,3).$
由$A(-4,0),E(-3,3)$,可求得直线$AQ$的函数表达式为$y = 3x + 12,$
令$x = 0$, 得$y = 12,$
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(0,12).$
综上所述,符合题意的点$Q$的坐标为$(0,-\dfrac{4}{3})$或$(0,12).$
②设点$P$的坐标为$(t,0)(t ≥ -4)$,则$MN = (\dfrac{1}{2}t + 2) - (-\dfrac{3}{4}t - 3) = \dfrac{5}{4}t + 5.$
Ⅰ. 当$∠ NMQ = 90°$(或$∠ MNQ' = 90°$),且$-4 ≤ t ＜ 0$时,
.此时$MQ = -t.$
由$MQ = MN$,得$\dfrac{5}{4}t + 5 = -t$, 解得$t = -\dfrac{20}{9},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{20}{9},0).$
Ⅱ. 当$∠ MQN = 90°$,且$-4 ≤ t ＜ 0$时,
,过点$Q$作$QD ⊥ MN$于点$D.$此时$DQ = -t.$
由$MN = 2DQ$,得$\dfrac{5}{4}t + 5 = -2t$, 解得$t = -\dfrac{20}{13},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{20}{13},0).$
Ⅲ. 当$∠ MQN = 90°$,且$t ≥ 0$时,
,过点$Q$作$QD' ⊥ MN$于点$D'.$此时$D'Q = t.$
由$MN = 2D'Q$,得$\dfrac{5}{4}t + 5 = 2t$, 解得$t = \dfrac{20}{3},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\dfrac{20}{3},0).$
Ⅳ. 当$∠ NMQ = 90°$(或$∠ MNQ' = 90°$),且$t ≥ 0$时,$MQ = t.$
由$MN = MQ$,得$\dfrac{5}{4}t + 5 = t$, 解得$t = -20$(舍去).
综上所述,点$P$的坐标是$(-\dfrac{20}{9},0),(-\dfrac{20}{13},0)$或$(\dfrac{20}{3},0).$
解析
【分析】
(1) 求直线与x轴交点A的坐标时，令直线AB的解析式中y=0，解对应的一元一次方程即可得到A点坐标；再将A点坐标代入直线AC的解析式，即可求出b的值。
(2) ① 已知∠QAB=45°，可构造等腰直角三角形ABE（AE=BE，∠AEB=90°），利用“一线三垂直”模型证明△ADE≌△EFB，根据全等三角形对应边相等列方程求出点E的坐标，再用待定系数法求直线AQ的解析式，令x=0即可得到Q点坐标，需分Q在B点上方、下方两种情况讨论，避免漏解。
② 设P点坐标为$(t,0)$（$t≥-4$，因P在射线AO上），则M、N横坐标都为t，分别代入两条直线解析式得到纵坐标，作差求出MN的长度；再分等腰直角三角形的直角顶点位置（直角在M/N上、直角在Q上），结合t的取值范围（$t＜0$和$t≥0$）分类讨论，根据等腰直角三角形的边的关系列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于$y = \dfrac{1}{2}x + 2$，令$y = 0$，得$\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$， 解得$x = -4$，$\therefore A(-4,0)$。
将$(-4,0)$代入$y = -\dfrac{3}{4}x + b$，得$-\dfrac{3}{4} × (-4) + b = 0$， 解得$b = -3$。
(2) ① Ⅰ. 当点$Q$在点$B$下方时，，过点$B$作$BE ⊥ AQ$于点$E$，过点$E$作$EF ⊥ y$轴于点$F$，过点$A$作$AD ⊥ EF$，交$FE$的延长线于点$D$，
$\therefore ∠ D = ∠ BFE = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ AED + ∠ DAE = 90°, ∠ AED + ∠ BEF = 90°,$
$\therefore ∠ DAE = ∠ BEF.$
$\because ∠ BAQ = 45°,$
$\therefore ∠ ABE = 90° - ∠ BAQ = 45°,$
$\therefore ∠ ABE = ∠ BAQ, \therefore AE = BE,$
$\therefore △ ADE ≌ △ EFB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AD = EF, BF = DE.$
设点$E$的坐标为$(x,y)$，$\therefore AD = -y, EF = -x, BF = 2 - y, DE = x - (-4) = 4 + x.$
$\therefore \begin{cases} -y = -x, \\ 2 - y = 4 + x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1, \end{cases}$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-1,-1).$
设直线$AQ$的函数表达式为$y = mx + n.$
将$(-4,0),(-1,-1)$分别代入，
得$\begin{cases} -4m + n = 0, \\ -m + n = -1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -\dfrac{1}{3}, \\ n = -\dfrac{4}{3}, \end{cases}$
$\therefore y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{4}{3}$， 令$x = 0$， 得$y = -\dfrac{4}{3},$
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(0,-\dfrac{4}{3}).$
Ⅱ. 当点$Q$在点$B$上方时，，同理可得$DE = BF, AD = EF,$
则$\begin{cases} x - (-4) = y - 2, \\ y = -x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = -3, \\ y = 3, \end{cases}$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-3,3).$
由$A(-4,0),E(-3,3)$，可求得直线$AQ$的函数表达式为$y = 3x + 12,$
令$x = 0$， 得$y = 12,$
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(0,12).$
综上所述，符合题意的点$Q$的坐标为$(0,-\dfrac{4}{3})$或$(0,12).$
② 设点$P$的坐标为$(t,0)(t ≥ -4)$，则$MN = (\dfrac{1}{2}t + 2) - (-\dfrac{3}{4}t - 3) = \dfrac{5}{4}t + 5.$
Ⅰ. 当$∠ NMQ = 90°$(或$∠ MNQ' = 90°$)，且$-4 ≤ t ＜ 0$时，。
此时$MQ = -t.$
由$MQ = MN$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = -t$， 解得$t = -\dfrac{20}{9},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{20}{9},0).$
Ⅱ. 当$∠ MQN = 90°$，且$-4 ≤ t ＜ 0$时，，过点$Q$作$QD ⊥ MN$于点$D.$
此时$DQ = -t.$
由$MN = 2DQ$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = -2t$， 解得$t = -\dfrac{20}{13},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{20}{13},0).$
Ⅲ. 当$∠ MQN = 90°$，且$t ≥ 0$时，，过点$Q$作$QD' ⊥ MN$于点$D'.$
此时$D'Q = t.$
由$MN = 2D'Q$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = 2t$， 解得$t = \dfrac{20}{3},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\dfrac{20}{3},0).$
Ⅳ. 当$∠ NMQ = 90°$(或$∠ MNQ' = 90°$)，且$t ≥ 0$时，$MQ = t.$
由$MN = MQ$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = t$， 解得$t = -20$(舍去)。
综上所述，点$P$的坐标是$(-\dfrac{20}{9},0),(-\dfrac{20}{13},0)$或$(\dfrac{20}{3},0).$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-4,0)}$；$\boldsymbol{-3}$
(2) ① $\boldsymbol{(0,-\dfrac{4}{3})}$或$\boldsymbol{(0,12)}$；② $\boldsymbol{(-\dfrac{20}{9},0)}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{20}{13},0)}$或$\boldsymbol{(\dfrac{20}{3},0)}$
【知识点】
一次函数的性质；全等三角形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何综合的典型题型，既考查了一次函数解析式求解、图象交点计算等基础知识点，也需要掌握一线三垂直全等构造、分类讨论等腰直角三角形直角顶点位置的解题方法，解题时要注意分类讨论不重不漏，计算准确。
【难度系数】
0.4
(1) 求直线与x轴交点A的坐标时，令直线AB的解析式中y=0，解对应的一元一次方程即可得到A点坐标；再将A点坐标代入直线AC的解析式，即可求出b的值。
(2) ① 已知∠QAB=45°，可构造等腰直角三角形ABE（AE=BE，∠AEB=90°），利用“一线三垂直”模型证明△ADE≌△EFB，根据全等三角形对应边相等列方程求出点E的坐标，再用待定系数法求直线AQ的解析式，令x=0即可得到Q点坐标，需分Q在B点上方、下方两种情况讨论，避免漏解。
② 设P点坐标为$(t,0)$（$t≥-4$，因P在射线AO上），则M、N横坐标都为t，分别代入两条直线解析式得到纵坐标，作差求出MN的长度；再分等腰直角三角形的直角顶点位置（直角在M/N上、直角在Q上），结合t的取值范围（$t＜0$和$t≥0$）分类讨论，根据等腰直角三角形的边的关系列方程求解，舍去不符合题意的解即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 对于$y = \dfrac{1}{2}x + 2$，令$y = 0$，得$\dfrac{1}{2}x + 2 = 0$， 解得$x = -4$，$\therefore A(-4,0)$。
将$(-4,0)$代入$y = -\dfrac{3}{4}x + b$，得$-\dfrac{3}{4} × (-4) + b = 0$， 解得$b = -3$。
(2) ① Ⅰ. 当点$Q$在点$B$下方时，
，过点$B$作$BE ⊥ AQ$于点$E$，过点$E$作$EF ⊥ y$轴于点$F$，过点$A$作$AD ⊥ EF$，交$FE$的延长线于点$D$，$\therefore ∠ D = ∠ BFE = ∠ AEB = 90°,$
$\therefore ∠ AED + ∠ DAE = 90°, ∠ AED + ∠ BEF = 90°,$
$\therefore ∠ DAE = ∠ BEF.$
$\because ∠ BAQ = 45°,$
$\therefore ∠ ABE = 90° - ∠ BAQ = 45°,$
$\therefore ∠ ABE = ∠ BAQ, \therefore AE = BE,$
$\therefore △ ADE ≌ △ EFB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AD = EF, BF = DE.$
设点$E$的坐标为$(x,y)$，$\therefore AD = -y, EF = -x, BF = 2 - y, DE = x - (-4) = 4 + x.$
$\therefore \begin{cases} -y = -x, \\ 2 - y = 4 + x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = -1, \\ y = -1, \end{cases}$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-1,-1).$
设直线$AQ$的函数表达式为$y = mx + n.$
将$(-4,0),(-1,-1)$分别代入，
得$\begin{cases} -4m + n = 0, \\ -m + n = -1, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} m = -\dfrac{1}{3}, \\ n = -\dfrac{4}{3}, \end{cases}$
$\therefore y = -\dfrac{1}{3}x - \dfrac{4}{3}$， 令$x = 0$， 得$y = -\dfrac{4}{3},$
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(0,-\dfrac{4}{3}).$
Ⅱ. 当点$Q$在点$B$上方时，
，同理可得$DE = BF, AD = EF,$则$\begin{cases} x - (-4) = y - 2, \\ y = -x, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = -3, \\ y = 3, \end{cases}$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(-3,3).$
由$A(-4,0),E(-3,3)$，可求得直线$AQ$的函数表达式为$y = 3x + 12,$
令$x = 0$， 得$y = 12,$
$\therefore$ 点$Q$的坐标为$(0,12).$
综上所述，符合题意的点$Q$的坐标为$(0,-\dfrac{4}{3})$或$(0,12).$
② 设点$P$的坐标为$(t,0)(t ≥ -4)$，则$MN = (\dfrac{1}{2}t + 2) - (-\dfrac{3}{4}t - 3) = \dfrac{5}{4}t + 5.$
Ⅰ. 当$∠ NMQ = 90°$(或$∠ MNQ' = 90°$)，且$-4 ≤ t ＜ 0$时，
。此时$MQ = -t.$
由$MQ = MN$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = -t$， 解得$t = -\dfrac{20}{9},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{20}{9},0).$
Ⅱ. 当$∠ MQN = 90°$，且$-4 ≤ t ＜ 0$时，
，过点$Q$作$QD ⊥ MN$于点$D.$此时$DQ = -t.$
由$MN = 2DQ$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = -2t$， 解得$t = -\dfrac{20}{13},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(-\dfrac{20}{13},0).$
Ⅲ. 当$∠ MQN = 90°$，且$t ≥ 0$时，
，过点$Q$作$QD' ⊥ MN$于点$D'.$此时$D'Q = t.$
由$MN = 2D'Q$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = 2t$， 解得$t = \dfrac{20}{3},$
$\therefore$ 点$P$的坐标为$(\dfrac{20}{3},0).$
Ⅳ. 当$∠ NMQ = 90°$(或$∠ MNQ' = 90°$)，且$t ≥ 0$时，$MQ = t.$
由$MN = MQ$，得$\dfrac{5}{4}t + 5 = t$， 解得$t = -20$(舍去)。
综上所述，点$P$的坐标是$(-\dfrac{20}{9},0),(-\dfrac{20}{13},0)$或$(\dfrac{20}{3},0).$
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-4,0)}$；$\boldsymbol{-3}$
(2) ① $\boldsymbol{(0,-\dfrac{4}{3})}$或$\boldsymbol{(0,12)}$；② $\boldsymbol{(-\dfrac{20}{9},0)}$、$\boldsymbol{(-\dfrac{20}{13},0)}$或$\boldsymbol{(\dfrac{20}{3},0)}$
【知识点】
一次函数的性质；全等三角形的判定；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是一次函数与几何综合的典型题型，既考查了一次函数解析式求解、图象交点计算等基础知识点，也需要掌握一线三垂直全等构造、分类讨论等腰直角三角形直角顶点位置的解题方法，解题时要注意分类讨论不重不漏，计算准确。
【难度系数】
0.4
