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11. 聚焦中考代数推理「2026北京海淀期中，★☆」若y与x成反比例函数关系，当x变为原来的4倍时，y将会变为（
A.原来的4倍
B.原来的$\frac{1}{4}$
C.原来的2倍
D.原来的$\frac{1}{2}$
B
）A.原来的4倍
B.原来的$\frac{1}{4}$
C.原来的2倍
D.原来的$\frac{1}{2}$
答案
设$y=\frac{k}{x}$(k为常数,$k≠0$),当x变为原来的4倍时,$\frac{k}{4x}=\frac{y}{4}$,$\therefore y$将会变为原来的$\frac{1}{4}$.故选B.
解析
【分析】
解题时首先回忆反比例函数的定义，若两个量成反比例函数关系，可设其解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）。接下来按照题目要求，将变化后的自变量（即原x的4倍，也就是4x）代入解析式，计算得到新的函数值，再将新的函数值与原来的y作对比，即可判断y的变化情况。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），
当x变为原来的4倍时，新的自变量为$4x$，代入解析式得新的函数值：
$y'=\frac{k}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{k}{x}$，
结合原函数$y=\frac{k}{x}$，可得$y'=\frac{1}{4}y$，
即y将会变为原来的$\frac{1}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数概念的理解掌握，解题关键是正确写出反比例函数的一般形式，代入变化后的自变量计算对比即可得到结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆反比例函数的定义，若两个量成反比例函数关系，可设其解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$）。接下来按照题目要求，将变化后的自变量（即原x的4倍，也就是4x）代入解析式，计算得到新的函数值，再将新的函数值与原来的y作对比，即可判断y的变化情况。
【解析】
设反比例函数的解析式为$y=\frac{k}{x}$（k为常数，$k≠0$），
当x变为原来的4倍时，新的自变量为$4x$，代入解析式得新的函数值：
$y'=\frac{k}{4x}=\frac{1}{4}·\frac{k}{x}$，
结合原函数$y=\frac{k}{x}$，可得$y'=\frac{1}{4}y$，
即y将会变为原来的$\frac{1}{4}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反比例函数的定义；函数值计算
【点评】
本题是反比例函数的基础题型，重点考查对反比例函数概念的理解掌握，解题关键是正确写出反比例函数的一般形式，代入变化后的自变量计算对比即可得到结果，属于易得分题。
【难度系数】
0.9
12.「2026河南洛阳期中，★☆」某公司计划运输一批货物，每天运输的吨数a与运输的天数t之间的关系如下表：
下列结论：
①这批货物共有500吨；
②用式子表示a与t的关系是$at=500$；
③每天运输的吨数与运输的天数成反比例关系；
④如果该公司计划4天运完货物，则每天需要运输货物120吨.其中正确结论的个数是
（
A.1
B.2
C.3
D.4
下列结论：
①这批货物共有500吨；
②用式子表示a与t的关系是$at=500$；
③每天运输的吨数与运输的天数成反比例关系；
④如果该公司计划4天运完货物，则每天需要运输货物120吨.其中正确结论的个数是
（
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
根据题表中数据逐项分析判断如下:
由$t=1$,$a=500$可得,这批货物共有$1×500=500$(吨),故①正确.当$t=1$,$a=500$时,$at=500$;
当$t=2$,$a=250$时,$at=500$;……以此类推,得$at=500$,故②正确.$\because at=500$,$\therefore a=\frac{500}{t}$,故③正确.当$t=4$时,$\frac{500}{t}=\frac{500}{4}=125$,则每天需要运输货物125吨,故④错误.综上,正确的是①②③,共3个.故选C.
由$t=1$,$a=500$可得,这批货物共有$1×500=500$(吨),故①正确.当$t=1$,$a=500$时,$at=500$;
当$t=2$,$a=250$时,$at=500$;……以此类推,得$at=500$,故②正确.$\because at=500$,$\therefore a=\frac{500}{t}$,故③正确.当$t=4$时,$\frac{500}{t}=\frac{500}{4}=125$,则每天需要运输货物125吨,故④错误.综上,正确的是①②③,共3个.故选C.
解析
【分析】
解题时首先明确运输货物的总吨数是固定值，等于每天运输吨数与运输天数的乘积，以此为核心逐个判断结论：①先通过表格第一组数据计算总吨数，再用其他组数据验证；②观察所有组a与t的乘积是否为定值，即可判断关系式是否正确；③根据反比例关系的定义（两个相关联的量乘积一定，则二者成反比例）判断；④将t=4代入a和t的关系式计算，对比结论中的数值判断正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
结合表格数据逐项分析：
1. 验证结论①：当t=1时，a=500，总货物吨数为$1×500=500$吨，再验证其余组数据：$250×2=500$，$100×5=500$，$50×10=500$，可知总吨数确实为500吨，故①正确。
2. 验证结论②：由上述计算可知，每组对应的a与t的乘积均为500，因此a与t的关系可表示为$at=500$，故②正确。
3. 验证结论③：已知$at=500$（定值），符合反比例关系的定义：两个相关联的量，一个变化另一个也随之变化，且二者乘积固定，因此每天运输的吨数与运输的天数成反比例关系，故③正确。
4. 验证结论④：当$t=4$时，代入$a=\frac{500}{t}$得$a=\frac{500}{4}=125$吨，即每天需要运输125吨，不是120吨，故④错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定；反比例函数表达式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的运输场景考查反比例相关知识，解题的核心是抓住货物总吨数不变的隐含条件，逐项验证结论即可，需要注意计算时的准确性，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确运输货物的总吨数是固定值，等于每天运输吨数与运输天数的乘积，以此为核心逐个判断结论：①先通过表格第一组数据计算总吨数，再用其他组数据验证；②观察所有组a与t的乘积是否为定值，即可判断关系式是否正确；③根据反比例关系的定义（两个相关联的量乘积一定，则二者成反比例）判断；④将t=4代入a和t的关系式计算，对比结论中的数值判断正误，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
结合表格数据逐项分析：
1. 验证结论①：当t=1时，a=500，总货物吨数为$1×500=500$吨，再验证其余组数据：$250×2=500$，$100×5=500$，$50×10=500$，可知总吨数确实为500吨，故①正确。
2. 验证结论②：由上述计算可知，每组对应的a与t的乘积均为500，因此a与t的关系可表示为$at=500$，故②正确。
3. 验证结论③：已知$at=500$（定值），符合反比例关系的定义：两个相关联的量，一个变化另一个也随之变化，且二者乘积固定，因此每天运输的吨数与运输的天数成反比例关系，故③正确。
4. 验证结论④：当$t=4$时，代入$a=\frac{500}{t}$得$a=\frac{500}{4}=125$吨，即每天需要运输125吨，不是120吨，故④错误。
综上，正确的结论为①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
反比例关系判定；反比例函数表达式；反比例函数实际应用
【点评】
本题结合生活中的运输场景考查反比例相关知识，解题的核心是抓住货物总吨数不变的隐含条件，逐项验证结论即可，需要注意计算时的准确性，避免因计算失误判断错误。
【难度系数】
0.8
13.「2026上海外国语大学附属外国语学校期中，★☆」已知
$y=y_1+y_2$，$y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例.
当$x=1,x=2$时，$y$的值都为6，请写出$y$关于$x$的函数解析式.
$y=y_1+y_2$，$y_1$与$2x$成正比例，$y_2$与$x$成反比例.
当$x=1,x=2$时，$y$的值都为6，请写出$y$关于$x$的函数解析式.
答案
由题意设$y_1=k_1·2x=2k_1x(k_1≠0)$,
$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$,$\therefore y=y_1+y_2=2k_1x+\frac{k_2}{x}$,$\because$当$x=1$时,$y=6$,当$x=2$时,$y=6$,$\therefore \begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{1}=6,\\4k_1+\frac{k_2}{2}=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=1,\\k_2=4,\end{cases}$$\therefore y=2x+\frac{4}{x}$.
$y_2=\frac{k_2}{x}(k_2≠0)$,$\therefore y=y_1+y_2=2k_1x+\frac{k_2}{x}$,$\because$当$x=1$时,$y=6$,当$x=2$时,$y=6$,$\therefore \begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{1}=6,\\4k_1+\frac{k_2}{2}=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}k_1=1,\\k_2=4,\end{cases}$$\therefore y=2x+\frac{4}{x}$.
解析
【分析】
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，注意引入不同的比例系数且系数不为0；再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参数的表达式；最后将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于比例系数的二元一次方程组，解方程组求出参数后回代，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
根据题意，设$y_1=k_1·2x=2k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）。
$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y=2k_1x+\frac{k_2}{x}$
已知当$x=1$时，$y=6$；当$x=2$时，$y=6$，代入上式可得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{1}=6\\4k_1+\frac{k_2}{2}=6\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}k_1=1\\k_2=4\end{cases}$
将$k_1=1$、$k_2=4$代入$y=2k_1x+\frac{k_2}{x}$，可得$y=2x+\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=2x+\frac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、待定系数法
【点评】
本题属于函数部分的基础题型，核心是考查对正比例、反比例函数概念的掌握，以及运用待定系数法求解函数解析式的能力，解题的关键是正确区分两类函数的表达式形式，准确列解方程。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据正比例、反比例函数的定义，分别设出$y_1$、$y_2$的表达式，注意引入不同的比例系数且系数不为0；再结合$y=y_1+y_2$得到$y$关于$x$的含参数的表达式；最后将题目给出的两组$x$、$y$的对应值代入表达式，得到关于比例系数的二元一次方程组，解方程组求出参数后回代，即可得到最终的函数解析式。
【解析】
根据题意，设$y_1=k_1·2x=2k_1x$（$k_1≠0$），$y_2=\frac{k_2}{x}$（$k_2≠0$）。
$\because y=y_1+y_2$
$\therefore y=2k_1x+\frac{k_2}{x}$
已知当$x=1$时，$y=6$；当$x=2$时，$y=6$，代入上式可得方程组：
$\begin{cases}2k_1+\frac{k_2}{1}=6\\4k_1+\frac{k_2}{2}=6\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}k_1=1\\k_2=4\end{cases}$
将$k_1=1$、$k_2=4$代入$y=2k_1x+\frac{k_2}{x}$，可得$y=2x+\frac{4}{x}$。
【答案】
$y=2x+\frac{4}{x}$
【知识点】
正比例函数定义、反比例函数定义、待定系数法
【点评】
本题属于函数部分的基础题型，核心是考查对正比例、反比例函数概念的掌握，以及运用待定系数法求解函数解析式的能力，解题的关键是正确区分两类函数的表达式形式，准确列解方程。
【难度系数】
0.8
14.核心素养 推理能力 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是线段AD上一动点,连接BE,CE,过点B作BG⊥CE,垂足为G,设CE长为x,BG长为y,则y关于x的函数表达式为
$y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$
。答案
$y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$
解析 $\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore S_{△ EBC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$,$\because S_{△ EBC}=\frac{1}{2}EC·BG$,
$\therefore EC·BG=S_{矩形ABCD}=3×4=12$,$\therefore xy=12$,即$y=\frac{12}{x}$,
$\because$当点E与点A重合时,EC最长,为5,当点E与点D重合时,EC最短,为3,
$\therefore 3≤x≤5$,$\therefore y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$.
解析 $\because$四边形ABCD是矩形,$\therefore AD// BC$,
$\therefore S_{△ EBC}=\frac{1}{2}S_{矩形ABCD}$,$\because S_{△ EBC}=\frac{1}{2}EC·BG$,
$\therefore EC·BG=S_{矩形ABCD}=3×4=12$,$\therefore xy=12$,即$y=\frac{12}{x}$,
$\because$当点E与点A重合时,EC最长,为5,当点E与点D重合时,EC最短,为3,
$\therefore 3≤x≤5$,$\therefore y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$.
解析
【分析】
要建立y与x的函数关系，可通过面积法寻找两个变量的联系：首先观察到△BEC的面积有两种计算方式，一是利用它和矩形同底等高的关系，其面积为矩形面积的一半；二是用底CE=x、高BG=y来计算，两种方式表示同一三角形面积即可得到x和y的等式。之后确定x的取值范围：点E在AD上运动，当E与D重合时CE最短为CD的长度，当E与A重合时CE最长为对角线AC的长度，结合勾股定理计算边界值即可得到x的取值区间。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AB=CD=3，BC=4，∠D=90°，
△EBC以BC为底时，高等于AB的长度，因此：
$ S_{△ EBC} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 $
又
∵ BG⊥CE，CE=x，BG=y，
∴ $ S_{△ EBC} = \frac{1}{2} · CE · BG = \frac{1}{2}xy $
联立面积等式得：$\frac{1}{2}xy = 6$，整理得$xy=12$，即$y=\frac{12}{x}$。
接下来确定自变量x的取值范围：
当点E与点D重合时，CE最短，此时CE=CD=3；
当点E与点A重合时，CE最长，由勾股定理得$CE = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} =5$，
因此x的取值范围为$3≤x≤5$。
综上，y关于x的函数表达式为$y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$。
【答案】
$y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，反比例函数解析式
【点评】
本题是几何动点与函数结合的典型题型，核心解题突破口是利用等面积法建立变量关系，解题时需注意结合动点的运动边界确定自变量的取值范围，考察了数形结合思想和推理运算能力。
【难度系数】
0.7
要建立y与x的函数关系，可通过面积法寻找两个变量的联系：首先观察到△BEC的面积有两种计算方式，一是利用它和矩形同底等高的关系，其面积为矩形面积的一半；二是用底CE=x、高BG=y来计算，两种方式表示同一三角形面积即可得到x和y的等式。之后确定x的取值范围：点E在AD上运动，当E与D重合时CE最短为CD的长度，当E与A重合时CE最长为对角线AC的长度，结合勾股定理计算边界值即可得到x的取值区间。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，AB=CD=3，BC=4，∠D=90°，
△EBC以BC为底时，高等于AB的长度，因此：
$ S_{△ EBC} = \frac{1}{2}S_{矩形ABCD} = \frac{1}{2} × 3 × 4 = 6 $
又
∵ BG⊥CE，CE=x，BG=y，
∴ $ S_{△ EBC} = \frac{1}{2} · CE · BG = \frac{1}{2}xy $
联立面积等式得：$\frac{1}{2}xy = 6$，整理得$xy=12$，即$y=\frac{12}{x}$。
接下来确定自变量x的取值范围：
当点E与点D重合时，CE最短，此时CE=CD=3；
当点E与点A重合时，CE最长，由勾股定理得$CE = AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} =5$，
因此x的取值范围为$3≤x≤5$。
综上，y关于x的函数表达式为$y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$。
【答案】
$y=\frac{12}{x}(3≤x≤5)$
【知识点】
矩形的性质，三角形面积计算，反比例函数解析式
【点评】
本题是几何动点与函数结合的典型题型，核心解题突破口是利用等面积法建立变量关系，解题时需注意结合动点的运动边界确定自变量的取值范围，考察了数形结合思想和推理运算能力。
【难度系数】
0.7
15.核心素养 应用意识 某企业生产一种商品,经过长期市场调查后发现:该商品的月总产量稳定在600件.该商品的月销量Q(件)由基本销售量与浮动销售量两部分组成,其中基本销售量保持不变,浮动销售量与售价x(元/件)(x≤10)成反比例,且可以得到如下信息:
(1)求Q与x的函数关系式.
(2)若该月生产出的商品正好当月售完,求售价.
(3)售价为多少时,月销售额最大,最大月销售额是多少?
(1)求Q与x的函数关系式.
(2)若该月生产出的商品正好当月售完,求售价.
(3)售价为多少时,月销售额最大,最大月销售额是多少?
答案
(1)设$Q=a+\frac{k}{x}$,由题表可知,当$x=5$时,$Q=580$,当$x=8$时,$Q=400$,
$\therefore \begin{cases}a+\frac{k}{5}=580,\\a+\frac{k}{8}=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=100,\\k=2400,\end{cases}$
$\therefore Q$与$x$的函数关系式是$Q=100+\frac{2400}{x}$.
(2)令$Q=600$,则$600=100+\frac{2400}{x}$,解得$x=4.8$.
答:若该月生产出的商品正好当月售完,则售价为4.8元/件.
(3)设月销售额为w元.
由题意可得,$w=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$,
$\therefore w$随$x$的增大而增大,$\because x≤10$,
$\therefore$当$x=10$时,$w$取得最大值,最大值为3400.
答:当售价为10元/件时,月销售额最大,最大月销售额是3400元.
$\therefore \begin{cases}a+\frac{k}{5}=580,\\a+\frac{k}{8}=400,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=100,\\k=2400,\end{cases}$
$\therefore Q$与$x$的函数关系式是$Q=100+\frac{2400}{x}$.
(2)令$Q=600$,则$600=100+\frac{2400}{x}$,解得$x=4.8$.
答:若该月生产出的商品正好当月售完,则售价为4.8元/件.
(3)设月销售额为w元.
由题意可得,$w=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$,
$\therefore w$随$x$的增大而增大,$\because x≤10$,
$\therefore$当$x=10$时,$w$取得最大值,最大值为3400.
答:当售价为10元/件时,月销售额最大,最大月销售额是3400元.
解析
【分析】
(1) 首先根据题意，月销量Q由固定的基本销售量和与售价x成反比例的浮动销售量组成，因此可设函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$（$a$为基本销售量，$k$为非零常数），再将表格中两组x、Q的对应值代入解析式，得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，确定Q与x的函数关系式。
(2) 当月生产商品正好售完，说明月销量Q等于月总产量600件，将$Q=600$代入第(1)问求出的函数解析式，解关于x的一元一次方程即可得到对应售价。
(3) 根据“月销售额=售价×月销量”列出销售额$w$关于x的函数表达式，分析函数增减性，结合自变量取值范围$x≤10$即可求出销售额的最大值及对应售价。
【解析】
(1) 设$Q=a+\frac{k}{x}$（$a$、$k$为常数，$k≠0$），由表格数据可知，当$x=5$时$Q=580$，当$x=8$时$Q=400$，代入得：
$\begin{cases}a+\frac{k}{5}=580\\a+\frac{k}{8}=400\end{cases}$
两式相减消去$a$，得$\frac{3k}{40}=180$，解得$k=2400$，将$k=2400$代入$a+\frac{k}{8}=400$，解得$a=100$。
因此Q与x的函数关系式为$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$。
(2) 若商品正好当月售完，则$Q=600$，代入函数式得：
$600=100+\frac{2400}{x}$
解得$x=4.8$。
(3) 设月销售额为$w$元，由题意得：
$w=x· Q=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$
由于$100＞0$，因此$w$随$x$的增大而增大，结合$x≤10$的限制，当$x=10$时$w$取最大值，最大值为$100×10+2400=3400$。
【答案】
(1) $Q=100+\frac{2400}{x}$
(2) 4.8元/件
(3) 售价为10元/件时月销售额最大，最大月销售额是3400元
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，一次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考察函数的实际应用，解题核心是准确根据题意列出函数关系式，同时要注意自变量的取值范围对最值的影响，能够锻炼用数学知识解决实际问题的应用意识。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据题意，月销量Q由固定的基本销售量和与售价x成反比例的浮动销售量组成，因此可设函数形式为$Q=a+\frac{k}{x}$（$a$为基本销售量，$k$为非零常数），再将表格中两组x、Q的对应值代入解析式，得到关于$a$、$k$的二元一次方程组，解方程组即可求出参数值，确定Q与x的函数关系式。
(2) 当月生产商品正好售完，说明月销量Q等于月总产量600件，将$Q=600$代入第(1)问求出的函数解析式，解关于x的一元一次方程即可得到对应售价。
(3) 根据“月销售额=售价×月销量”列出销售额$w$关于x的函数表达式，分析函数增减性，结合自变量取值范围$x≤10$即可求出销售额的最大值及对应售价。
【解析】
(1) 设$Q=a+\frac{k}{x}$（$a$、$k$为常数，$k≠0$），由表格数据可知，当$x=5$时$Q=580$，当$x=8$时$Q=400$，代入得：
$\begin{cases}a+\frac{k}{5}=580\\a+\frac{k}{8}=400\end{cases}$
两式相减消去$a$，得$\frac{3k}{40}=180$，解得$k=2400$，将$k=2400$代入$a+\frac{k}{8}=400$，解得$a=100$。
因此Q与x的函数关系式为$Q=100+\frac{2400}{x}(x≤10)$。
(2) 若商品正好当月售完，则$Q=600$，代入函数式得：
$600=100+\frac{2400}{x}$
解得$x=4.8$。
(3) 设月销售额为$w$元，由题意得：
$w=x· Q=x(100+\frac{2400}{x})=100x+2400$
由于$100＞0$，因此$w$随$x$的增大而增大，结合$x≤10$的限制，当$x=10$时$w$取最大值，最大值为$100×10+2400=3400$。
【答案】
(1) $Q=100+\frac{2400}{x}$
(2) 4.8元/件
(3) 售价为10元/件时月销售额最大，最大月销售额是3400元
【知识点】
待定系数法求解析式，反比例函数应用，一次函数最值
【点评】
本题结合实际销售场景考察函数的实际应用，解题核心是准确根据题意列出函数关系式，同时要注意自变量的取值范围对最值的影响，能够锻炼用数学知识解决实际问题的应用意识。
【难度系数】
0.7
