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13 如图，AB为$\odot O$的直径，点C在$\odot O$上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D。连接BC并延长，交AD的延长线于点E。
（1）求证：$AE=AB$。
（2）若$AB=10$，$BC=6$，求CD的长。
（1）求证：$AE=AB$。
（2）若$AB=10$，$BC=6$，求CD的长。
答案
13. (1) 连接AC、OC。因为CD为$\odot O$的切线,所以$OC ⊥ CD$。因为$CD ⊥ AD$,所以$OC // AD$,所以$∠ OCB=∠ E$。因为$OB=OC$,所以$∠ OCB=∠ B$,所以$∠ B=∠ E$,所以$AE=AB$。
(2) 因为AB为直径,所以$∠ ACB=90°$,所以$AC=\sqrt{10^2-6^2}=8$。因为$AB=AE=10$,$AC ⊥ BE$,所以$CE=BC=6$。因为$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CD · AE=\frac{1}{2}AC · CE$,所以$CD=\frac{24}{5}$。
(2) 因为AB为直径,所以$∠ ACB=90°$,所以$AC=\sqrt{10^2-6^2}=8$。因为$AB=AE=10$,$AC ⊥ BE$,所以$CE=BC=6$。因为$S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CD · AE=\frac{1}{2}AC · CE$,所以$CD=\frac{24}{5}$。
解析
【分析】
（1）要证$AE=AB$，可通过证明两角相等推导边相等，即证$∠ B=∠ E$。遇到圆的切线，优先连接圆心与切点构造垂直关系：连接$OC$，由切线性质得$OC⊥ CD$，结合已知$CD⊥ AD$可得$OC// AD$，利用平行线同位角相等得$∠ OCB=∠ E$，再结合$OB=OC$等边对等角得$∠ OCB=∠ B$，等量代换即可得$∠ B=∠ E$，从而证得$AE=AB$。
（2）要求$CD$的长，可借助等面积法求解：首先$AB$是$\odot O$的直径，连接$AC$后由直径所对圆周角为直角可得$∠ ACB=90°$，先用勾股定理求出$AC$的长度；再结合（1）中$AE=AB$，$AC⊥ BE$，由等腰三角形三线合一得$CE=BC$，最后根据$△ ACE$的面积两种表达式列等式，即可求出$CD$。
【解析】
（1）证明：连接$AC$、$OC$。
$\because CD$为$\odot O$的切线，$\therefore OC ⊥ CD$。
$\because CD ⊥ AD$，$\therefore OC // AD$，$\therefore ∠ OCB=∠ E$。
$\because OB=OC$，$\therefore ∠ OCB=∠ B$，$\therefore ∠ B=∠ E$，$\therefore AE=AB$。
（2）解：$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
由（1）知$AB=AE=10$，且$AC ⊥ BE$，根据等腰三角形三线合一，得$CE=BC=6$。
$\because S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CD · AE=\frac{1}{2}AC · CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}× CD × 10=\frac{1}{2}× 8 × 6$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$
【知识点】
切线的性质；直径所对圆周角为直角；等面积法求线段长
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是掌握圆中常见辅助线的构造方法，结合平行线性质、等腰三角形性质和勾股定理求解，其中等面积法是求垂线段长度的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
（1）要证$AE=AB$，可通过证明两角相等推导边相等，即证$∠ B=∠ E$。遇到圆的切线，优先连接圆心与切点构造垂直关系：连接$OC$，由切线性质得$OC⊥ CD$，结合已知$CD⊥ AD$可得$OC// AD$，利用平行线同位角相等得$∠ OCB=∠ E$，再结合$OB=OC$等边对等角得$∠ OCB=∠ B$，等量代换即可得$∠ B=∠ E$，从而证得$AE=AB$。
（2）要求$CD$的长，可借助等面积法求解：首先$AB$是$\odot O$的直径，连接$AC$后由直径所对圆周角为直角可得$∠ ACB=90°$，先用勾股定理求出$AC$的长度；再结合（1）中$AE=AB$，$AC⊥ BE$，由等腰三角形三线合一得$CE=BC$，最后根据$△ ACE$的面积两种表达式列等式，即可求出$CD$。
【解析】
（1）证明：连接$AC$、$OC$。
$\because CD$为$\odot O$的切线，$\therefore OC ⊥ CD$。
$\because CD ⊥ AD$，$\therefore OC // AD$，$\therefore ∠ OCB=∠ E$。
$\because OB=OC$，$\therefore ∠ OCB=∠ B$，$\therefore ∠ B=∠ E$，$\therefore AE=AB$。
（2）解：$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ACB$中，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
由（1）知$AB=AE=10$，且$AC ⊥ BE$，根据等腰三角形三线合一，得$CE=BC=6$。
$\because S_{△ ACE}=\frac{1}{2}CD · AE=\frac{1}{2}AC · CE$，代入数值：
$\frac{1}{2}× CD × 10=\frac{1}{2}× 8 × 6$，
解得$CD=\frac{24}{5}$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boldsymbol{\frac{24}{5}}$
【知识点】
切线的性质；直径所对圆周角为直角；等面积法求线段长
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础综合题，解题核心是掌握圆中常见辅助线的构造方法，结合平行线性质、等腰三角形性质和勾股定理求解，其中等面积法是求垂线段长度的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
14 如图,在$△ ABC$中,$∠ A=90°$,$∠ B=30°$,点$O$在边$BC$上,以$O$为圆心,$OC$为半径的圆与边$AC$交于点$D$,与边$AB$相切于点$E$。
(1)当$BC=12$时,求$\odot O$的半径长。
(2)求$\frac{AD}{CD}$的值。
(1)当$BC=12$时,求$\odot O$的半径长。
(2)求$\frac{AD}{CD}$的值。
答案
14. (1) 因为$\odot O$与AB边相切于点E,所以$AB ⊥ OE$,所以$∠ OEB=90°$。因为$∠ B=30°$,$OE=OC$,所以$OB=2OE=2OC$。因为$OB+OC=BC=12$,所以$2OC+OC=12$,所以$OC=4$,所以$\odot O$的半径长为4。
(2) 连接OD、ED,则$OD=OC=OE$。因为$∠ OEB=∠ A=90°$,$∠ B=30°$,所以$∠ BOE=∠ C=90°-∠ B=60°$,所以$△ COD$是等边三角形,所以$∠ COD=60°$,所以$∠ DOE=60°$,所以$△ EOD$是等边三角形,所以$∠ OED=60°$,所以$∠ AED=180°-∠ OED-∠ OEB=30°$,所以$AD=\frac{1}{2}ED$。因为$ED=OD=CD$,所以$AD=\frac{1}{2}CD$,所以$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。
(2) 连接OD、ED,则$OD=OC=OE$。因为$∠ OEB=∠ A=90°$,$∠ B=30°$,所以$∠ BOE=∠ C=90°-∠ B=60°$,所以$△ COD$是等边三角形,所以$∠ COD=60°$,所以$∠ DOE=60°$,所以$△ EOD$是等边三角形,所以$∠ OED=60°$,所以$∠ AED=180°-∠ OED-∠ OEB=30°$,所以$AD=\frac{1}{2}ED$。因为$ED=OD=CD$,所以$AD=\frac{1}{2}CD$,所以$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) 求⊙O的半径时，先根据切线的性质得到OE⊥AB，在含30°角的Rt△BOE中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可得OB=2OE，而OE=OC，再结合BC=OB+OC=12的条件，代入即可求出半径长度。
(2) 求$\frac{AD}{CD}$的比值时，先连接OD，先由△ABC的内角求出∠C=60°，结合OD=OC证明△COD是等边三角形，得到CD=OD；再求出∠BOE=60°，推导得∠DOE=60°，证明△EOD是等边三角形，得到ED=OD=CD；最后根据∠A=90°求出∠AED=30°，在Rt△AED中利用30°角的性质得到AD和ED的关系，即可推导出AD和CD的比值。
【解析】
(1)
∵⊙O与AB边相切于点E，由切线的性质可得$OE⊥ AB$，即$∠ OEB=90°$。
∵$∠ B=30°$，在Rt△BOE中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$OB=2OE$。
∵OE、OC都是⊙O的半径，
∴$OE=OC$，即$OB=2OC$。
已知$BC=OB+OC=12$，代入得$2OC+OC=12$，解得$OC=4$。
(2) 连接OD，
在△ABC中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ C=180°-90°-30°=60°$。
∵$OD=OC$，
∴△COD是含60°角的等腰三角形，即△COD为等边三角形，
∴$CD=OD$，$∠ COD=60°$。
由(1)知$∠ OEB=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BOE=90°-30°=60°$，
∴$∠ DOE=180°-∠ BOE-∠ COD=180°-60°-60°=60°$。
∵$OD=OE$，
∴△EOD是等边三角形，
∴$ED=OD=CD$，$∠ OED=60°$。
∵$∠ OEB=90°$，
∴$∠ AED=180°-∠ OEB-∠ OED=180°-90°-60°=30°$。
在Rt△AED中，$∠ A=90°$，$∠ AED=30°$，
∴$AD=\frac{1}{2}ED$。
结合$ED=CD$，得$AD=\frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为4；(2) $\frac{AD}{CD}$的值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础典型题，解题的核心是灵活运用切线的性质和特殊三角形的边角关系，第二问作辅助线构造等边三角形是解题的突破口，能帮助学生巩固圆与特殊三角形的相关性质应用。
【难度系数】
0.7
(1) 求⊙O的半径时，先根据切线的性质得到OE⊥AB，在含30°角的Rt△BOE中，利用30°角所对直角边等于斜边的一半的性质，可得OB=2OE，而OE=OC，再结合BC=OB+OC=12的条件，代入即可求出半径长度。
(2) 求$\frac{AD}{CD}$的比值时，先连接OD，先由△ABC的内角求出∠C=60°，结合OD=OC证明△COD是等边三角形，得到CD=OD；再求出∠BOE=60°，推导得∠DOE=60°，证明△EOD是等边三角形，得到ED=OD=CD；最后根据∠A=90°求出∠AED=30°，在Rt△AED中利用30°角的性质得到AD和ED的关系，即可推导出AD和CD的比值。
【解析】
(1)
∵⊙O与AB边相切于点E，由切线的性质可得$OE⊥ AB$，即$∠ OEB=90°$。
∵$∠ B=30°$，在Rt△BOE中，30°角所对直角边等于斜边的一半，
∴$OB=2OE$。
∵OE、OC都是⊙O的半径，
∴$OE=OC$，即$OB=2OC$。
已知$BC=OB+OC=12$，代入得$2OC+OC=12$，解得$OC=4$。
(2) 连接OD，
在△ABC中，$∠ A=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ C=180°-90°-30°=60°$。
∵$OD=OC$，
∴△COD是含60°角的等腰三角形，即△COD为等边三角形，
∴$CD=OD$，$∠ COD=60°$。
由(1)知$∠ OEB=90°$，$∠ B=30°$，
∴$∠ BOE=90°-30°=60°$，
∴$∠ DOE=180°-∠ BOE-∠ COD=180°-60°-60°=60°$。
∵$OD=OE$，
∴△EOD是等边三角形，
∴$ED=OD=CD$，$∠ OED=60°$。
∵$∠ OEB=90°$，
∴$∠ AED=180°-∠ OEB-∠ OED=180°-90°-60°=30°$。
在Rt△AED中，$∠ A=90°$，$∠ AED=30°$，
∴$AD=\frac{1}{2}ED$。
结合$ED=CD$，得$AD=\frac{1}{2}CD$，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\odot O$的半径长为4；(2) $\frac{AD}{CD}$的值为$\frac{1}{2}$
【知识点】
切线的性质；含30°角的直角三角形的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的基础典型题，解题的核心是灵活运用切线的性质和特殊三角形的边角关系，第二问作辅助线构造等边三角形是解题的突破口，能帮助学生巩固圆与特殊三角形的相关性质应用。
【难度系数】
0.7
15 如图，AB是$\odot O$的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与$\odot O$相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G。
（1）求证：$∠ F = 2∠ B$。
（2）若$AO=4$，$AD=OE=1$，求FG的长。
（1）求证：$∠ F = 2∠ B$。
（2）若$AO=4$，$AD=OE=1$，求FG的长。
答案
15. (1) 连接OC。因为CD与$\odot O$相切于点C,所以$OC ⊥ CD$,所以$∠ OCF=90°$。因为$FE ⊥ AB$,所以$∠ OEF=90°$,所以$∠ F+∠ COE=180°$。因为$∠ AOC+∠ COE=180°$,所以$∠ AOC=∠ F$。由圆周角定理,可得$∠ AOC=2∠ B$,所以$∠ F=2∠ B$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,因为$OC=OA=4$,$OD=OA+AD=4+1=5$,所以$CD=\sqrt{5^2-4^2}=3$。因为$∠ ODC=∠ FDE$,$∠ OCD=∠ FED$,所以$△ DOC ∽ △ DFE$,所以$\frac{DO}{DF}=\frac{DC}{DE}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{3}{5+1}$,解得$DF=10$,所以$FC=DF-CD=10-3=7$。因为$OB=OC$,所以$∠ B=∠ OCB$。因为$∠ OCB+∠ FCG=90°$,$∠ B+∠ BGE=90°$,所以$∠ FCG=∠ BGE$,而$∠ BGE=∠ FGC$,所以$∠ FCG=∠ FGC$,所以$FG=FC=7$。
(2) 在$\mathrm{Rt}△ OCD$中,因为$OC=OA=4$,$OD=OA+AD=4+1=5$,所以$CD=\sqrt{5^2-4^2}=3$。因为$∠ ODC=∠ FDE$,$∠ OCD=∠ FED$,所以$△ DOC ∽ △ DFE$,所以$\frac{DO}{DF}=\frac{DC}{DE}$,即$\frac{5}{DF}=\frac{3}{5+1}$,解得$DF=10$,所以$FC=DF-CD=10-3=7$。因为$OB=OC$,所以$∠ B=∠ OCB$。因为$∠ OCB+∠ FCG=90°$,$∠ B+∠ BGE=90°$,所以$∠ FCG=∠ BGE$,而$∠ BGE=∠ FGC$,所以$∠ FCG=∠ FGC$,所以$FG=FC=7$。
解析
【分析】
（1）要证明$∠ F=2∠ B$，首先结合切线的性质连接半径$OC$，可得$OC⊥ CD$，结合$FE⊥ AB$可推出$∠ F$与$∠ AOC$相等，再根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，得到$∠ AOC=2∠ B$，即可完成证明。
（2）先在$\mathrm{Rt}△ OCD$中利用勾股定理求出$CD$的长度，再通过证明$△ DOC∽△ DFE$，利用相似三角形对应边成比例求出$DF$的长度，最后通过角的等量代换证明$∠ FCG=∠ FGC$，得到$FG=FC$，即可算出$FG$的长。
【解析】
（1）证明：连接$OC$。
$\because CD$与$\odot O$相切于点$C$，$\therefore OC⊥ CD$，即$∠ OCF=90°$。
$\because FE⊥ AB$，$\therefore ∠ OEF=90°$。
在四边形$OCEF$中，内角和为$360°$，$\therefore ∠ F+∠ COE=360°-∠ OCF-∠ OEF=180°$。
又$\because ∠ AOC+∠ COE=180°$，$\therefore ∠ AOC=∠ F$。
根据圆周角定理，同弧$AC$所对的圆心角$∠ AOC$是圆周角$∠ B$的2倍，即$∠ AOC=2∠ B$，
$\therefore ∠ F=2∠ B$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$OC=OA=4$，$OD=OA+AD=4+1=5$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because ∠ ODC=∠ FDE$，$∠ OCD=∠ FED=90°$，
$\therefore △ DOC∽△ DFE$，
$\therefore \frac{DO}{DF}=\frac{DC}{DE}$，其中$DE=OD+OE=5+1=6$，
代入得$\frac{5}{DF}=\frac{3}{6}$，解得$DF=10$，
$\therefore FC=DF-CD=10-3=7$。
$\because OB=OC$，$\therefore ∠ B=∠ OCB$。
$\because ∠ OCB+∠ FCG=180°-∠ OCF=90°$，$∠ B+∠ BGE=90°$，
$\therefore ∠ FCG=∠ BGE$，
又$\because ∠ BGE=∠ FGC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ FCG=∠ FGC$，
$\therefore FG=FC=7$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{7}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线，结合切线性质、圆周角定理和相似三角形的性质逐步推导，同时要熟练掌握等角对等边的判定，考查了学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.65
（1）要证明$∠ F=2∠ B$，首先结合切线的性质连接半径$OC$，可得$OC⊥ CD$，结合$FE⊥ AB$可推出$∠ F$与$∠ AOC$相等，再根据圆周角定理“同弧所对的圆心角是圆周角的2倍”，得到$∠ AOC=2∠ B$，即可完成证明。
（2）先在$\mathrm{Rt}△ OCD$中利用勾股定理求出$CD$的长度，再通过证明$△ DOC∽△ DFE$，利用相似三角形对应边成比例求出$DF$的长度，最后通过角的等量代换证明$∠ FCG=∠ FGC$，得到$FG=FC$，即可算出$FG$的长。
【解析】
（1）证明：连接$OC$。
$\because CD$与$\odot O$相切于点$C$，$\therefore OC⊥ CD$，即$∠ OCF=90°$。
$\because FE⊥ AB$，$\therefore ∠ OEF=90°$。
在四边形$OCEF$中，内角和为$360°$，$\therefore ∠ F+∠ COE=360°-∠ OCF-∠ OEF=180°$。
又$\because ∠ AOC+∠ COE=180°$，$\therefore ∠ AOC=∠ F$。
根据圆周角定理，同弧$AC$所对的圆心角$∠ AOC$是圆周角$∠ B$的2倍，即$∠ AOC=2∠ B$，
$\therefore ∠ F=2∠ B$。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ OCD$中，$OC=OA=4$，$OD=OA+AD=4+1=5$，
由勾股定理得：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。
$\because ∠ ODC=∠ FDE$，$∠ OCD=∠ FED=90°$，
$\therefore △ DOC∽△ DFE$，
$\therefore \frac{DO}{DF}=\frac{DC}{DE}$，其中$DE=OD+OE=5+1=6$，
代入得$\frac{5}{DF}=\frac{3}{6}$，解得$DF=10$，
$\therefore FC=DF-CD=10-3=7$。
$\because OB=OC$，$\therefore ∠ B=∠ OCB$。
$\because ∠ OCB+∠ FCG=180°-∠ OCF=90°$，$∠ B+∠ BGE=90°$，
$\therefore ∠ FCG=∠ BGE$，
又$\because ∠ BGE=∠ FGC$（对顶角相等），
$\therefore ∠ FCG=∠ FGC$，
$\therefore FG=FC=7$。
【答案】
（1）证明成立；（2）$\boxed{7}$
【知识点】
切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的综合基础题，解题的关键是合理连接辅助线，结合切线性质、圆周角定理和相似三角形的性质逐步推导，同时要熟练掌握等角对等边的判定，考查了学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.65
