13 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D。连接BC并延长，交AD的延长线于点E。
（1）求证：$AE=AB$。
（2）若$AB=10$，$BC=6$，求CD的长。

13. (1) 连接AC、OC。因为CD为$\odot O$的切线,所以$OC ⊥ CD$。因为$CD ⊥ AD$,所以$OC // AD$,所以$∠ OCB=∠ E$。因为$OB=OC$,所以$∠ OCB=∠ B$,所以$∠ B=∠ E$,所以$AE=AB$。
(2) 因为AB为直径,所以$∠ ACB=90°$,所以$AC=\sqrt{10^2-6^2}=8$。因为$AB=AE=10$,$AC ⊥ BE$,所以$CE=BC=6$。因为$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CD · AE=\frac{1}{2}AC · CE$,所以$CD=\frac{24}{5}$。

14 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ B=30°$,点$O$在边$BC$上,以$O$为圆心,$OC$为半径的圆与边$AC$交于点$D$,与边$AB$相切于点$E$。
(1)当$BC=12$时,求$\odot O$的半径长。
(2)求$\frac{AD}{CD}$的值。

14. (1) 因为$\odot O$与AB边相切于点E,所以$AB ⊥ OE$,所以$∠ OEB=90°$。因为$∠ B=30°$,$OE=OC$,所以$OB=2OE=2OC$。因为$OB+OC=BC=12$,所以$2OC+OC=12$,所以$OC=4$,所以$\odot O$的半径长为4。
(2) 连接OD、ED,则$OD=OC=OE$。因为$∠ OEB=∠ A=90°$,$∠ B=30°$,所以$∠ BOE=∠ C=90°-∠ B=60°$,所以$△ COD$是等边三角形,所以$∠ COD=60°$,所以$∠ DOE=60°$,所以$△ EOD$是等边三角形,所以$∠ OED=60°$,所以$∠ AED=180°-∠ OED-∠ OEB=30°$,所以$AD=\frac{1}{2}ED$。因为$ED=OD=CD$,所以$AD=\frac{1}{2}CD$,所以$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。

15 如图，AB是$\odot O$的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与$\odot O$相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G。
（1）求证：$∠ F = 2∠ B$。
（2）若$AO=4$，$AD=OE=1$，求FG的长。

15. (1) 连接OC。因为CD与$\odot O$相切于点C,所以$OC ⊥ CD$,所以$∠ OCF=90°$。因为$FE ⊥ AB$,所以$∠ OEF=90°$,所以$∠ F+∠ COE=180°$。因为$∠ AOC+∠ COE=180°$,所以$∠ AOC=∠ F$。由圆周角定理,可得$∠ AOC=2∠ B$,所以$∠ F=2∠ B$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,因为$OC=OA=4$,$OD=OA+AD=4+1=5$,所以$CD=\sqrt{5^2-4^2}=3$。因为$∠ ODC=∠ FDE$,$∠ OCD=∠ FED$,所以$△ DOC ∽ △ DFE$,所以$\frac{DO}{DF}=\frac{DC}{DE}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{3}{5+1}$,解得$DF=10$,所以$FC=DF-CD=10-3=7$。因为$OB=OC$,所以$∠ B=∠ OCB$。因为$∠ OCB+∠ FCG=90°$,$∠ B+∠ BGE=90°$,所以$∠ FCG=∠ BGE$,而$∠ BGE=∠ FGC$,所以$∠ FCG=∠ FGC$,所以$FG=FC=7$。