8 如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，CB=2√3，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点。以点P为圆心、1为半径作⊙P，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为。

8.$2或4-\frac{2}{3}\sqrt{3}$

9 如图,在边长为4的等边$△ AOB$中,$\odot O$的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作$\odot O$的一条切线PQ,Q为切点,则线段PQ长度的最小值为。

9.$\sqrt{11}$
[提示:连接OP、OQ,作$OF ⊥ AB$于点F,则$∠ OFA=90°$。在$\mathrm{Rt}△ AOF$中,$OF=\sqrt{OA^2-AF^2}=\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt{3}$。在$\mathrm{Rt}△ OPQ$中,由勾股定理得$PQ=\sqrt{OP^2-OQ^2}=\sqrt{OP^2-1}$,所以当OP的值最小时PQ的值最小,所以当$OP=OF=2\sqrt{3}$时,PQ的最小值为$\sqrt{(2\sqrt{3})^2-1}=\sqrt{11}$。]

10 如图，在$\odot O$中，AB是直径，CD是弦，$AB ⊥ CD$，垂足为点P。过点D作$\odot O$的切线，与AB的延长线相交于点E。若$∠ ABC = 63°$，则$∠ E$的度数为。

10.$36°$
[提示:连接OD。因为$∠ ABC=63°$,$AB ⊥ CD$,所以$∠ BCD=27°$。由圆周角定理,得$∠ BOD=2∠ BCD=54°$。由切线的性质,可得$∠ ODE=90°$,所以$∠ E=36°$。]

11 如图，点O是Rt△ABC斜边AC边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点D。求证：AD平分∠BAC。

11. 连接OD。因为以OA为半径的$\odot O$与边BC相切于点D,所以$OD ⊥ BC$。因为$∠ ABC=90°$,所以$OD // AB$,所以$∠ ODA=∠ BAD$。因为$OA=OD$,所以$∠ ODA=∠ OAD$,所以$∠ BAD=∠ OAD$,所以AD平分$∠ BAC$。

12 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，连接AC、BC，过点C的直线与$\odot O$相切，与BA的延长线交于点D，点F为$\overset{\frown}{CB}$上一点，且$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$，连接BF并延长交直线DC于点E。
（1）求证：$DE ⊥ BE$。
（2）若$DC=\frac{5}{3}EC$，$DA=2$，求$\odot O$的半径。

12. (1) 连接OC。因为$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{CA}$,所以$∠ ABC=∠ EBC$。因为$OB=OC$,所以$∠ OCB=∠ ABC$,所以$∠ OCB=∠ EBC$,所以$OC // BE$。因为ED为$\odot O$的切线,所以$OC ⊥ DE$,所以$DE ⊥ BE$。
(2) 因为$DC=\frac{5}{3}EC$,所以$\frac{DC}{EC}=\frac{5}{3}$。设$\odot O$的半径为r,则$DO=DA+OA=2+r$。因为$OC // BE$,所以$\frac{DC}{EC}=\frac{DO}{OB}$,所以$\frac{5}{3}=\frac{2+r}{r}$,解得$r=3$,即$\odot O$的半径为3。