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1.「2025重庆中考」反比例函数$y=-\frac{12}{x}$的图象一定经过的点是（
A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
D
）A.$(2,6)$
B.$(-4,-3)$
C.$(-3,-4)$
D.$(6,-2)$
答案
∵ $y=-\frac{12}{x},∴ xy=-12$,即该图象上的点的横、纵坐标乘积为-12,结合选项可得一定经过$(6,-2)$.故选D.
解析
【分析】
要判断点是否在反比例函数图象上，可结合反比例函数的性质推导：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），变形后可得$xy=k$，即图象上任意一点的横、纵坐标的乘积恒等于常数$k$。本题中$k=-12$，因此只需计算每个选项中点的横、纵坐标的乘积，判断是否等于-12即可得出结论。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\frac{12}{x}$，对表达式变形可得$xy=-12$，即该函数图象上的点的横、纵坐标乘积为-12，逐一验证选项：
A选项：$2×6=12≠-12$，不符合要求；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，不符合要求；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不符合要求；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合要求。
因此该反比例函数图象一定经过点$(6,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，无需绘制图象，利用$xy=k$的性质代入验证即可快速解题，方法简便易掌握。
【难度系数】
0.9
要判断点是否在反比例函数图象上，可结合反比例函数的性质推导：反比例函数的一般形式为$y=\frac{k}{x}$（$k$为常数，$k≠0$），变形后可得$xy=k$，即图象上任意一点的横、纵坐标的乘积恒等于常数$k$。本题中$k=-12$，因此只需计算每个选项中点的横、纵坐标的乘积，判断是否等于-12即可得出结论。
【解析】
已知反比例函数为$y=-\frac{12}{x}$，对表达式变形可得$xy=-12$，即该函数图象上的点的横、纵坐标乘积为-12，逐一验证选项：
A选项：$2×6=12≠-12$，不符合要求；
B选项：$(-4)×(-3)=12≠-12$，不符合要求；
C选项：$(-3)×(-4)=12≠-12$，不符合要求；
D选项：$6×(-2)=-12$，符合要求。
因此该反比例函数图象一定经过点$(6,-2)$。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查反比例函数图象上点的坐标规律，无需绘制图象，利用$xy=k$的性质代入验证即可快速解题，方法简便易掌握。
【难度系数】
0.9
2.「2025广东广州中考」若$|k|=-k(k≠0)$，则反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在（
A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
C
）A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第二、四象限
D.第三、四象限
答案
∵ $|k|=-k(k≠0),∴ k＜0,∴$ 反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限.故选C.
解析
【分析】
解题时先从已知条件$|k|=-k(k≠0)$入手，首先回忆绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，由此可判断出$k$的正负性；再结合反比例函数图象的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，当$k＞0$时图象位于第一、三象限，当$k＜0$时图象位于第二、四象限，代入$k$的符号即可得出图象所在象限。
【解析】
$\because |k|=-k$且$k≠0$，
$\therefore k＜0$，
根据反比例函数的图象性质，当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是基础题，将绝对值性质和反比例函数的图象性质结合考查，熟记相关性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件$|k|=-k(k≠0)$入手，首先回忆绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0，由此可判断出$k$的正负性；再结合反比例函数图象的性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}$中，当$k＞0$时图象位于第一、三象限，当$k＜0$时图象位于第二、四象限，代入$k$的符号即可得出图象所在象限。
【解析】
$\because |k|=-k$且$k≠0$，
$\therefore k＜0$，
根据反比例函数的图象性质，当$k＜0$时，反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第二、四象限。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的性质；反比例函数的图象与系数的关系
【点评】
本题是基础题，将绝对值性质和反比例函数的图象性质结合考查，熟记相关性质即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
3.在平面直角坐标系中,函数$y=\frac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是（
A.0
B.1
C.2
D.4
B
）A.0
B.1
C.2
D.4
答案
当$x=0$时,$y=\frac{4}{2}=2,∴ y=\frac{4}{x+2}$的图象与$y$轴的交点为$(0,2),∵ \frac{4}{x+2}$是分式,且当$x≠-2$时,$\frac{4}{x+2}≠0$,即$y≠0,∴ y=\frac{4}{x+2}$的图象与$x$轴没有交点.
∴ 函数$y=\frac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是1.故选B.
∴ 函数$y=\frac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是1.故选B.
解析
【分析】
要判断函数图象与坐标轴的交点个数，需分两步分析：①求与y轴的交点，令x=0代入函数计算y值，同时验证此时函数是否有意义；②求与x轴的交点，令y=0解方程求x值，验证x的取值是否使函数有意义，最后统计有效交点的总个数即可。
【解析】
1. 计算与y轴的交点：
令$x=0$，代入函数得$y=\frac{4}{0+2}=2$，此时$x=0$满足分母$x+2=2≠0$，函数有意义，因此函数图象与y轴的交点为$(0,2)$，共1个交点。
2. 计算与x轴的交点：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，即$\frac{4}{x+2}=0$，由于分子为4（不为0），分式的值不可能为0，不存在满足条件的x值，因此函数图象与x轴没有交点。
综上，函数$y=\frac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是1，故选B。
【答案】
B
【知识点】
函数交点求法；分式有意义的条件；反比例函数图象特征
【点评】
本题是函数类基础题，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，易错点是忽略分式分母不能为0的限制，或错误认为分式形式的函数能取到y=0的值，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要判断函数图象与坐标轴的交点个数，需分两步分析：①求与y轴的交点，令x=0代入函数计算y值，同时验证此时函数是否有意义；②求与x轴的交点，令y=0解方程求x值，验证x的取值是否使函数有意义，最后统计有效交点的总个数即可。
【解析】
1. 计算与y轴的交点：
令$x=0$，代入函数得$y=\frac{4}{0+2}=2$，此时$x=0$满足分母$x+2=2≠0$，函数有意义，因此函数图象与y轴的交点为$(0,2)$，共1个交点。
2. 计算与x轴的交点：
x轴上的点纵坐标为0，令$y=0$，即$\frac{4}{x+2}=0$，由于分子为4（不为0），分式的值不可能为0，不存在满足条件的x值，因此函数图象与x轴没有交点。
综上，函数$y=\frac{4}{x+2}$的图象与坐标轴的交点个数是1，故选B。
【答案】
B
【知识点】
函数交点求法；分式有意义的条件；反比例函数图象特征
【点评】
本题是函数类基础题，解题核心是掌握坐标轴上点的坐标特征，易错点是忽略分式分母不能为0的限制，或错误认为分式形式的函数能取到y=0的值，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.已知反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象经过点$A(3,-2)$。
(1)求$k$的值。
(2)画出函数的大致图象。
(3)点$B(-\frac{1}{3},18),C(9,-\frac{1}{3})$在这个函数的图象上吗？
(1)求$k$的值。
(2)画出函数的大致图象。
(3)点$B(-\frac{1}{3},18),C(9,-\frac{1}{3})$在这个函数的图象上吗？
答案
(1)将A点坐标代入$y=\frac{k}{x}$,得$k=3×(-2)=-6$.
故$k$的值为-6.
(2)函数的大致图象如图所示.
(3)由(1)可知,反比例函数的表达式为$y=-\frac{6}{x}$.将$x=-\frac{1}{3}$代入反比例函数表达式得,$y=18$,所以点B在反比例函数的图象上,将$x=9$代入反比例函数表达式得,$y=-\frac{2}{3},-\frac{2}{3}≠-\frac{1}{3}$,所以点C不在反比例函数的图象上.
解析
【分析】
(1) 求k的值采用待定系数法，已知点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的横、纵坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值。
(2) 画反比例函数图象时，先根据k的符号判断图象所在象限：k＜0时图象分布在第二、四象限，再选取多组成对的x值计算对应y值，描点后用平滑曲线连接即可，注意图象无限接近坐标轴但不会与坐标轴相交。
(3) 判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 将点$A(3,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{3}$
解得$k=3×(-2)=-6$。
(2) 由$k=-6＜0$，可知函数图象是位于第二、四象限的双曲线，选取$(-6,1)、(-3,2)、(-2,3)、(1,-6)、(2,-3)、(3,-2)$等点描点，用平滑曲线顺次连接，得到函数大致图象如下：
(3) 由(1)可得反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$x=-\frac{1}{3}$代入解析式，得$y=-\frac{6}{-\frac{1}{3}}=18$，与点B的纵坐标相等，因此点B在该函数图象上；
将$x=9$代入解析式，得$y=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$，与点C的纵坐标$-\frac{1}{3}$不相等，因此点C不在该函数图象上。
【答案】
(1) $k$的值为$\boldsymbol{-6}$；
(2) 函数大致图象如下：
(3) 点$B(-\frac{1}{3},18)$在这个函数的图象上，点$C(9,-\frac{1}{3})$不在这个函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，重点考察对反比例函数核心基础概念的掌握和应用，解题关键是理解函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
(1) 求k的值采用待定系数法，已知点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A的横、纵坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求出k值。
(2) 画反比例函数图象时，先根据k的符号判断图象所在象限：k＜0时图象分布在第二、四象限，再选取多组成对的x值计算对应y值，描点后用平滑曲线连接即可，注意图象无限接近坐标轴但不会与坐标轴相交。
(3) 判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在图象上，反之则不在。
【解析】
(1) 将点$A(3,-2)$代入$y=\frac{k}{x}$，得：
$-2=\frac{k}{3}$
解得$k=3×(-2)=-6$。
(2) 由$k=-6＜0$，可知函数图象是位于第二、四象限的双曲线，选取$(-6,1)、(-3,2)、(-2,3)、(1,-6)、(2,-3)、(3,-2)$等点描点，用平滑曲线顺次连接，得到函数大致图象如下：
(3) 由(1)可得反比例函数解析式为$y=-\frac{6}{x}$。
将$x=-\frac{1}{3}$代入解析式，得$y=-\frac{6}{-\frac{1}{3}}=18$，与点B的纵坐标相等，因此点B在该函数图象上；
将$x=9$代入解析式，得$y=-\frac{6}{9}=-\frac{2}{3}$，与点C的纵坐标$-\frac{1}{3}$不相等，因此点C不在该函数图象上。
【答案】
(1) $k$的值为$\boldsymbol{-6}$；
(2) 函数大致图象如下：
(3) 点$B(-\frac{1}{3},18)$在这个函数的图象上，点$C(9,-\frac{1}{3})$不在这个函数的图象上。
【知识点】
待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数的基础典型题，重点考察对反比例函数核心基础概念的掌握和应用，解题关键是理解函数图象上的点的坐标与函数解析式的对应关系，掌握基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.85
5.「2026江苏南通月考，★☆」反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象如图所示，则k的值可能是（
A.5
B.10
C.-5
D.-1
A
）A.5
B.10
C.-5
D.-1
答案
由点B可得$k＞2×2$,即$k＞4$,由点C可得$k＜-3×(-3)$,即$k＜9,∴ 4＜k＜9$.故选A.
解析
【分析】
解题第一步先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象在第一、三象限时，$k＞0$；在第二、四象限时$k＜0$，本题图象在一、三象限，因此$k$为正数，先排除负数选项。第二步利用$k=xy$的变形关系，结合图中点的位置确定$k$的取值范围：第一象限内点$B(2,2)$在双曲线下方，说明$x=2$时双曲线上的$y$值大于2，代入表达式可推出$k＞4$；第三象限内点$A(-3,-3)$在双曲线上方，说明$x=-3$时双曲线上的$y$值大于-3，代入表达式结合不等式性质可推出$k＜9$。最后在$4＜k＜9$的范围内匹配选项即可。
【解析】
解：① 由反比例函数图象分布在第一、三象限，可得$k＞0$，因此排除C、D选项。
② 观察第一象限的点$B(2,2)$，点$B$在双曲线下方，即当$x=2$时，双曲线上对应的函数值$y＞2$，
将$x=2$代入$y=\frac{k}{x}$得：$\frac{k}{2}＞2$，解得$k＞4$。
③ 观察第三象限的点$A(-3,-3)$，点$A$在双曲线上方，即当$x=-3$时，双曲线上对应的函数值$y＞-3$，
将$x=-3$代入$y=\frac{k}{x}$得：$\frac{k}{-3}＞-3$，两边同乘$-3$，不等号方向改变，解得$k＜9$。
综上可得$4＜k＜9$，选项中只有5满足该范围。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象性质；不等式的基本性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础考题，核心是利用图象上点的坐标特征结合点的位置判断$k$的取值范围，解题时要注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
解题第一步先回忆反比例函数的基本性质：反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象在第一、三象限时，$k＞0$；在第二、四象限时$k＜0$，本题图象在一、三象限，因此$k$为正数，先排除负数选项。第二步利用$k=xy$的变形关系，结合图中点的位置确定$k$的取值范围：第一象限内点$B(2,2)$在双曲线下方，说明$x=2$时双曲线上的$y$值大于2，代入表达式可推出$k＞4$；第三象限内点$A(-3,-3)$在双曲线上方，说明$x=-3$时双曲线上的$y$值大于-3，代入表达式结合不等式性质可推出$k＜9$。最后在$4＜k＜9$的范围内匹配选项即可。
【解析】
解：① 由反比例函数图象分布在第一、三象限，可得$k＞0$，因此排除C、D选项。
② 观察第一象限的点$B(2,2)$，点$B$在双曲线下方，即当$x=2$时，双曲线上对应的函数值$y＞2$，
将$x=2$代入$y=\frac{k}{x}$得：$\frac{k}{2}＞2$，解得$k＞4$。
③ 观察第三象限的点$A(-3,-3)$，点$A$在双曲线上方，即当$x=-3$时，双曲线上对应的函数值$y＞-3$，
将$x=-3$代入$y=\frac{k}{x}$得：$\frac{k}{-3}＞-3$，两边同乘$-3$，不等号方向改变，解得$k＜9$。
综上可得$4＜k＜9$，选项中只有5满足该范围。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的图象性质；不等式的基本性质
【点评】
本题属于反比例函数的基础考题，核心是利用图象上点的坐标特征结合点的位置判断$k$的取值范围，解题时要注意不等式两边乘负数时不等号方向要改变。
【难度系数】
0.8
6.「★☆」反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象与一次函数$y=x-1$的图象交于点$A(a,b)$，则$a-ab-b$的值是
-1
。答案
-1
解析 由题意得点$A(a,b)$在$y=\frac{2}{x}$的图象上,也在$y=x-1$的图象上,
将$A(a,b)$分别代入$y=\frac{2}{x},y=x-1$,得$ab=2,b=a-1$,
∴ $a-ab-b=a-(a-1)-ab=1-2=-1$.
解析 由题意得点$A(a,b)$在$y=\frac{2}{x}$的图象上,也在$y=x-1$的图象上,
将$A(a,b)$分别代入$y=\frac{2}{x},y=x-1$,得$ab=2,b=a-1$,
∴ $a-ab-b=a-(a-1)-ab=1-2=-1$.
解析
【分析】
首先明确两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，我们无需单独求出a、b的具体值，只需将交点A(a,b)分别代入两个函数解析式，得到ab的数值以及a和b的数量关系，再把所求代数式变形后整体代入计算即可，这种方法能简化计算过程。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$与一次函数$y=x-1$的交点，
∴ 将$A(a,b)$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$；
将$A(a,b)$代入$y=x-1$，可得$b=a-1$，整理得$a-b=1$。
对所求代数式变形：$a-ab-b=(a-b)-ab$，
把$a-b=1$、$ab=2$代入得：原式$=1-2=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、代数式求值、整体代入计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数交点的性质，解题关键是掌握交点坐标同时满足所有相交函数的解析式，利用整体代入的思路可以大幅简化计算，避免解方程组求未知量的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
首先明确两个函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，我们无需单独求出a、b的具体值，只需将交点A(a,b)分别代入两个函数解析式，得到ab的数值以及a和b的数量关系，再把所求代数式变形后整体代入计算即可，这种方法能简化计算过程。
【解析】
∵ 点$A(a,b)$是反比例函数$y=\frac{2}{x}$与一次函数$y=x-1$的交点，
∴ 将$A(a,b)$代入$y=\frac{2}{x}$，可得$b=\frac{2}{a}$，即$ab=2$；
将$A(a,b)$代入$y=x-1$，可得$b=a-1$，整理得$a-b=1$。
对所求代数式变形：$a-ab-b=(a-b)-ab$，
把$a-b=1$、$ab=2$代入得：原式$=1-2=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
函数图象上点的坐标特征、代数式求值、整体代入计算
【点评】
本题属于基础题，核心考查函数交点的性质，解题关键是掌握交点坐标同时满足所有相交函数的解析式，利用整体代入的思路可以大幅简化计算，避免解方程组求未知量的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8
7. 核心素养应用意识「2026江苏连云港石桥中学一模改编」植物研究者在研究某种植物1~5年内的植株高度时，得到如图所示的数据。现要根据这些数据选用函数模型来描述这种植物在1~5年内的生长规律。若选择函数$y=\frac{a}{x}+b$，则a
＜
0，b＞
0。（填“＞”或“＜”）答案
＜；＞
解析 由函数图象可知,将反比例函数$y=\frac{a}{x}(a＜0)$在第四象限内的图象向上平移$b$个单位即可得到函数$y=\frac{a}{x}+b$的图象,$∴ a＜0,b＞0$.故答案为＜;＞.
解析 由函数图象可知,将反比例函数$y=\frac{a}{x}(a＜0)$在第四象限内的图象向上平移$b$个单位即可得到函数$y=\frac{a}{x}+b$的图象,$∴ a＜0,b＞0$.故答案为＜;＞.
解析
【分析】
解题时从两个角度推导参数符号：①先分析函数单调性：观察图像可知，x在1~5范围内，植株高度y随生长阶段x的增大而增大。对于函数$y=\frac{a}{x}+b$，它是反比例函数$y=\frac{a}{x}$上下平移得到的，当$x＞0$时，若$a＞0$，$y=\frac{a}{x}$随$x$增大而减小，与图像趋势矛盾，即可判断$a$的符号；②再分析函数值的正负：题中所有点的$y$值均为正数，当$a＜0$时，反比例函数$y=\frac{a}{x}$在$x＞0$时的图像位于第四象限（函数值为负），要让平移后的函数值全部为正，需要向上平移，由此可判断$b$的符号。
【解析】
观察图像可得：当$1≤ x≤5$时，$y$随$x$的增大而增大，且所有对应$y$值均为正数。
对于函数$y=\frac{a}{x}+b$：
1. 若$a＞0$，则当$x＞0$时，$\frac{a}{x}$随$x$增大而减小，即$y=\frac{a}{x}+b$随$x$增大而减小，与图像的递增趋势不符，因此$a＜0$；
2. 当$a＜0$时，反比例函数$y=\frac{a}{x}$在$x＞0$的区间内图像位于第四象限，函数值均为负，而题中函数的函数值均为正，说明是将$y=\frac{a}{x}$的图像向上平移了$b$个单位得到$y=\frac{a}{x}+b$的图像，因此$b＞0$。
【答案】
＜；＞
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象的平移
【点评】
本题结合植物生长的实际情境，考查对反比例型函数图像和性质的理解应用，需要结合图像的单调性、位置判断参数符号，锻炼学生从图像中提取信息分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时从两个角度推导参数符号：①先分析函数单调性：观察图像可知，x在1~5范围内，植株高度y随生长阶段x的增大而增大。对于函数$y=\frac{a}{x}+b$，它是反比例函数$y=\frac{a}{x}$上下平移得到的，当$x＞0$时，若$a＞0$，$y=\frac{a}{x}$随$x$增大而减小，与图像趋势矛盾，即可判断$a$的符号；②再分析函数值的正负：题中所有点的$y$值均为正数，当$a＜0$时，反比例函数$y=\frac{a}{x}$在$x＞0$时的图像位于第四象限（函数值为负），要让平移后的函数值全部为正，需要向上平移，由此可判断$b$的符号。
【解析】
观察图像可得：当$1≤ x≤5$时，$y$随$x$的增大而增大，且所有对应$y$值均为正数。
对于函数$y=\frac{a}{x}+b$：
1. 若$a＞0$，则当$x＞0$时，$\frac{a}{x}$随$x$增大而减小，即$y=\frac{a}{x}+b$随$x$增大而减小，与图像的递增趋势不符，因此$a＜0$；
2. 当$a＜0$时，反比例函数$y=\frac{a}{x}$在$x＞0$的区间内图像位于第四象限，函数值均为负，而题中函数的函数值均为正，说明是将$y=\frac{a}{x}$的图像向上平移了$b$个单位得到$y=\frac{a}{x}+b$的图像，因此$b＞0$。
【答案】
＜；＞
【知识点】
反比例函数的性质；函数图象的平移
【点评】
本题结合植物生长的实际情境，考查对反比例型函数图像和性质的理解应用，需要结合图像的单调性、位置判断参数符号，锻炼学生从图像中提取信息分析问题的能力。
【难度系数】
0.7
8. 核心素养 运算能力「2025山东临沂中考」如图,取直线$y=-x$上一点$A_1(x_1,y_1)$,①过点$A_1$作$x$轴的垂线,交$y=\dfrac{1}{x}$的图象于点$A_2(x_2,y_2)$;②过点$A_2$作$y$轴的垂线,交$y=-x$的图象于点$A_3(x_3,y_3)$;如此循环进行下去.按照上面的操作,若点$A_1$的坐标为$(1,-1)$,则点$A_{2025}$的坐标是
$(1,-1)$
.答案
$(1,-1)$
解析 由题意可得$A_1(1,-1),A_2(1,1),A_3(-1,1)$,
$A_4(-1,-1),A_5(1,-1),……$
∴ 每4个点为一个循环周期,
∵ $2025÷4=506……1,∴ A_{2025}$的坐标与$A_1$的坐标相同,$∴ A_{2025}$的坐标是$(1,-1)$.
解析 由题意可得$A_1(1,-1),A_2(1,1),A_3(-1,1)$,
$A_4(-1,-1),A_5(1,-1),……$
∴ 每4个点为一个循环周期,
∵ $2025÷4=506……1,∴ A_{2025}$的坐标与$A_1$的坐标相同,$∴ A_{2025}$的坐标是$(1,-1)$.
解析
【分析】
要解决本题，首先按照题目给出的操作步骤依次计算前几个点的坐标，观察坐标变化规律找到循环周期，再用总序号除以周期，根据余数判断$A_{2025}$对应周期内的位置，即可得到其坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(1,-1)$：
1. 过$A_1$作x轴的垂线交$y=\dfrac{1}{x}$于$A_2$，$A_2$横坐标与$A_1$相同，即$x_2=1$，代入$y=\dfrac{1}{x}$得$y_2=\dfrac{1}{1}=1$，故$A_2(1,1)$；
2. 过$A_2$作y轴的垂线交$y=-x$于$A_3$，$A_3$纵坐标与$A_2$相同，即$y_3=1$，代入$y=-x$得$x_3=-1$，故$A_3(-1,1)$；
3. 过$A_3$作x轴的垂线交$y=\dfrac{1}{x}$于$A_4$，$A_4$横坐标与$A_3$相同，即$x_4=-1$，代入$y=\dfrac{1}{x}$得$y_4=\dfrac{1}{-1}=-1$，故$A_4(-1,-1)$；
4. 过$A_4$作y轴的垂线交$y=-x$于$A_5$，$A_5$纵坐标与$A_4$相同，即$y_5=-1$，代入$y=-x$得$x_5=1$，故$A_5(1,-1)$，与$A_1$坐标一致。
由此可得每4个点为一个循环周期，计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$A_{2025}$的坐标与周期内第1个点$A_1$坐标相同。
【答案】
$(1,-1)$
【知识点】
反比例函数的图象，一次函数的图象，周期规律探究
【点评】
本题是函数与规律探究结合的典型题型，重点考查一次函数、反比例函数的图象性质，以及归纳推理能力，解题核心是通过计算前几个点的坐标找到循环周期。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先按照题目给出的操作步骤依次计算前几个点的坐标，观察坐标变化规律找到循环周期，再用总序号除以周期，根据余数判断$A_{2025}$对应周期内的位置，即可得到其坐标。
【解析】
已知点$A_1$的坐标为$(1,-1)$：
1. 过$A_1$作x轴的垂线交$y=\dfrac{1}{x}$于$A_2$，$A_2$横坐标与$A_1$相同，即$x_2=1$，代入$y=\dfrac{1}{x}$得$y_2=\dfrac{1}{1}=1$，故$A_2(1,1)$；
2. 过$A_2$作y轴的垂线交$y=-x$于$A_3$，$A_3$纵坐标与$A_2$相同，即$y_3=1$，代入$y=-x$得$x_3=-1$，故$A_3(-1,1)$；
3. 过$A_3$作x轴的垂线交$y=\dfrac{1}{x}$于$A_4$，$A_4$横坐标与$A_3$相同，即$x_4=-1$，代入$y=\dfrac{1}{x}$得$y_4=\dfrac{1}{-1}=-1$，故$A_4(-1,-1)$；
4. 过$A_4$作y轴的垂线交$y=-x$于$A_5$，$A_5$纵坐标与$A_4$相同，即$y_5=-1$，代入$y=-x$得$x_5=1$，故$A_5(1,-1)$，与$A_1$坐标一致。
由此可得每4个点为一个循环周期，计算$2025÷4=506······1$，余数为1，说明$A_{2025}$的坐标与周期内第1个点$A_1$坐标相同。
【答案】
$(1,-1)$
【知识点】
反比例函数的图象，一次函数的图象，周期规律探究
【点评】
本题是函数与规律探究结合的典型题型，重点考查一次函数、反比例函数的图象性质，以及归纳推理能力，解题核心是通过计算前几个点的坐标找到循环周期。
【难度系数】
0.7
