1. [2026扬州模拟]某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的全等模型.
【全等模型】如图1,已知在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,$BD ⊥$直线$l$,$CE ⊥$直线$l$,垂足分别为点$D$,$E$.易证:$△ ABD ≌ △ CAE$.
(1)①如图1,若$BD=3$,$CE=5$,则$DE=$;
②如图2,$∠ AOB=90°$,$OA=OB$,点$B$的坐标为$(1,2)$,连接$AB$交$y$轴于点$M$,求点$A$的坐标,点$M$的坐标.
【拓展探究】
(2)如图3,一次函数$y=2x+6$的图象分别交$x$轴和$y$轴于$A$,$B$两点,点$D$的坐标为$(0,-1)$,点$C$在直线$AB$上,连接$CD$,当$CD$与直线$y=2x+6$所夹的锐角为$45°$时,求点$C$的坐标.

(1)①
$\because BD ⊥$直线$l$,$CE ⊥$直线$l$,$\therefore ∠ BDA = ∠ CEA = 90°. \because ∠ BAC = 90°, \therefore ∠ BAD + ∠ CAE = 90°.$ 又$\because ∠ BAD + ∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ CAE = ∠ ABD.$ 在$△ ADB$和$△ CEA$中,$\begin{cases} ∠ ABD = ∠ CAE, \\ ∠ BDA = ∠ AEC, \\ AB = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ADB ≌ △ CEA(\mathrm{AAS}), \therefore AE = BD = 3, AD = CE = 5, \therefore DE = AE + AD = 8.$
②,过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$,过点$B$作$BD ⊥ x$轴于点$D$,则$∠ ACO = ∠ BDO = 90°.$
$\because ∠ AOB = 90°,$
$\therefore ∠ CAO + ∠ AOC = ∠ AOC + ∠ BOD = 90°,$
$\therefore ∠ CAO = ∠ BOD.$
在$△ ACO$和$△ ODB$中,$\begin{cases} ∠ CAO = ∠ DOB, \\ ∠ ACO = ∠ ODB, \\ AO = OB, \end{cases}$
$\therefore △ ACO ≌ △ ODB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AC = OD, OC = BD.$
$\because$ 点$B$的坐标为$(1,2),$
$\therefore OD = 1, BD = 2, \therefore AC = 1, OC = 2,$
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,1).$
设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b.$
将$A(-2,1),B(1,2)$分别代入,
得$\begin{cases} -2k + b = 1, \\ k + b = 2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{3}, \\ b = \dfrac{5}{3}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的函数表达式为$y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}.$
当$x = 0$时,$y = \dfrac{5}{3},$
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(0,\dfrac{5}{3}).$

(2)如图2,当$C$在$x$轴下方时,以$D$为直角顶点作等腰直角三角形$CDE$,过点$E$作$EM ⊥ y$轴于点$M.$
设$C(m,2m+6),$
则$CN = -m, DN = -1 - 2m - 6 = -7 - 2m.$
同理可得$△ DCN ≌ △ EDM,$
$\therefore EM = DN = -7 - 2m, MD = CN = -m,$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(7+2m,-1-m).$
$\because$ 点$E$在直线$y = 2x + 6$上,
$\therefore -1 - m = 2(7 + 2m) + 6,$ 解得$m = -\dfrac{21}{5},$
$\therefore 2m + 6 = 2 × (-\dfrac{21}{5}) + 6 = -\dfrac{12}{5},$
$7 + 2m = 7 + 2 × (-\dfrac{21}{5}) = -\dfrac{7}{5},$
$-1 - m = -1 - (-\dfrac{21}{5}) = \dfrac{16}{5},$
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-\dfrac{21}{5},-\dfrac{12}{5})$,点$E$的坐标为$(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5}).$
当点$C$在点$E$的位置时,同样符合条件,此时点$C$的坐标为$(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5}).$
综上所述,点$C$的坐标为$(-\dfrac{21}{5},-\dfrac{12}{5})$或$(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5}).$

【分析】
(1)① 本题属于“三垂直”全等基础应用，已知△ABD≌△CAE，可得对应边BD=AE、AD=CE，DE为AD与AE的长度和，直接代入数值计算即可。
(1)② 求点A坐标可沿用“三垂直”模型思路，过A、B分别作x轴的垂线，证△ACO和△ODB全等，结合点B坐标即可求出A的坐标；再用待定系数法求直线AB的解析式，令x=0即可得到y轴交点M的坐标。
(2) 已知CD与直线AB夹角为45°，可构造以D为直角顶点的等腰直角三角形，再通过“三垂直”全等将另一个顶点E的坐标用点C的坐标表示，由于E也在直线AB上，代入一次函数解析式即可求解；注意45°角可在CD的两侧，需分类讨论避免漏解。
【解析】
(1)①
$\because BD ⊥$直线$l$,$CE ⊥$直线$l$,$\therefore ∠ BDA = ∠ CEA = 90°. \because ∠ BAC = 90°, \therefore ∠ BAD + ∠ CAE = 90°.$ 又$\because ∠ BAD + ∠ ABD = 90°$,
$\therefore ∠ CAE = ∠ ABD.$ 在$△ ADB$和$△ CEA$中,$\begin{cases} ∠ ABD = ∠ CAE, \\ ∠ BDA = ∠ AEC, \\ AB = CA, \end{cases}$
$\therefore △ ADB ≌ △ CEA(\mathrm{AAS}), \therefore AE = BD = 3, AD = CE = 5, \therefore DE = AE + AD = 8.$
②,过点$A$作$AC ⊥ x$轴于点$C$,过点$B$作$BD ⊥ x$轴于点$D$,则$∠ ACO = ∠ BDO = 90°.$
$\because ∠ AOB = 90°,$
$\therefore ∠ CAO + ∠ AOC = ∠ AOC + ∠ BOD = 90°,$
$\therefore ∠ CAO = ∠ BOD.$
在$△ ACO$和$△ ODB$中,$\begin{cases} ∠ CAO = ∠ DOB, \\ ∠ ACO = ∠ ODB, \\ AO = OB, \end{cases}$
$\therefore △ ACO ≌ △ ODB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AC = OD, OC = BD.$
$\because$ 点$B$的坐标为$(1,2),$
$\therefore OD = 1, BD = 2, \therefore AC = 1, OC = 2,$
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(-2,1).$
设直线$AB$的函数表达式为$y = kx + b.$
将$A(-2,1),B(1,2)$分别代入,
得$\begin{cases} -2k + b = 1, \\ k + b = 2, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k = \dfrac{1}{3}, \\ b = \dfrac{5}{3}, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的函数表达式为$y = \dfrac{1}{3}x + \dfrac{5}{3}.$
当$x = 0$时,$y = \dfrac{5}{3},$
$\therefore$ 点$M$的坐标为$(0,\dfrac{5}{3}).$

(2)如图2,当$C$在$x$轴下方时,以$D$为直角顶点作等腰直角三角形$CDE$,过点$E$作$EM ⊥ y$轴于点$M.$
设$C(m,2m+6),$
则$CN = -m, DN = -1 - 2m - 6 = -7 - 2m.$
同理可得$△ DCN ≌ △ EDM,$
$\therefore EM = DN = -7 - 2m, MD = CN = -m,$
$\therefore$ 点$E$的坐标为$(7+2m,-1-m).$
$\because$ 点$E$在直线$y = 2x + 6$上,
$\therefore -1 - m = 2(7 + 2m) + 6,$ 解得$m = -\dfrac{21}{5},$
$\therefore 2m + 6 = 2 × (-\dfrac{21}{5}) + 6 = -\dfrac{12}{5},$
$7 + 2m = 7 + 2 × (-\dfrac{21}{5}) = -\dfrac{7}{5},$
$-1 - m = -1 - (-\dfrac{21}{5}) = \dfrac{16}{5},$
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(-\dfrac{21}{5},-\dfrac{12}{5})$,点$E$的坐标为$(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5}).$
当点$C$在点$E$的位置时,同样符合条件,此时点$C$的坐标为$(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5}).$
综上所述,点$C$的坐标为$(-\dfrac{21}{5},-\dfrac{12}{5})$或$(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5}).$
【答案】
(1)① $\boxed{8}$
② 点A的坐标为$\boxed{(-2,1)}$，点M的坐标为$\boxed{(0,\dfrac{5}{3})}$
(2) 点C的坐标为$\boxed{(-\dfrac{21}{5},-\dfrac{12}{5})}$或$\boxed{(-\dfrac{7}{5},\dfrac{16}{5})}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，一次函数综合应用，等腰直角三角形性质
【点评】
本题以经典的“三垂直”全等模型为载体，从基础的全等证明应用，到结合一次函数的综合探究，考查了几何模型迁移能力、数形结合思想和分类讨论思想，解题的核心是合理构造全等三角形，实现几何条件与代数坐标的转化。
【难度系数】
0.5

2. 如图1,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=-2x+2$的图象与$x$轴交于点$A$,与$y$轴交于点$B$,线段$AB$的垂直平分线交$y$轴于点$C$.
(1)点$A$的坐标为,点$B$的坐标为;
(2)求点$C$的坐标;
(3)如图2,作直线$AC$,小明认为,直线$AC$在第二象限的部分上存在一点$P$,使得$△ PAB ≌ △ OBA$,连接$OP$,求证:$OP // AB$.

(2)解:连接$AC$. 设$OC = x$,则$BC = 2 - x.$
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中,$AC^2 = OC^2 + OA^2 = x^2 + 1.$
$\because AB$的垂直平分线交$y$轴于点$C$,$\therefore AC = BC,$
$\therefore x^2 + 1 = (2 - x)^2$, 解得$x = \dfrac{3}{4}, \therefore C(0,\dfrac{3}{4}).$
(3)证明:当$BP ⊥ AP$,即$∠ APB = 90°$时,$△ PAB ≌ △ OBA$. 理由如下:
$\because AC = BC, \therefore ∠ PAB = ∠ OBA.$
在$△ PAB$和$△ OBA$中,$\begin{cases} ∠ PAB = ∠ OBA, \\ ∠ APB = ∠ BOA = 90°, \\ AB = BA, \end{cases}$
$\therefore △ PAB ≌ △ OBA(\mathrm{AAS}),$
$\therefore PA = OB, \therefore PA - AC = OB - BC$, 即$PC = OC,$
$\therefore ∠ CPO = ∠ COP.$
$\because ∠ PCO = ∠ ACB, \therefore ∠ CPO + ∠ COP = ∠ PAB + ∠ OBA,$
$\therefore ∠ COP = ∠ ABO, \therefore OP // AB.$

【分析】
(1) 求一次函数与坐标轴交点的坐标，只需分别令y=0、x=0代入函数解析式，求解对应x、y的值即可得到A、B的坐标；
(2) 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，因此AC=BC。设OC的长度为x，用含x的式子表示BC，再结合勾股定理表示AC的长度，列方程求解即可得到C点坐标；
(3) 要证OP//AB，可先通过AAS证明△PAB≌△OBA，得到边的等量关系推导出∠COP=∠ABO，利用同位角相等即可证明两直线平行。
【解析】
(1) 对于一次函数$y=-2x+2$：
令$y=0$，得$-2x+2=0$，解得$x=1$，因此点A的坐标为$(1,0)$；
令$x=0$，得$y=2$，因此点B的坐标为$(0,2)$。
(2) 连接$AC$，设$OC=x$，则$BC=OB-OC=2-x$。
∵点C在AB的垂直平分线上，
∴$AC=BC$。
在$\mathrm{Rt}△ AOC$中，由勾股定理得：$AC^2 = OC^2 + OA^2 = x^2 + 1^2 = x^2 + 1$。
因此可列方程：$x^2 + 1 = (2 - x)^2$，
展开得$x^2 +1 =4-4x+x^2$，化简得$4x=3$，解得$x=\dfrac{3}{4}$，
∴点C的坐标为$(0,\dfrac{3}{4})$。
(3) 证明：当$∠ APB=∠ BOA=90°$时，
∵$AC=BC$，
∴$∠ PAB=∠ OBA$。
在$△ PAB$和$△ OBA$中：
$\begin{cases} ∠ APB = ∠ BOA = 90°, \\ ∠ PAB = ∠ OBA, \\ AB = BA, \end{cases}$
∴$△ PAB ≌ △ OBA(\mathrm{AAS})$，
∴$PA = OB$，又
∵$AC=BC$，
∴$PA - AC = OB - BC$，即$PC = OC$，
∴$∠ CPO = ∠ COP$。
∵$∠ PCO = ∠ ACB$，结合三角形内角和为$180°$可得：
$∠ CPO + ∠ COP = ∠ PAB + ∠ OBA=2∠ ABO$，
∴$2∠ COP=2∠ ABO$，即$∠ COP = ∠ ABO$，
∴$OP // AB$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(1,0)}$，$\boldsymbol{(0,2)}$；
(2) $\boldsymbol{C(0,\dfrac{3}{4})}$；
(3) 证明成立，$OP// AB$。
【知识点】
一次函数与坐标轴交点求解；线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于一次函数与几何的综合题，融合了函数性质、勾股定理、全等判定、平行线判定等多个考点，解题时要注重数形结合，利用几何性质建立等量关系逐步推导，对综合运用知识的能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 $y = -\dfrac{4}{3}x + 4$ 的图象分别交 $x,y$ 轴于点 $A,B$,点 $C$ 在 $y$ 轴上,$AC$ 平分 $∠ OAB$.
(1)求点 $A,B$ 的坐标;
(2)求线段 $BC$ 的长.

(1)当$y = 0$时,$-\dfrac{4}{3}x + 4 = 0$, 解得$x = 3$,
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(3,0).$
当$x = 0$时,$y = -\dfrac{4}{3} × 0 + 4 = 4, \therefore$ 点$B$的坐标为$(0,4).$
(2)$\because$ 点$A$的坐标为$(3,0)$,点$B$的坐标为$(0,4),$
$\therefore OA = 3, OB = 4.$
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5.$
,过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D.$
$\because AC$平分$∠ OAB, \therefore CD = CO.$
$\because S_{△ OAC} = \dfrac{1}{2}OA · OC = \dfrac{3}{2}OC, S_{△ BAC} = \dfrac{1}{2}AB · CD = \dfrac{5}{2}OC,$
$S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2}OA · OB = \dfrac{1}{2} × 3 × 4 = 6,$
$\therefore \dfrac{3}{2}OC + \dfrac{5}{2}OC = 6, \therefore OC = \dfrac{3}{2},$
$\therefore BC = \dfrac{5}{2},$
$\therefore$ 线段$BC$的长为$\dfrac{5}{2}.$

【分析】
(1) 求一次函数与x轴、y轴的交点坐标，可利用坐标轴上点的坐标特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式计算即可得到点A、B的坐标。
(2) 首先用勾股定理求出AB的长度，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，过点C作CD⊥AB于D，可得CD=OC。再观察图形可知△OAC与△BAC的面积之和等于△AOB的面积，分别表示出三个三角形的面积，建立等式即可求出OC的长度，最后用OB的长度减去OC的长度就能得到BC的长。
【解析】
(1) 对于一次函数$y = -\dfrac{4}{3}x + 4$：
当$y = 0$时，代入解析式得$-\dfrac{4}{3}x + 4 = 0$，解得$x = 3$，
$\therefore$ 点$A$的坐标为$(3,0)$；
当$x = 0$时，代入解析式得$y = -\dfrac{4}{3} × 0 + 4 = 4$，
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(0,4)$。
(2) 由点$A(3,0)$、$B(0,4)$可得$OA = 3$，$OB = 4$。
在$\mathrm{Rt}△ AOB$中，由勾股定理得：
$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。
，过点$C$作$CD ⊥ AB$于点$D$，
$\because AC$平分$∠ OAB$，$CO⊥OA$，$CD⊥AB$，
$\therefore CD = CO$。
分别计算三个三角形的面积：
$S_{△ OAC} = \dfrac{1}{2}OA · OC = \dfrac{3}{2}OC$，
$S_{△ BAC} = \dfrac{1}{2}AB · CD = \dfrac{5}{2}OC$，
$S_{△ AOB} = \dfrac{1}{2}OA · OB = \dfrac{1}{2} × 3 × 4 = 6$。
$\because S_{△ OAC} + S_{△ BAC} = S_{△ AOB}$，
$\therefore \dfrac{3}{2}OC + \dfrac{5}{2}OC = 6$，解得$OC = \dfrac{3}{2}$，
$\therefore BC = OB - OC = 4 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $A(3,0)$，$B(0,4)$；
(2) $\dfrac{5}{2}$
【知识点】
1. 一次函数与坐标轴交点求解
2. 角平分线的性质
3. 勾股定理
【点评】
本题是一次函数与几何的基础综合题，第一问考查一次函数交点的基础求法，难度较低；第二问结合角平分线性质，利用面积和的关系建立等式求解线段长度，是解决坐标系下角平分线相关线段问题的常用思路，能很好地锻炼学生综合运用知识的能力。
【难度系数】
0.7