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1 如图，AB是$\odot O$的直径，点C为$\odot O$外一点，CA、CD是$\odot O$的切线，A、D为切点，连接BD、AD。若$∠ ACD=48°$，则$∠ DBA$的大小是(
A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
第1题图 第2题图
D
)。A.$32°$
B.$48°$
C.$60°$
D.$66°$
第1题图 第2题图
答案
1.D
解析
【分析】
解题时先从已知的切线条件入手：首先根据切线长定理可得CA=CD，△ACD为等腰三角形，结合已知∠ACD的度数可求出∠CAD的度数；再根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得CA⊥AB，推出∠CAD与∠DAB互余；最后结合直径所对的圆周角为直角，可知∠DBA与∠DAB互余，根据同角的余角相等即可求出∠DBA的度数。
【解析】
1. 因为CA、CD是$\odot O$的切线，A、D为切点，由切线长定理得$CA=CD$，所以$△ ACD$是等腰三角形。
已知$∠ ACD=48°$，因此$∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
2. 因为CA是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，根据切线的性质得$CA⊥ AB$，即$∠ CAB=90°$，所以$∠ CAD+∠ DAB=90°$。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ADB$中，$∠ DAB+∠ DBA=90°$。
4. 根据同角的余角相等，可得$∠ DBA=∠ CAD=66°$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，核心是结合切线性质、等腰三角形性质和圆周角定理推导角度关系，熟练掌握相关定理就能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的切线条件入手：首先根据切线长定理可得CA=CD，△ACD为等腰三角形，结合已知∠ACD的度数可求出∠CAD的度数；再根据切线的性质，切线垂直于过切点的半径，可得CA⊥AB，推出∠CAD与∠DAB互余；最后结合直径所对的圆周角为直角，可知∠DBA与∠DAB互余，根据同角的余角相等即可求出∠DBA的度数。
【解析】
1. 因为CA、CD是$\odot O$的切线，A、D为切点，由切线长定理得$CA=CD$，所以$△ ACD$是等腰三角形。
已知$∠ ACD=48°$，因此$∠ CAD=\frac{180°-∠ ACD}{2}=\frac{180°-48°}{2}=66°$。
2. 因为CA是$\odot O$的切线，AB是$\odot O$的直径，根据切线的性质得$CA⊥ AB$，即$∠ CAB=90°$，所以$∠ CAD+∠ DAB=90°$。
3. 因为AB是$\odot O$的直径，根据直径所对的圆周角是直角，得$∠ ADB=90°$，在$Rt△ ADB$中，$∠ DAB+∠ DBA=90°$。
4. 根据同角的余角相等，可得$∠ DBA=∠ CAD=66°$。
【答案】
D
【知识点】
切线长定理；切线的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆相关角度计算的基础题型，核心是结合切线性质、等腰三角形性质和圆周角定理推导角度关系，熟练掌握相关定理就能快速找到解题突破口。
【难度系数】
0.7
2 如图，以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AD边于点E，若△CDE的周长为12，则四边形ABCE的周长为（
A.12
B.13
C.14
D.15
C
）。A.12
B.13
C.14
D.15
答案
2.C
解析
【分析】
本题可先利用切线长定理将相等的线段进行转化，先通过△CDE的周长求出正方形的边长，再结合勾股定理求出AE的长度，最后计算四边形ABCE的周长即可。解题第一步要明确：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可得AE=EF、CB=CF，这是线段转化的核心依据。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，$AE=EF=x$。
根据切线长定理：
从点E引半圆O的两条切线为EA、EF，故$EA=EF=x$；
从点C引半圆O的两条切线为CB、CF，故$CB=CF=a$。
已知△CDE的周长为12，即$ED + DC + CE =12$，其中：
$ED=AD - AE = a - x$，$DC=a$，$CE=EF + CF =x +a$，
代入周长公式得：$(a - x) + a + (x +a) = 3a =12$，解得$a=4$，即正方形边长为4。
在Rt△CDE中，$∠ D=90°$，由勾股定理得$ED^2 + DC^2 = CE^2$，
将$ED=4 - x$，$DC=4$，$CE=x +4$代入得：
$(4 - x)^2 + 4^2 = (x + 4)^2$
展开得：$16 - 8x + x^2 + 16 = x^2 + 8x + 16$
化简得：$16x=16$，解得$x=1$。
因此四边形ABCE的周长为：
$AB + BC + CE + EA = 4 + 4 + (1+4) +1 =14$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查切线长定理的应用，结合正方形性质和勾股定理求解即可，解题关键是利用切线长相等对线段做转化，降低计算难度。
【难度系数】
0.65
本题可先利用切线长定理将相等的线段进行转化，先通过△CDE的周长求出正方形的边长，再结合勾股定理求出AE的长度，最后计算四边形ABCE的周长即可。解题第一步要明确：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，因此可得AE=EF、CB=CF，这是线段转化的核心依据。
【解析】
设正方形ABCD的边长为$a$，$AE=EF=x$。
根据切线长定理：
从点E引半圆O的两条切线为EA、EF，故$EA=EF=x$；
从点C引半圆O的两条切线为CB、CF，故$CB=CF=a$。
已知△CDE的周长为12，即$ED + DC + CE =12$，其中：
$ED=AD - AE = a - x$，$DC=a$，$CE=EF + CF =x +a$，
代入周长公式得：$(a - x) + a + (x +a) = 3a =12$，解得$a=4$，即正方形边长为4。
在Rt△CDE中，$∠ D=90°$，由勾股定理得$ED^2 + DC^2 = CE^2$，
将$ED=4 - x$，$DC=4$，$CE=x +4$代入得：
$(4 - x)^2 + 4^2 = (x + 4)^2$
展开得：$16 - 8x + x^2 + 16 = x^2 + 8x + 16$
化简得：$16x=16$，解得$x=1$。
因此四边形ABCE的周长为：
$AB + BC + CE + EA = 4 + 4 + (1+4) +1 =14$
【答案】
C
【知识点】
切线长定理，正方形的性质，勾股定理
【点评】
本题重点考查切线长定理的应用，结合正方形性质和勾股定理求解即可，解题关键是利用切线长相等对线段做转化，降低计算难度。
【难度系数】
0.65
3 如图，用尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下列作法不正确的是(
第3题图①
第3题图②
第3题图③
第3题图④
D
)。 第3题图① 第3题图② 第3题图③ 第3题图④答案
3.D
解析
【分析】
本题考查尺规过圆外一点作圆切线的作法正误判断，解题需结合切线的判定定理、直径所对圆周角为直角的性质分析：切线的核心判定条件是“经过半径外端且垂直于该半径”，因此正确的作切线的逻辑是构造出直线与圆交点处的直角。首先回忆标准作法：连接OP，作OP的中点，以中点为圆心、OP长的一半为半径作弧，与圆O交于两个切点，连接P与切点即可得到切线，依据是直径所对的圆周角为直角，可证得半径与连线垂直，符合切线判定。接下来逐一验证各选项作法是否满足该逻辑即可。
【解析】
对四个选项的作法逐一判断：
A、B、C选项的作法均能通过几何定理证明，所作直线与圆O的交点和圆心O的连线，与该直线垂直，满足切线的判定条件，作法正确；
D选项的作法无法证明所作直线与过交点的圆O半径垂直，也不能保证直线与圆仅有一个公共点，不符合切线的判定要求，因此作法不正确。
综上，本题选作法不正确的选项，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定，尺规作图，圆周角定理
【点评】
本题属于基础作图原理考查题，解题关键是明确尺规作图必须有对应的几何定理作为支撑，不能仅凭视觉判断作图是否正确。
【难度系数】
0.7
本题考查尺规过圆外一点作圆切线的作法正误判断，解题需结合切线的判定定理、直径所对圆周角为直角的性质分析：切线的核心判定条件是“经过半径外端且垂直于该半径”，因此正确的作切线的逻辑是构造出直线与圆交点处的直角。首先回忆标准作法：连接OP，作OP的中点，以中点为圆心、OP长的一半为半径作弧，与圆O交于两个切点，连接P与切点即可得到切线，依据是直径所对的圆周角为直角，可证得半径与连线垂直，符合切线判定。接下来逐一验证各选项作法是否满足该逻辑即可。
【解析】
对四个选项的作法逐一判断：
A、B、C选项的作法均能通过几何定理证明，所作直线与圆O的交点和圆心O的连线，与该直线垂直，满足切线的判定条件，作法正确；
D选项的作法无法证明所作直线与过交点的圆O半径垂直，也不能保证直线与圆仅有一个公共点，不符合切线的判定要求，因此作法不正确。
综上，本题选作法不正确的选项，答案为D。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定，尺规作图，圆周角定理
【点评】
本题属于基础作图原理考查题，解题关键是明确尺规作图必须有对应的几何定理作为支撑，不能仅凭视觉判断作图是否正确。
【难度系数】
0.7
④ 从圆外一点作圆的两条切线，
切线长
相等，圆心和圆外这一点的连线平分
这两条切线的夹角。答案
切线长，平分
解析
【分析】
本题考查切线长定理的基本内容，解题时首先明确题干考察的是圆的切线长相关性质，回忆切线长定理的核心结论：从圆外一点向圆引两条切线，所得两条切线的长度（即切线长）相等，同时圆心与该圆外点的连线会平分两条切线形成的夹角，直接对应空缺填写即可。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空填“切线长”，第二个空填“平分”。
【答案】
切线长，平分
【知识点】
切线长定理；切线长的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，核心是对切线长定理内容的准确识记，熟练掌握基础定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查切线长定理的基本内容，解题时首先明确题干考察的是圆的切线长相关性质，回忆切线长定理的核心结论：从圆外一点向圆引两条切线，所得两条切线的长度（即切线长）相等，同时圆心与该圆外点的连线会平分两条切线形成的夹角，直接对应空缺填写即可。
【解析】
根据切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。因此第一个空填“切线长”，第二个空填“平分”。
【答案】
切线长，平分
【知识点】
切线长定理；切线长的概念
【点评】
本题属于基础概念考查题，难度较低，核心是对切线长定理内容的准确识记，熟练掌握基础定理是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.9
5 已知圆O的半径为1，过圆外一点P作圆的切线，如果切线长为2，那么点P到圆心的距离为
$\sqrt{5}$
。答案
$\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。我们可以连接圆心和切点、圆心和点P，构造出直角三角形，再结合已知的半径长和切线长，利用勾股定理即可求出点P到圆心的距离。
【解析】
设切线与圆O的切点为A，连接OA、OP。
∵PA是圆O的切线，
∴OA⊥PA，即△OAP是直角三角形。
已知圆O半径OA=1，切线长PA=2，
根据勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OA^2 + PA^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$
即点P到圆心的距离为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算未知边长，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径。我们可以连接圆心和切点、圆心和点P，构造出直角三角形，再结合已知的半径长和切线长，利用勾股定理即可求出点P到圆心的距离。
【解析】
设切线与圆O的切点为A，连接OA、OP。
∵PA是圆O的切线，
∴OA⊥PA，即△OAP是直角三角形。
已知圆O半径OA=1，切线长PA=2，
根据勾股定理可得：
$OP=\sqrt{OA^2 + PA^2}=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$
即点P到圆心的距离为$\sqrt{5}$。
【答案】
$\sqrt{5}$
【知识点】
切线的性质；勾股定理
【点评】
本题是基础类题型，解题的核心是利用切线的性质构造直角三角形，再结合勾股定理计算未知边长，解题思路清晰直接。
【难度系数】
0.8
